江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第章圆锥曲线.doc

目录 基础复习部分 第九章 圆锥曲线 2 第 51 课 椭圆 2 第 52 课 双曲线 7 第 53 课 抛物线 8 第 54 课 直线与圆锥曲线 位置关系 弦长 9 第 55 课 直线与圆锥曲线 定值 存在性问题 16 第 56 课 综合应用 最值 范围 27 第九章 圆锥曲线 第 51 课 椭圆 苏北四市期末 已知椭圆 0 12 bayx 点 A 1B 2 F依次为其左顶点 下顶点 上 顶点和右焦点 若直线 2AB与直线 1F的交点恰在椭圆的右准线上 则椭圆的离心率为 12 扬州期末 如图 A B C 是椭圆 M 上的三点 其中点 A 是椭圆的右顶点 21 0 xyab BC 过椭圆 M 的中心 且满足 AC BC BC 2AC 1 求椭圆的离心率 2 若 y 轴被 ABC 的外接圆所截得弦长为 9 求椭圆方程 1 因为 过椭圆 的中心 所以 BCM2BCO 又 所以 是以角 为直角的等腰直角三角形 3 分A 2A 则 0 a a 102a 所以 则 所以 7 分 221b 23b2cb 63e 2 的外接圆圆心为 中点 半径为 ABC AB 4aP104a 则 的外接圆为 10 分225 8xy 令 或 所以 得 0 x ya 9a 6 所以所求的椭圆方程为 15 分 2136xy 南京盐城模拟一 在平面直角坐标系 中 椭圆xOy 的右准线方程为 右顶点为 2 1 0 xyCab 4 A x y O l A B F P 第 17 题图 A x y C O B 上顶点为 右焦点为 斜率为 2 的直线 经过点 且点 到直线 的距离为 BFlAFl25 1 求椭圆 的标准方程 C 2 将直线 绕点 旋转 它与椭圆 相交于另一点 lACP 当 三点共线时 试确定直线 的斜率 Pl 解 1 直线 的方程为 即 l2 yxa 20 xya 右焦点 到直线 的距离为 Fl 5c1c 又椭圆 右准线为 即 所以 C4x 2ac24a 将此代入上式解得 椭圆 的方程为 6 分123bC2143xy 2 由 1 知 直线 的方程为 8 分 0 3 B 0 F BF 联立方程组 解得 或 舍 即 12 分21 4 yx 8 53xy 0 3xy 8 5P 直线 的斜率 14 分 l30 582k 方法二 由 1 知 直线 的方程为 由题 显然直线 B 1 0 F BF3 1 yx 2 0 A 的斜率存在 设直线 的方程为 联立方程组 解得 代入椭ll 2 ykx 2 k 3 ky 圆方程解得 或 又由题意知 得 或 所以 32k 330yk 3 32k 方法三 由题 显然直线 的斜率存在 设直线 的方程为 联立方程组 0 All 2 ykx 得 21 43 ykx 222431610kxk 21643APx 所以 当 三点共线时 有 2268Pxkk243Pyk BFBPFk 即 解得 或 又由题意知 得 或 2134861k 32k 3 30ky 所以 3k k 苏锡常镇一 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 的离心率为 且过点 21xyab 0 2 过椭圆的左顶点 A 作直线 轴 点 M 为直线 上的动点 点 B 为椭圆右顶点 直线 BM6 1 2lx l 交椭圆 C 于 P 1 求椭圆 C 的方程 2 求证 AOM 3 试问 是否为定值 若是定值 请求出该定值 若不是定值 请说明理由 解 1 椭圆 C 的离心率为 21xyab 0 2 则 又椭圆 C 过点 2 分2c 2 6 1 231ab 4 则椭圆 C 的方程 4 分 21xy 2 设直线 BM 的斜率为 k 则直线 BM 的方程为 设 2 ykx 1 Pxy 将 代入椭圆 C 的方程 中并化简得 2 ykx 214x 6 分221480k 解之得 21x 2x 从而 分 1kyk 224 1kP 令 得 9 分2x 4y M 4Ok 又 11 分22 1kkAP 28 1k 60O 13 分 3 224 4 1kPMk 228416841k 为定值 4 16 分OPM 已知椭圆 的上顶点为 直线 交椭圆于 两点 设直线 2 1xyC A lykxm PQAP 的斜率分别为 AQ1k2 1 若 时 求 的值 0m 2 若 证明直线 过定点 12k lykxm xy P Q lA O 南通调研二 如图 在平面直角坐标系 中 椭圆 的左顶点为 右焦xOy21 0 yxaba A 点为 为椭圆上一点 且 0 Fc 0 Pxy PAF 1 若 求 的值 3a 5b0 x 2 若 求椭圆的离心率 0 x 3 求证 以 为圆心 为半径的圆与椭圆的FP 右准线 相切 2axc 解 1 因为 所以 即 35b224cab 2c 由 得 即 3 