高考数学总复习的结构化方法.doc

高考数学总复习的结构化方法王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)1.结构化复习方法的含义系统论告诉我们：系统地组织起来的材料所提供的信息，远大于部分材料所提供的信息之和.乌申斯基指出：“智力就是形成系统的知识”.创造心理学研究则表明：新的发明创造主要取决于整体性认知框架的转换，而整体性认知框架的形成则在于对对象整体的把握.那么，在进行高考数学总复习时，怎样才能帮助学生形成系统的知识，并形成具有整体性的认知框架呢？对于一个完整的数学知识单元来说，其内部知识之间有着紧密的逻辑联系，而在这样的知识结构中必定有其核心知识.所谓核心知识就是指知识结构中能够对其他知识起着统领、整合和解释作用的基本概念、基本方法或基本规律.由核心知识统领的知识结构有利于实现知识的系统化、结构化、网络化，也有利于转化成学生头脑里的具有整体性的数学认知框架.这是因为：各项知识在核心知识的统领下，被秩序井然地安置在头脑中，这就保证了在需要时能够及时提取，因而既有利于理解(因为所谓理解就是用核心知识去解释)，也有利于记忆，更有利于知识的迁移.本文对高考数学总复习提出“结构化方法”，它是以一章的知识内容为复习单位，按全章知识系统化和专题知识板块化两个阶段展开复习的一种方法. 知识的系统化和板块化都是伴随着核心知识的产生以及由核心知识统领的知识结构的形成而形成的.下面以解析几何的复习为例作具体的说明.【课例】解析几何复习第一阶段：全章知识系统化解析几何的核心知识是坐标法. 坐标法就是点与坐标、曲线与方程相互转化的方法.坐标法是数形结合思想方法的内核，也是直线、圆以及各种圆锥曲线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依坐标法而展开，因此，坐标法在解析几何知识中居统领地位.解析几何复习的第一阶段就是要抓住坐标法，深刻揭示其中蕴含的基本原理和基本思想方法，帮助学生树立核心知识的思想意识，然后运用核心知识去解释解析几何的逻辑结构，同时掌握基础知识和基本技能.具体应设置以下几个环节：(1)复习点与坐标的对应方法.设点的坐标为，则有点(设)或这是常见的两种点与坐标对应的方法.(2)复习如何求动点的轨迹方程，明确曲线与方程之间可以建立起对应关系；(3)复习曲线与方程的定义，明确曲线与方程的对应必须满足纯粹性与完备性，完善对曲线与方程对应关系的认识；(4)从曲线与方程的定义中概括提炼出解析法(即曲线与方程相互转化的基本方法，也是解析几何的基本方法)：几何曲线代数方程曲线的性质 方程的性质 目的坐标法反演并引伸出下面两个常用的结论：结论1 两曲线与的交点坐标为方程组的实数解.结论2 经过两曲线交点的曲线系方程为. (5)运用核心知识推演解析几何的知识体系，掌握其逻辑结构.任何一门学科都有自己固有的体系与逻辑结构，只有掌握了学科的逻辑结构，才有可能形成良好的，同时也是具有整体性的认知结构.如前所述，解析几何核心知识是坐标法，这一环节就是要用坐标法去研究、推导直线、圆及各种圆锥曲线的典型方程，学会运用解析法论证这些曲线的几何性质，掌握曲线的有关元素(如圆锥曲线的顶点、对称轴、焦点、离心率、弦、切线等).在复习中可让学生独立运用解析法推导直线、圆及各种圆锥曲线的方程，并论证它们的几何性质.在复习中，教师还应反复阐明解析几何的核心知识与其它知识之间的关系，不断沟通知识之间纵向的逻辑联系.通过对解析几何逻辑结构的掌握，使学生熟练掌握相关的基础知识与基本技能，为发展智力、提高能力打下扎实的基础.第二个阶段：专题知识板块化第一阶段复习的目标是着眼于知识产生与发展的纵向联系，抓住贯穿其中的核心知识进行整合，使整个知识系统化、结构化、网络化；而第二阶段复习的目标则是着眼于知识的横向联系，抓住分散在各个单元的相关知识确定专题，并通过核心知识的强化运用，使之成为一个整体.这也是专题知识板块化的含义.确立专题一般有两条途径：一是抓住各个单元遇到的共同的问题；二是抓住各个单元综合起来可以解决哪些热点问题.解析几何的专题一般有：直线与圆锥曲线的位置关系问题、轨迹问题、定点与定值问题、最值问题等.其中直线与圆锥曲线的位置关系问题是基础，应该通过这一专题的复习使学生领悟“设而不求”的思想方法，懂得“设而不求”实质上是深刻理解并准确把握曲线与方程对应关系的结果.下面以直线与椭圆的位置关系问题为例来说明.当直线与椭圆相交时，有以下几个典型问题：如图，设直线与椭圆交于两点, 并设，直线的斜率为.xAOyBK【问题1】弦长问题【问题2】中点弦问题 常用的方法是联立直线与椭圆, 消去(或)得到一个一元二次方程,再利用韦达定理和中点坐标公式求解.【问题3】面积问题 的面积计算可用以下公式计算：直线与椭圆相交相应方程组成的方程组化成一元二次方程后有两个不同的解或.经过适当变形，发现三个问题的处理都只需要或的值，无需具体的或的值.于是产生了设而不求的思想方法.为什么会想到作如此变形呢？这实际上是深刻理解并准确把握曲线与方程对应关系的结果.解决直线与椭圆的位置关系问题的核心方法可以概括为“韦达定理法”.韦达定理可以说是坐标法作用于直线与椭圆位置关系这一特殊问题的结果.其它专题如轨迹问题、定点问题，尽管都有各自的核心方法，但其核心的核心仍然是对点与坐标、曲线与方程对应关系的把握.譬如：例1 已知椭圆，若直线与椭圆相交于两点(不是椭圆的左右顶点)，以为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证：直线恒过定点.