数学建模方法详解--模糊数学

数学建模方法详解-模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。如果是论域 ，则的所有子集组成的集合称之为的幂集，记作。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。对于论域的每一个元素和某一个子集，有或，二者有且仅有一个成立。于是，对于子集定义映射即则称之为集合的特征函数，集合可以由特征函数唯一确定。所谓论域上的模糊集是指：对于任意总以某个程度属于，而不能用或描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。定义1.1 设是一个论域，如果给定了一个映射则就确定了一个模糊集，其映射称为模糊集的隶属函数，称为对模糊集的隶属度。定义1.1表明，论域上的模糊集由隶属函数来表征，的取值范围为闭区间，的大小反映了对模糊集的从属程度，值接近于1，表示从属的程度很高，值接近于0，表示从属的程度很低，使的点称为模糊集的过渡点。当的值域为时，退化为普通集的特征函数，模糊集蜕变为普通集，所以模糊集是普通集概念的推广。对于一个特定论域可以有多个不同的模糊集，记上的模糊集的全体为，即，则就是论域上的模糊幂集，显然是一个普通集，且。2.模糊集的表示法当论域为有限集时，若是上的任一模糊集，其隶属度为，通常有如下三种表示方法：1）Zadeh表示法：在论域中，的元素集称为模糊集合的支集。2）序偶表示法：将论域中的元素与其隶属度构成序偶来表示此种表示方法隶属度为0的项可不写入。3）向量表示法：在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。当论域为无限集时，则上的模糊集可以表示为3.模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。定义1.2 设模糊集，其隶属函数为。1）若对任意，有，则称包含，记；2）若且，则称与相等，记为。定义1.3 设模糊集，其隶属函数为，则称分别为与的并集与交集；称为的补集或余集，它们的隶属函数分别为其中分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh算子。并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。1.1.2 隶属函数的确定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1）论域。2）中的一个固定元素。3）中的一个随机变动的集合（普通集）。4）中的一个以作为弹性边界的模糊集，对的变动起着制约作用。其中或，致使对的隶属关系是不确定的。假设做次模糊统计试验，则可计算出对的隶属频率事实上，当不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为对的隶属度，即2. 例证法例证法是Zadeh在1972年提出的，主要思想是从已知有限个的值来估计论域上的模糊子集的隶属函数。3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布。偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。常用的模糊分布见下表：偏小型中间型偏大型矩形分布梯形分布正态分布次抛物型分布型分布其中其中其中柯西型分布其中其中为偶数其中4. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。如果论域表示机器设备，在上定义模糊集=“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为的隶属度。如果表示产品，在上定义模糊集=“质量稳定”，可以用“正品率”作为的隶属度。如果表示家庭，在上定义模糊集=“贫困家庭”，则可以用Engel系数=（食品消费）/（总消费）作为的隶属度。1.2 模糊关系与模糊矩阵1.2.1模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。定义1.4 设论域，称的一个模糊子集为从到的模糊关系，记为，其隶属函数为映射并称隶属度为关于模糊关系的相关程度。由于模糊关系就是直积的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。 对于有限论域，则到的模糊关系可用阶模糊矩阵表示，即其中表示对模糊关系的相关程度。定义1.5 设矩阵，且则称矩阵为模糊矩阵。 若，则模糊矩阵变成布尔（Boole）矩阵。1.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系定义1.6 若模糊关系满足1)自反性： 。 2)对称性：。3)传递性； （即）。则称是上的一个模糊等价关系。其中隶属度表示的相关程度。当论域为有限论域时，上的模糊等价关系可表示为阶模糊等价矩阵定义1.7 设论域，模糊矩阵，为单位矩阵，若满足：1)自反性： （即）。 2)对称性：（即）。3)传递性； （即）。则称为模糊等价矩阵。 定义1.8 设论域，模糊矩阵，为单位矩阵，若满足：1)自反性： （即）。 