分PAF 01yx 006yx 又 20195x 所以 解得 或 舍去 5 分2049 034x 0 2 当 时 x2yb 由 得 即 故 8 分PAF 01ac 2bac2ac 所以 解得 负值已舍 10 分21e 5e x y O P A F 第 18 题 3 依题意 椭圆右焦点到直线 的距离为 且 2axc 2ac 201xyb 由 得 即 PAF 01yx 200 yxa 由 得 200 abc 解得 或 舍去 13 分 220acx 0 x 所以 200PFy 2000 caxc 0 xa 22ac a 所以以 为圆心 为半径的圆与右准线 相切 16 分P2axc 注 第 2 小问中 得到椭圆右焦点到直线 的距离为 得 1 分 直接使用焦半22c 径公式扣 1 分 第 52 课 双曲线 已知双曲线 的离心率为 则实数 a 的值为 8241axy 3 已知双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 y x 则该双曲线的离心率为 2 x2a2 y2b2 3 双曲线 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半 则双曲线的离心率1 e 答案 53 提示 双曲线 唯一 的重要性质 焦点到渐近线的距离等于 则有 b 22 acacb 22 5350 35 03ccacaea 平时强调的重点内容啊 双曲线 的离心率为 21yx 已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 则该双曲线的离心率为 13yx 103 南京盐城模拟一 若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合 则 22 0 xa 24yx a 答案 2 苏北三市调研三 已知双曲线 的离心率为 2 它的一个焦点是抛物线 的焦点 则双曲线 的C28xy C 标准方程为 213xy 扬州期末 已知双曲线 的一条渐近线与直线 l 0 垂直 且 2 0ab b3xy 的一个焦点到 l 的距离为 2 则 的标准方程为 CC 214xy 淮安宿迁摸底 在平面直角坐标系 中 若双曲线的渐近线方程是 且经过点 则xOy 2 该双曲线的方程是 214 泰州二模 已知双曲线 的渐近线方程为 则 24xym2yx m 2 南京三模 在平面直角坐标系 xOy 中 过双曲线 C x 2 1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l 则 l 与双 y23 曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 4 3 苏锡常镇二模 已知双曲线 的离心率等于 2 它的焦点到渐近线的距离等于 1 21 0 xyab 则该双曲线的方程为 3x2 y2 1 金海南三校联考 在平面直角坐标系 xOy 中 若双曲线 C 的离心率为 21 0 xyab 10 则双曲线 C 的渐近线方程为 y 3x 镇江期末 若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 则该 21 0 xyab b 4 双曲线的渐近线方程是 3x 第 53 课 抛物线 南通调研一 在平面直角坐标系 中 以直线 为渐近线 且经过抛物线 焦点的双Oy2yx 24yx 曲线的方程是 x2 1 y24 苏州期末 以抛物线 的焦点为顶点 顶点为中心 离心率为 2 的双曲线标准方程为 213yx 南京盐城二模 在平面直角坐标系 xoy 中 已知抛物线 C 的焦点为 F 定点 若24xy 0 2 A 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M 与抛物线 C 的准线相交于点 N 则 FM MN 13 南通调研三 在平面直角坐标系 xOy 中 点 F 为抛物线 x2 8y 的焦点 则 F 到双曲线 的渐 29yx 近线的距离为 答案 105 盐城三模 若抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合 则 的值为 28yx F213xyn n 1 南师附中四校联考 以双曲线 的中心为顶点 右准线为准线的抛物线方程为 124 yxy42 第 54 课 直线与圆锥曲线 位置关系 弦长 给定椭圆 C 1 a b 0 称圆 C1 x 2 y 2 a 2 b 2 为椭圆 C 的 伴随圆 已知椭圆 C 的 x2a2 y2b2 离心率为 且经过点 0 1 1 求实数 a b 的值 2 若过点 P 0 m m 0 的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截 得的弦长为 2 求实数 m 的值 2 解 1 