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初中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.cn/二次函数选择题1（江西2011中考B卷）.已知二次函数y=x2+bx2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）. 6C A .（1，0） B.（2，0） C.（2，0） D.（1，0）2 (2011湖北黄冈).已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为15.DA.0B.1C.2D.33（2011广东广州）下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是（ ）5、DA. B. C. D. 4（2011年安徽芜湖市）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )D填空题1（湖南株洲2011）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A第8题图x (米)y (米)A米 B米C米D米2（广东茂名）、给出下列命题：命题1点（1，1）是双曲线与抛物线的一个交点命题2点（1，2）是双曲线与抛物线的一个交 点命题3点（1，3）是双曲线与抛物线的一个交点请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数): 3 点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点 （广东茂名）14、如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一第14题图直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 度14、15大题1(2011福建泉州25)（12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与x轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标APxyKO第25题 图1在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由图1APxyKO25.（本小题12分）解：（1）P分别与两坐标轴相切， PAOA，PKOK PAO=OKP=90 又AOK=90， PAO=OKP=AOK=90 四边形OKPA是矩形 又OA=OK， 四边形OKPA是正方形2分（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为OAPxyBC图2GM过点P作PGBC于G四边形ABCP为菱形，BC=PA=PB=PCPBC为等边三角形在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=sinPBG=，即解之得：x=2（负值舍去） PG=，PA=BC=24分易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3 A（0，），B（1，0） C（3，0）6分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：解之得：a=， b=， c=二次函数关系式为：9分解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： 解之得：u=， v=直线BP的解析式为：过点A作直线AMPB，则可得直线AM的解析式为：解方程组：得： ； 过点C作直线CMPB，则可设直线CM的解析式为： 0= 直线CM的解析式为：解方程组：得： ； 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分解法二：，A（0，），C（3，0）显然满足条件延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，点M的纵坐标为又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4点M（4，）符合要求点（7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，点M的纵坐标为即解得：（舍），点M的坐标为（4，）点（7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分（福建福州2011，22.）(满分14分) 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图22.(满分14分) 解:(1)依题意,得解得,点在点右侧点坐标为,点坐标为直线:当时,点在直线上(2)点、关于过点的直线:对称 过顶点作交于点则, 顶点 代入二次函数解析式,解得 二次函数解析式为(3)直线的解析式为 直线的解析式为由 解得 即,则 点、关于直线对称 的最小值是, 过点作直线的对称点,连接,交直线于则, 的最小值是,即的长是的最小值 由勾股定理得 的最小值为（不同解法参照给分）（2011广东广州）24.（14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a2,AP2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在RtAOM中，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）5分（注：如果考生直接写出答案P（，），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分） 法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，此时：NG=-（）， = 分当时，CAN面积的最大值为，由，得：，N（， -3） 8分法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CFEN于点F，则（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）(2011广东)15已知抛物线与x轴没有交点（1）求c的取值范围；（2）试确定直线经过的象限，并说明理由15、（1）c （2）顺次经过三、二、一象限。因为：k0，b=10(2011广东)22如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.OxAMNBPC题22图22、略解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2） （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得， 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.当t=1时，故,又在RtMPC中，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形当t=2时，故,又在RtMPC中，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形.(2011年湖南邵阳)24如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由解： (1) 以AB为直径的圆恰好经过点C ACB=(2) AOCABC A(，0)，点C(0，3)， B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 (3)1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DHOB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH= D 2) BD=BO 过D作DGOB,垂足是G OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5图11 OG:4=1:5 DG:3=1:5 OG= DG= D(,). 25.（武汉12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：.（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点9a-3b+30 且a-b+30解得a1b4抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1抛物线的顶点M（-2，,1）直线OD的解析式为y=x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=.当h时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4.此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k0）.