2)对称性：（即）。则称为模糊相似矩阵。1.2.3 截矩阵与传递矩阵定义1.9 设为模糊矩阵，对任意的，1）如果则称为的截矩阵。2）如果则称为的强截矩阵。 显然，截矩阵为布尔矩阵。定义1.10 设是阶模糊矩阵，如果满足（即）则称为模糊传递矩阵。将包含的最小的模糊传递矩阵称为的传递闭包，记为。1.3 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准(相似程度或亲疏关系)进行分类。例如，根据生物的某些性状，可对生物分类；根据土壤的性质，可对土壤分类等等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类往往具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。在进行多指标评价时，同类指标的评价效果基本上是等价的，因此，可以通过对同类指标的选择，达到指标筛选的目的。其基本思想是：首先根据各指标之间相似程度，构造评价指标的模糊相似矩阵，然后通过平方法求传递闭包，得到模糊等价矩阵，以此为依据进行聚类。模糊聚类的步骤及其关键算法：设论域为待分类的指标集，用维向量描述样本，也就是说每个指标由个分量组成，即，故原始数据矩阵形式如公式(1)所示 （1）具体的聚类方法按下列步骤进行：1.3.1 数据标准化不同的数据具有不同的量纲，为了使有不同量纲的量进行比较，对数据进行无量纲化处理，而且根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩在区间上。数据标准化的具体算法包括两个步骤：1、平移标准差变换 （2）其中变换后的每个变量的均值为0，标准差为1，实现了数据的无量纲化，但是这样还不能保证都在区间上。2、平移极差变换 （3） 其中.显然所有的都在区间上，同时也消除了量纲的影响。1.3.2 标定（建立模糊相似矩阵)对论域而言，和的关系可用来描述。建立模糊相似矩阵的方法有很多，如距离法、相关系数法、主观打分法等。现采用相关系数法建立模糊相似矩阵，通过计算指标之间的相关系数，以相关系数的绝对值作为模糊相似矩阵的元素，见式（4） （4）其中.矩阵形式如式（5）所示： （5） 由（4）式可知，故该矩阵满足自反性和对称性，满足模糊相似矩阵的要求。1.3.3 聚类采用基于等价矩阵的聚类方法。首先通过平方法求传递闭包得到模糊等价矩阵。具体算法是：从模糊相似矩阵出发，依次求平方 （6） 当第一次出现时，就是传递闭包，也就是模糊等价矩阵。方阵的自乘运算是用模糊集合运算中的交和并取代通常矩阵乘法中的乘积与求和操作 （7） 等价矩阵建立之后，具体的聚类过程就是从大到小依次赋给不同的值，通过计算截矩阵的方法获得不同的分类。在具体的分类选择中，通常根据实际需要选择值，换言之就是根据特定的值选择分类1。1.4 模糊模型识别方法己知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别。这里主要介绍模糊模型识别的两种基本方法最大隶属原则和择近原则。模型识别在实际问题中是普遍存在的。例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它届于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别。它们有两个本质的特征：一是事先己知若干标准模型（称为标准模型库)，二是有待识别的对象。上述例子中，事先建立的植物标本室、信封背面提供的10个标准阿拉伯数字都是标准模型库，采集到的植物、分拣的每一封信都是待识别的对象。因此，模型识别粗略地讲，就是要把一种研究对象，根据其某些特征进行识别并分类。1.4.1模糊模型识别中的最大隶属原则定义1.11 设论域上有个模糊子集，其隶属函数为，而为模糊向量集合族。对于普通向量，则称为对模糊向量集合族的隶属度。 需要指出的是，普通向量对模糊向量集合族的隶属度也有其他形式的定义，如最大隶属原则I 设论域上有个模糊子集，(即个模型)，构成了一个标准模型库，若对任一，有，使得则认为相对隶属于。最大隶属原则 设论域上有一个标准模型，待识别的对象有个，如果有某个满足则应优先录取。1.4.2模糊模型识别中的择近原则下面讨论的是第二类模糊识别问题。设在论域上有个模糊子集，(即个模型)，构成了一个标准模型库。被识别的对象也是一个模糊集，与中的哪一个最贴近？这就是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊集的贴近程度问题。（1）贴近度的概念设论域上的模糊子集，称为的内积；称为的外积。定义1.12 设论域上的模糊子集，则称为的贴近度。可见，当越大(亦即越大，越小)时，越贴近。（2）单个特性的择近原则设在论域上有个模糊子集，构成了一个标准模型库。为待识别的模型若存在，使得则称与最贴近，或者说把归并到类。（3）多个特性的择近原则设论域上有两个模糊向量集合族，则的贴近度定义为由于实际问题的需要，为了解决两个模糊向量集合族的贴近程度问题，人们创造了多种贴近度。现列举如下：设论域上有两个模糊向量集合族，则的贴近度也可定义为1）；2），其中，且；3），其中，且；4），其中，且。可以根据实际需要，应用不同的贴近度。 多个特性的择近原则：设在论域上有个模糊子集，构成了一个标准模型库。