记椭圆 C 的半焦距为 c 由题意 得 b 1 c 2 a 2 b 2 ca 解得 a 2 b 1 4 分 2 由 1 知 椭圆 C 的方程为 y 2 1 圆 C1 的方程为 x2 y 2 5 x24 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y kx m 即 kx y m 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 故方程组 有且只有一组解 由 得 1 4k 2 x2 8kmx 4m 2 4 0 从而 8km 2 4 1 4k 2 4m2 4 0 化简 得 m2 1 4k 2 10 分 因为直线 l 被圆 x2 y 2 5 所截得的弦长为 2 2 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3 即 14 分3 由 解得 k2 2 m 2 9 因为 m 0 所以 m 3 16 分 南通调研一 如图 在平面直角坐标系 中 分别是椭圆 的左 右xOy1F221 0 xyab 焦点 顶点 的坐标为 且 是边长为 2 的B 0 b12B 等边三角形 1 求椭圆的方程 2 过右焦点 的直线 与椭圆相交于 两点 记2FlAC 2ABF 的面积分别为 若 求直线 的C 1S212S l 斜率 O xyB A C F1 F2 南师附中四校联考 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆 C 的离心率为 右 0 12 bayx21 焦点 F 1 0 点 P 在椭圆 C 上 且在第一象限内 直线 PQ 与圆 O 相切于点 M 2 1 求椭圆 C 的方程 2 求 PM PF 的取值范围 3 若 OP OQ 求点 Q 的纵坐标 t 的值 1 2 分 ca c 1 a 2 椭圆方程为 4 分3b1342 yx 2 设 则 0yxP 0 1420 yx O P M QF xy PM 6 分0202020 1343xxyx PF 8 分01 PM PF 1 2 4 400 xx PM PF 的取值范围是 0 1 10 分20 3 法一 当 PM x 轴时 P Q 或 23 t 3 t 由 解得 12 分0 OQP t 当 PM 不垂直于 x 轴时 设 PQ 方程为 即 0yx 00 xky 00 ykx PQ 与圆 O 相切 31 20 k 3 20 kx 13 分02ykx02 y 又 所以由 得 14 分 ttQ 0 OQP00 kyxt 2020 kyxt 02020 ykx 3 3 202202 kyx 12 16 分3 43 1 20220 t 法二 设 则直线 OQ 0yxPxy0 0tyQ OP OQ OP OQ OM PQ 12 分20202020 3ttxtxyx 3 202020202202020 txytytyt 14 分 3 20txtyx 3202 yxt 16 分13420 yx432020 xy 1230 xt 3 t 前黄姜堰四校联考 已知曲线 曲线 曲线 的左顶1C 2y 2C21 0 4xy 2C 点恰为曲线 的左焦点 1C 1 求 的值 2 若曲线 上一点 的坐标为 过点 作直线交曲线 于 两点 直线 交曲线 2P2 1 P1C AOP1C 于 两点 若 为 中点 BDAC 求直线 的方程 求四边形 的面积 解 1 由 可得 3 分4 12 2 方法一 由 1 可得曲线 21 4xyC 由条件可知 的斜率必存在 可设 直线方程为 ACA2 1 kx 12 AxyC 联立方程 2 2 1 4ykx 可得 6 分2 2 1 4 30kxkxk 122 是 的中点 PAC12x 解得 24 1k k D xyBOCPA 第 17 题 直线方程为 8 分 AC20 xy 方法二 设 由 的中点为 可得 12 CA2 1 P1212 xy 由 两式相减可得 6 分 2124xy 1212yyxx 1ACk 2ACk 直线方程为 8 分0 xy 的斜率为 直线 的方程为 OP2 OB2yx 联立方程 可得 或 214 yx 2xy 1 11 分 BD 分别到直线 的距离为 AC12 33dd 由 可得 或0 x x 2 13 分 20 AC 6A 四边形 的面积 15 分BD124 6 23SCd 金海南三校联考 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 C 的左焦点为 F 左准 21 0 xyab 线为 l P 为椭圆上任意一点 直线 OQ FP 垂足为 Q 直线 OQ 与 l 交于点 A 1 若 b 1 且 b c 直线 l 的方程为 x 求椭52 圆 C 的方程 是否存在点 P 使得 若10F 存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 