2013年中考数学专题讲座1201-E.doc

中考数学专题讲座五几何综合题几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有13个问题，解答这种题一般用分析综合法【典例精析】 例1如图，已知O的两条弦AC、BD相交于点Q，OABD （1）求证：AB2=AQAC：（2）若过点C作O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ 分析：要证AB2=AQAC，一般都证明ABQACB有一个公共角QAB=BAC，只需再证明一个角相等即可 可选定两个圆周角ABQ=ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等 （2）欲证PC=PQ， 是具有公共端点的两条线段， 可证PQC=PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操 BQC=AQD=90-1（充分利用直角三角形中互余关系） PCA是弦切角，易发现应延长AO与交于E，再连结EC，利用弦切角定理得PCA=E，同时也得到直径上的圆周角ACE=90， PCA=E=90-1 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，这样有利于做题时发生迁移，联想 例2如图，O1与O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交O1，O2于A、E，过点A作O2的切线AD交O1于B，切点为D，过点E作O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、DE （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tanDCE的值；（3）当AC：CE为何值时，DEF为正三角形？ 分析：（1）根据题的结构实质上证明ADCAED，进而可求AC，CE，设CD=2x，则AC=x，易证ADCAED， ， ， AE=4x， CE=AE-AC=3x， AC：CE=x：3x=1：3（此题凭经验而做） （2）求sinA，必须在直角三角形中，现存的有RtABC和RtAEF，但都只知一边无法求sinA 另想办法，连结DO2，则DO2=x， 且ADO2=90，AO2=x+x=x， sinA= 欲求tanDCE即求，易证ADCAED， =2， tanDCE=2 （3）假设DEF为等边，则FED=DCE=60， tan60=，设DE=x，则DC=x，CE=2x，易证BDCDEC， ， BC=x，连DO2，易证BCDO2， 即， AC=x， AC：CE=1：2【中考样题】 1如图O的直径DF与弦AB交于点E，C为O外一点，CBAB，G是直线CD上一点，ADG=ABD，求证：ADCE=DEDF 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明 CDB=CEB；ADEC；DEC=ADF，且CDE=90 2已知，如图，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC，连结DE，DE= （1）求EM的长；（2）求sinEOB的值3如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线上一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB（1）求证：DE是O切线；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长4 如图：O1与O2外切于点P，O1O2的延长线交O2于点A，AB切O1于点B，交O2于点C，BE是O1的直径，过点B作BFO1P，垂足为F，延长BF交PE于点G（1）求证：PB2=PGPE；（2）若PF=，tanA=，求：O1O2的长 【热身训练】 1如图，P是O外一点，割线PA、PB分别与O相交于A、C、B、D四点，PT切O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，PFE=ABP （1）求证：PDPF=PCPE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的长 2如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tanDCE的值；（2）求AB的长 3如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交A于F，CM=2，AB=4 （1）求A的半径；（2）求CE的长和AFC的面积4如图，正方形ABCD是O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连结ED （1）求证：直线ED是O的切线； （2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO参考答案【中考样题】1证明：连结AF，则ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF为O的直径，DAF=90， ADF+F=90，ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB， ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB，CBE=90取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC为直径的圆上， ABD=DCE，DCE=F， DAFEDC， ADCE=DEDF，以下略；2（1）DC为O的直径，DEEC， EC=7 设EM=x，由于M为OB的中点， BM=2，AM=6，AMMB=x（7-x），即62=x（7-x）， 解得x1=3，x2=4，EMMC，EM=4（2）OE=EM=4，OEM为等腰三角形，过E作EFOM，垂足为F，则OF=1，EF= sinEOB=3（1）连结CO，则AO=BO=CO， CAO=ACO，又EAC=CAO， ACO=EAC，AEOC， DE是O的切线 （2）AB=6，AO=BO=CO=3 由（1）知，AEOC， DCODEA， = 又AE=， 解得BD=2 AB是O的直径，ACB=90又EAC=CAB，RtEACRtCAB，即AC2=ABAE=6= 在RtABC中， 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-= BC0，BC=4（1）BE是O1的直径，BPE=90 BFO1P，BPF+FBP=90 GPE+BPF=90，GPF=BPF O1E=O1P， E=GPF=PBF，又BPG=EPB=90， GPBBPE，PB2=PEPG （2）AB是O1的切线，O1BAB， O1BFO1AB，O1BF=A tanA=，tanO1BF= 设O1F=3m，则BF=4m 由勾股定理得：O1B=5m=O1P，PF=5m-3m=2m 又PF=，m=，O1B=O1P，BF=4=3 由tanA=，AF=4，AP=4-=， PO2= ，O1O2=+=5【热身训练】1（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆， DCP=ABP，而PFE=ABP， DCP=PFE，CDEF，即PDPF=PCPE （2）设PT长为x，PE=PT，由（1）结论得PF=x， 由PT2=PCPA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，PT=72（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去） BC为直径，CDBE，由勾股定理得CD=，tanDCE= （2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC= 可证ADFBCF，= 设DF=2x，则CF=3x由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，DF=2，CF=3，BF= 由相交弦定理得AF=， AB= 3（1）由勾股定理，列方程可求AD=3（2）过A作AGEF于G，由勾股定理得CE=，由切割线定理得CF=，由BCEGAE，得AG= SAFC=4证明：（1）连结OD易得EDA=45，ODA=45，ODE=ADE+ODA=90，直线ED是O的切线 （2）作OMAB于M，M为AB中点， AE=AB=2AM，AFOM，=2，EF=2FO.第 9 页 共 9 页