每个模型由个特性来刻画，即，待识别对象。 先求两个模糊向量集合族的贴近度的最小值，即，若有，使得则认为隶属于。最后介绍一下模糊模型识别与模糊聚类分析的区别。在讲完模糊模型识别以后，再回到模糊聚类分析，读者可能会产生一种错觉，以为模糊模型识别与模糊聚类分析都是分类问题，没有什么差别。实际上，二者是有差别的。模糊模型识别所讨论的问题是：已知若干模型，或者已知一个标准模型库(优良的作物品种，印刷体的阿拉伯数字等都是标准模型库)，有一个待识别的对象，要求我们去识别对象应属于哪一个模型，即哪一类。模糊聚类分析所讨论的对象是一大堆样本，事先没有任何模型可以借鉴，要求我们根据它们的特性进行适当的分类，因此，可以这样说，模糊模型识别是一种有模型的分类问题，而模糊聚类分析是一种无模型的分类问题。但是，在对农作物病、虫害作预报时，往往是先进行模糊聚类，把它们分成若干类(即若干标准模型)，然后将待预报的因子进行模糊识别，如果它分到危害重的那一类，即可作病、虫害灾情重的预报，以便及时采取防治措施。由上可见，由模糊聚类分析进行判别、预测预报的过程，实际上是模糊聚类与模糊识别综合运用的过程。这里的模型是在聚类过程中得到的，恰恰为模糊识别提供了标准模型库。因此，从某种意义上说，模糊聚类分析与模糊模型识别又是有联系的。1.5 模糊综合评判方法在实际工作中，对一个事物的评价(或评估)，常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价，而不能只从某一因素的情况去评价事物，这就是综合评判。在这里，评判的意思是指按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别；综合的意思是指评判条件包含多个因素或多个指标因此，综合评判就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。综合评判的方法有许多种，这里介绍最常用的两种1评总分法即根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优劣。例如，我国高考成绩的评分方法就是如此。总分一般表示为，其中表示总分，表示第个项目得分，为项目数。2加权评分法这种方法主要是考虑诸因素(或诸指标)在评价中所处的地位或所起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素(或诸指标)。于是，就引进了权重的概念，它体现了诸因素(或诸指标)在评价中的不同地位或不同作用。这种评分法显然较评总分法合理。加权评分法一般表示为其中表示加权平均分数，是第个因素所占的权重，且要求。若取权重，则由式求出的就是平均分。1.5.1模糊综合评判方法1. 模糊综合评判的提法设为种因素(或指标)，为种评判，它们的元素个数和名称均可根据实际问题需要由人们主观规定。由于各种因素所处的地位不同，作用也不一样，当然权重也不同，因而评判也就不同人们对种评判并不是绝对地肯定或否定，因此综合评判应该是上的一个模糊于集其中反映了第种评判在综合评判中所占的地位(即对模糊集的隶属度：)。综合评判依赖于各个因素的权重，它应该是上的模糊子集，且，其中表示第种因素的权重。因此，一旦给定权重，相应地可得到一个综合评判。1. 模糊综合评判的一般步骤1）确定因素集；2）确定评判集；3）确定模糊评判矩阵；首先，对每一个因素做一个评判，则可以得到的一个模糊映射，即然而，由模糊映射可以诱导出模糊关系，即因此，可以确定出模糊评判矩阵。而称为模糊综合评判模型，称为该模型的三要素。4）确定权重集；关于评判集的权重的确定，通常情况下可以由决策人凭经验给出，但往往带有一定的主观性。要从实际出发，或更客观地反映实际情况，可采用专家评估、加权统计法和频率统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊关系方程等来确定。4）综合评判。模糊综合评判是上的模糊子集借助权重集与模糊评判矩阵的合成运算，可得模糊综合评判，一般有以下四种模型运算。模型法（主因素决定型）：对于权重，模糊评判矩阵为，则用模型运算得综合评判为，由于，对于某些情况可能会出现，即。这样可能导致模糊评判矩阵中的许多信息丢失，即人们对某些因素所做的评判信息在决策中未得到充分的利用。从而导致综合评判结果失真。因此对权系数加以修正，即再将权系数归一化变为。模型法（主因素突出型）：对于权重和，则用模型运算得综合评判为，模型法（主因素突出型）：对于权重和，则用模型运算得综合评判为，模型法（加权平均型）：对于权重和，则用模型运算得综合评判为，在实际应用中，主因素(权重最大的因素)在综合评判中起主导作用时，建议采用模型当模型失效时可采用模型、；当需要对所有因素的权重均衡时，可选用加权平均型。在模型的选择时还要特别注意实际问题的需求。1.5.2多层次模糊综合评判在实际问题中，遇到因素很多而权重分配又比较均衡的情况时，可采用多层次模型。具体步骤如下：1) 将因素集分成若干组，使得 ，称为一级因素集。设，称为二级因素集。2) 设评判集，对二级因素集的个因素进行单因素评判，即建立模糊映射于是得单因素评判矩阵为设的权重为，则可以求得综合评判为其中由模型、或确定。3)再对一级因素集作综合评判。设的权重为，总评判矩阵为。按模型、或运算得综合评判为。