2 设直线 FP 圆 O x 2 y 2 a2 交于 M N 两点 求证 直线 AM AN 均与圆 O 相切 xOF PANMly 解 1 i 由题意 b 1 又 a2 b 2 c 2 a2c 52 所以 2c2 5c 2 0 解得 c 2 或 c 舍去 12 故 a2 5 所求椭圆的方程为 y 2 1 3 分 x25 ii 设 P m n 则 n 2 1 即 n2 1 m25 m25 当 m 2 或 n 0 时 均不符合题意 当 m 2 n 0 时 直线 FP 的斜率为 nm 2 直线 FP 的方程为 y x 2 nm 2 故直线 AO 的方程为 y x m 2n Q 点的纵坐标 yQ 5 分 2n m 2 m 2 2 n2 所以 FPFQ nyP m 2 2 n22 m 2 4m2 20m 2510 m 2 令 得 4m2 21m 27 0 或 4m2 19m 23 0 7 分 FPFQ 110 由 4m2 21m 27 0 解得 m 3 m 又 m 所以方程 无解 94 5 5 由于 19 2 4 4 23 0 所以方程 无解 故不存在点 P 使 10 分 FPFQ 110 3 设 M x0 y 0 A t 则 x 0 c y 0 t a2c FM OA a2c 因为 OA FM 所以 0 即 x0 c ty 0 0 FM OA a2c 由题意 y0 0 所以 t x0 cy0 a2c 所以 A 12 分 a2c x0 cy0 a2c x y OF l P Q M N 因为 x0 y 0 x0 y 0 AM a2c x0 cy0 a2c OM 所以 x 0 x0 y0 y0AM OM a2c x0 cy0 a2c x 02 y 02 x0 y0 a2c x0 cy0 a2c x 02 y 02 x0 x0 a 2 a2c a2c x 02 y 02 a 2 因为 M x0 y 0 在圆 O 上 所以 0 15 分AM OM 即 AM OM 所以直线 AM 与圆 O 相切 同理可证直线 AN 与圆 O 相切 16 分 第 55 课 直线与圆锥曲线 定值 存在性问题 前黄姜堰四校联考 已知椭圆 点 为其长轴 的 等分点 分别过这 2 1xCy 125 M AB6 五点作斜率为 的一组平行线 交椭圆 于 则 10 条直线 的斜率k 0 1210 P 1210 P 乘积为 132 如图 在平面直角坐标系 中 离心率为 的椭圆 的左顶点为 过原xOy2 C21 0 xyab A 点 的直线 与坐标轴不重合 与椭圆 交于 两点 直线 分别与 轴交于 两OPQPAQyMN 点 若直线 斜率为 时 PQ23 1 求椭圆 的标准方程 C 2 试问以 为直径的圆是否经过定点 与直线 的斜率无关 请证明你的结论 MNPQ N M Q A O P x y 18 解 1 设 直线 斜率为 时 02 PxPQ23PQ 3 分2200 3x 2021ab 2cabe 242 椭圆 的标准方程为 6 分C 21xy 2 以 为直径的圆过定点 MN 0 F 设 则 且 即 0 Pxy0 Qxy 214xy 204xy 直线 方程为 2 A A0 2x0 M 直线 方程为 9 分0 2yx 0 yN 以 为直径的圆为 MN002 2x 即 12 分 2200244xy 200 x 20 xy 令 解得 y2y 2 以 为直径的圆过定点 16 分MN 0 F 苏州期末 如图 已知椭圆 点 B 是其下顶点 过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 2 14xyC A A 点在 轴下方 且线段 AB 的中点 E 在直线 上 x x 1 求直线 AB 的方程 2 若点 P 为椭圆 C 上异于 A B 的动点 且直线 AP BP 分别交直线 于点 M N 证明 yx OM ON 为定值 解 1 设点 E m m 由 B 0 2 得 A 2m 2m 2 P N M B O A x y E 代入椭圆方程得 224 11m 即 22 1 3m 解得 32 或 0 舍 3 分 所以 A 1 故直线 AB 的方程为 360 xy 6 分 2 设 0 Pxy 则 2014xy 即 2204 设 M 由 A P M 三点共线 即 APM ur 00 3 1 3x 又点 M 在直线 上 解得 M 点的横坐标 032yxx 9 分y 设 Nx 由 B P N 三点共线 即 BPN ur 00 2 NNyx 点 N 在直线 上 解得 N 点的横坐标 02 xy 12 分y 所以 OM ON 2 0 Mxx 2 MNx 2 03 x 02 xy 16 分 220000002266 6 43yyyxxx 淮安宿迁摸底 如图 在平面直角坐标系 中 已知椭圆 设 是椭圆 上的OyC214y 0 RxyC 任一点 从原点 向圆 作两条切线 