假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GHx轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.PEF的内心在y轴上，GEP=EPQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)2kxExF=（t-3）（xE+xF）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.xE+xF=k,xExF=-3.2k（-3）=（t-3）k,k0,t=-3.y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为y=kx+3（k0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知EPQ=FPQ，点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,P（0，-3）.y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使PEF的内心在y轴上. （2011江西南昌）25.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.(1)当a=1,b=1时，求抛物线n的解析式；(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；(3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.CBAC1A1xyO25解：（1）当时，抛物线的解析式为：. 令，得：. C（0,1）. 令，得：. A（-1,0），B（1,0） C与C1关于点B中心对称， 抛物线的解析式为： 4分（2）四边形AC1A1C是平行四边形. 5分 理由：C与C1、A与A1都关于点B中心对称， , 四边形AC1A1C是平行四边形. 8分（3）令，得：. C（0,）. 令，得：, , , 9分 . 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足, ， ， . 应满足关系式. 10分（江西2011中考B卷）24.已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.(1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且ABC为直角三角形，求a，b的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.24解：（1）抛物线对称轴方程：. 2分（2）设直线与轴交于点E,则E（2,0）.抛物线经过原点， B(0,0),C(4,0). 3分ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知,A(2,-2)或(2,2).当抛物线的顶点为A(2,-2)时，把(0,0)代入，得：，此时，. 5分OxyABCE当抛物线的顶点为A(2,2)时，把(0,0)代入，得：，此时，.，或，. 7分（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A,D也关于点E对称，且时， 四边形ABDC是正方形. ， ， ， 把代入，得 ， ， . 10分(2011江西省)24.将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.（1）请直接写出抛物线c2的表达式.（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.24解：（1）. 2分（2）令，得：， 则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.A（-1-m，0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.当时，如图，. 4分当时，如图， . 6分xOADBEMN图yxOADBEMN图当或2时，B，D是线段AE的三等分点. 存在. 7分方法一理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.即M，N关于原点O对称， . ， A，E关于原点O对称， ，四边形ANEM为平行四边形. 8分要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,即， .当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. 10分方法二理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.即M，N关于原点O对称， . ， A，E关于原点O对称， ，四边形ANEM为平行四边形. 8分，若，则，.此时AME是直角三角形，且AME=90.当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. 10分(2011湖北黄冈)23.（12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）.当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？根据、，该方案是否具有实施价值？23.解：当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是415=205万元.前两年：0x50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为402=80万元.后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100x，所以y=PQ=+=表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为10653=3495万元，故五年获利最大值为803495502=3475万元.有极大的实施价值.(2011湖北黄冈)FMNN1M1F1Oyxl第22题图24.（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）.求b的值.求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论.对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切.如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由.24.解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得.M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1是直角三角形.存在，该直线为y=1.理由如下：直线y=1即为直线M1N1.如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF.FMNN1M1F1Oyxl第22题解答用图PQ那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切.（2011安徽）第23题图23.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h10，h20，h30）. (1)求证h1=h3； (2) 设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h2+h3）2h12；(3)若,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.【解】23.（1）过A点作AFl3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CHl2分别交l2、l3于点H、G，证ABECDG即可.（2）易证ABEBCHCDGDAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以.(3)由题意，得 所以又 解得0h1当0h1时，S随h1的增大而减小； 当h1=时，S取得最小值；当h1时，S随h1的增大而增大.（2011年安徽芜湖市）24(本小题满分14分)平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90，得到平行四边形。(1)若抛物线过点C，A，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。24(本小题满分l4分)解：(1)由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点的坐标为(3，0)。所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)， (3，0)设抛物线的解析式为，可得 解得 过点C，A，的抛物线的解析式为。(2)因为ABCO，所以OAB=AOC=90。,又., 又,又ABO的周长为。的周长为。（3）连接OM，设M点的坐标为，点M在抛物线上，。=因为，所以当时，。AMA的面积有最大值所以当点M的坐标为()时，AMA的面积有最大值，且最大值为。京翰教育网 http:/www.zgjhjy.com/
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