分析：这是一个定值问题，如果设直线的方程为，只要能找到之间的关系，就可将直线的方程化为的形式，再令即可确定定点(或否定定点的存在).这是求解曲线过定点问题的基本方法，但此方法本身就是曲线与方程对应关系的一种表现形式.椭圆的右顶点为，设，由条件有，它对应于方程由自然会想到利用韦达定理处理.，可变为，运用韦达定理可得或，故直线即的方程为或，前者恒过定点，后者则恒过定点(这是椭圆的右顶点，故舍去)，当直线的斜率不存在时，可验证前者仍过点.故直线恒过定点.例2 已知圆上有一定点和两上动点，且满足.求的重心的轨迹方程.分析：求动点轨迹方程最基本的想法就是设法找到流动坐标之间的关系.设重心的坐标为，由于要找到之间的直接关系有困难，故可寻求与另一变量之间的关系(参数法).因两点在同一圆上，且，这使我们有可能用同一参数(角度)表示两点的坐标.事实上，如设，由平面几何知识知，点所对应的旋转角为，因此点的坐标就为，再根据重心坐标公式可得重心关于的参数方程，消去即可得到所求的轨迹方程(具体略).2.结构化复习方法实施的基本原则2.1 过程性原则核心知识是数学知识结构中最精华的部分，是掌握知识、发展智力的杠杆，但它从孕育、产生到完善需要经历一个发展的过程，同样，要掌握它，人的认识也应经历一个不断深化的过程. 提炼核心知识的过程必须让学生全程参与，通过创设情境，引导、鼓励学生主动自觉地去寻找知识的源头，弄清核心知识.另外，在知识结构中，核心知识与其他知识的关系显然又是源与流的关系，因此复习中无疑应集中于源，而对其他知识则又必须引导学生反复回到核心知识中去，以纵向沟通知识，形成结合紧密的知识结构. 只有这样才能使学生在所提炼出的核心知识与它蕴含的丰富知识与方法内涵之间建立起一种可逆的、稳固的联系.2.2 主体性原则学生是学习的主体.学生学习的过程是他们利用原有知识与经验对所学知识自主建构的过程.在复习课中，教师只是学生学习过程的组织者、引导者、指导者和合作者，要给学生留有充分时间，鼓励他们自主探究、合作交流.只有这样，才能真正提高复习的效率. 2.3 直观性原则核心知识的提炼是一个深入浅出的过程，其结果应尽量直观化、符号化.譬如在复习三个“二次”这个专题时，弄清了二次函数、二次不等式和二次方程之间的关系之后，可以提炼出去掉轴的二次函数图象储存在学生的头脑中：又如学完了诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限），之后，可提炼出一句口诀：负化正，大化小，化到锐角再“查表”. 这句口诀是三组公式所具功能的概括和提炼，同时也是三角函数化简、求值的基本思想方法. 3.结构化复习方法的原理与意义3.1 原理布鲁纳认为，学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，知识的整体性和事务的普遍联系是学科的基本结构不论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构这种基本结构是学生必须掌握的科学因素，应该成为教学过程的核心，因为学生如果掌握了学科知识的基本结构，他就可以独立地面对并深入新的知识领域，从而不断地、独立地认识新问题，增大新知识为此他强调：学习和掌握每门学科中那些广泛起作用的概念、定义、原理和法则体系是最好的办法学生学到的观念越是基本，几乎归结为定义，则它对新问题的适用性越宽广同样的观点也在奥苏伯尔的意义学习理论中体现奥苏伯尔认为，学生的学习，如果要有价值的话，应该尽可能地有意义，即意义学习意义学习的先决条件之一就是要尽可能先传授学科中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念和原理，以便学生能对学习内容加以组织和综合例如，在以上所举课例中，坐标法是解析几何知识结构中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念显见，以坐标法为核心的统领策略，正符合布鲁纳关于学科基本结构的教育原理，也符合奥苏伯尔关于意义学习的原理核心概念统领解析几何复习的过程，可以让学生更好地了解和理解解析几何中基本概念(曲线与方程的概念)、基本方法(解析法)、基本思想方法（数形结合）和研究对象（直线、圆和各种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何课程的深入理解和整体把握，使学生获得整体性的认知框架，获得普遍的认知迁移3.2 意义第一，结构化复习方法为高考数学总复习提供了以建构数学认知结构为中心的整体认识观，能促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，进而能有效克服肢解数学知识知识和方法的现象；第二，结构化复习方法与过程性原则结合，使得发现式、探究式等开放性教学有了比较清晰的探索主线或思维策略，同时也使探索有了合适的“度”，而不至于走极端；第三，由于核心知识是关于学科性质的知识和最有学习价值的知识，学生如果真正建构起这样的知识，就相当于建构了学科知识的主干，容易形成扩充、扩展自己知识结构的能力，也容易形成快速转换的解题机智，因此有助于提高复习课的效率和效益.例如，用0和1可组成多少个数字可以重复的四位数？本题用排列知识不能解决，但一联系到本章核心知识解计数问题的基本方法就立即可获得解决（用分步计数原理）；又如解不等式，本题用套题型的办法不好解决，但利用解不等式的基本方法(分解因式法这是高次不等式化低次不等式、分式不等式化整式不等式的基本方法)即知：不等式等价于或，进而容易求出其解.