分别交椭圆于点 OR 22008x PQ 1 若直线 互相垂直 求圆 的方程 PQ 2 若直线 的斜率存在 并记为 求证 1k2120k 3 试问 是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 2 xOyPQAR 1 由圆 的方程知 圆 的半径的半径 R2r 因为直线 互相垂直 且和圆 相切 OPQR 所以 即 1 分24r 206xy 又点 在椭圆 上 所以 2 分RC 联立 解得 3 分02 xy 所以所求圆 的方程为 4 分R 228y 2 因为直线 与圆 相切 OP1ykx Q2kx R 所以 化简得 6 分102 kx 201010 8 yk 同理 7 分20200 8 yk 所以 是方程 的两个不相等的实数根 1 k20 8xxyk 8 分 22 01244ybacbacx 因为点 在椭圆 C 上 所以 即 0 Rxy2014x 22001x 所以 即 10 分 2012418kx 12k 3 是定值 定值为 36 11 分2OPQ 理由如下 法一 是定值 定值为 36 11 分当直线2 不落在坐标轴上时 设 12 PxyQ 联立 解得 12 分 12 4ykx 21214 ky 第 19 题 所以 22114 kxy 同理 得 由 2212k 所以 13 分21OPQxy 224 kk 2211 k 21367k 15 分 ii 当直线 落在坐标轴上时 显然有 OPQ236OPQ 综上 16 分236 法二 i 当直线 不落在坐标轴上时 设 12 xy 因为 所以 即 120k120yx 22114y 因为 在椭圆 C 上 所以 即 12 PxyQ2124xy 221122yx 所以 22211 4x 整理得 所以 21x 222111yxx 所以 14 分236OPQ ii 当直线 落在坐标轴上时 显然有 236OPQ 综上 16 分2 南京盐城二模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 x2a2 y2b2 直线 l y x 与椭圆 E 相交于 A B 两点 AB 2 C D 是椭圆 E 上异于 A B 的任意两点 且直线 12 5 AC BD 相交于点 M 直线 AD BC 相交于点 N x y A O B C D M N 第 18 题图 1 求 a b 的值 2 求证 直线 MN 的斜率为定值 解 1 因为 e 所以 c2 a2 即 a2 b 2 a2 所以 a2 2b 2 2 分 ca 22 12 12 故椭圆方程为 1 x2 2b2 y2 b2 由题意 不妨设点 A 在第一象限 点 B 在第三象限 由 解得 A b b y 12x x2 2b2 y2 b2 1 23 3 3 3 又 AB 2 所以 OA 即 b2 b2 5 解得 b2 3 5 5 43 13 故 a b 5 分 6 3 2 方法一 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k 2 C x 0 y 0 显然 k1 k2 从而 k1 kCB y0 1 x0 2 y0 1 x0 2 y02 1 x02 4 3 1 s do1 f x02 6 1 x02 4 2 x02 2x02 4 12 所以 kCB 8 分 1 2k1 同理 kDB 1 2k2 于是直线 AD 的方程为 y 1 k 2 x 2 直线 BC 的方程为 y 1 x 2 1 2k1 由 解得 y 1 12k1 x 2 y 1 k2 x 2 从而点 N 的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2 代 k1 k 1 代 k2 得点 M 的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 由 知 kDB 1 2k2 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 2k2 BC y 1 AD y 1 k 2 x 2 它们交点 N 2 1 2k2 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 方法二 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k 2 显然 k1 k2 直线 AC 的方程 y 1 k 1 x 2 即 y k 1x 1 2k 1 由 得 1 2k12 x2 4k 1 1 2k 1 x 2 4 k12 4k 1 2 0 y k1x 1 2k1 x2 6 y2 3 1 设点 C 的坐标为 x 1 y 1 则 2 x1 从而 x1 2 4k12 4k1 2 1 2k12 4k12 4k1 22k12 1 所以 C 4k12 4k1 2 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 又 B 2 1 所以 kBC 8 分 2k12 4k1 12k12 1 1 4k12 4k1 2 2k12 1 2 1 2k1 所以直线 BC 的方程为 y 1 x 2 1 2k1 又直线 AD 的方程为 y 1 k 2 x 2 由 解得 y 1 12k1 x 2 y 1 k2 x 2 从而点 N 的坐标为 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2 代 k1 k 1 代 k2 得点 M 的坐标为 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 则由 知 kDB 1 2k2 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 2k2 BC y 1 AD y 1 k 2 x 2 它们交点 N 2 1 2k2 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 南京三模 在平面直角坐标系 xOy 中 设中心在坐标原点的椭圆 C 的左 右焦点分别为 F1 F 2 右准线 l x m 1 与 x 轴的交点为 B BF 2 m 1 已知点 1 在椭圆 C 上 求实数 m 的值 2 已知定点 A 2 0 若椭圆 C 上存在点 T 使得 求椭圆 C 的离心率的取值范围 TATF1 2 当 m 1 时 记 M 为椭圆 C 上的动点 直线 AM BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P Q 若 求证 为定值 AM AP BM BQ 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2a2 y2b2 由题意 得 解得 a2 m 1 b2 m c 1 所以椭圆方程为 1 x2m 1 y2m 因为椭圆 C 过点 1 所以 1 32 m 1 1m 解得 m 2 或 m 舍去 12 所以 m 2 4 分 2 设点 T x y 由 得 x 2 2 y 2 2 x 1 2 y 2 即 x2 y 2 2 6 分 TATF1 2 由 得 y2 m 2 m 因此 0 m 2 m m 解得 1 m 2 所以椭圆 C 的离心率 e 10 分 方法一 设 M x0 y 0 P x 1 y 1 Q x2 y 2 则 x0 2 y 0 x 1 2 y 1 AM AP 由 得 AM AP x0 2 x1 2 y0 y1 从而 12 分 x0 x1 2 1 y0 y1 因为 y 02 1 所以 y1 2 1 x022 x1 2 1 22 即 2 y 12 2 1 x 1 2 1 2 1 0 x122 因为 y 12 1 代入得 2 1 x1 3 2 4 1 0 x122 由题意知 1 x y A O B M P Q 第 18 题图 F2F1 l 故 x1 所以 x0 3 12 32 同理可得 x0 14 分 32 因此 32 32 所以 6 16 分 方法二 设 M x0 y 0 P x 1 y 1 Q x2 y 2 直线 AM 的方程为 y x 2 y0 x0 2 将 y x 2 代入 y 2 1 得 x0 2 2 y x2 4 y x 4y x 0 2 2 0 y0 x0 2 x22 12 2 0 2 0 2 0 因为 y 02 1 所以 可化为 2x 0 3 x 2 4y x 3x 4x 0 0 x022 2 0 2 0 因为 x0 x1 所以 x1 3x0 42x0 3 同理 x2 14 分 3x0 42x0 3 因为 AM AP BM BQ 所以 x0 2x1 2 x0 2x1 2 6 x0 2 2x0 3 x0 2 x0 2 2x0 3 x0 2 即 为定值 6 16 分 盐城三模 如图 在平面直角坐标系 中 椭圆 的离心率为 直xoy2 1 0 yCab 63 线 与 轴交于点 与椭圆 交于 两点 当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右焦点时 lxECABlxEC 弦 的长为 AB263 1 求椭圆 的方程 2 若点 的坐标为 点 在第一象限且横坐标为 连结点 与原点 的直线交椭圆E 0 2A3AO 于另一点 求 的面积 CPB 3 是否存在点 使得 为定值 若存在 请指出点 的坐标 并求出该定值 若不21E E 存在 请说明理由 yxBPAOEF1F2 第 18 题 解 1 由 设 则 63ca 0 k 6ck 23b 所以椭圆 的方程为 因直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右焦点 即C 219xy lxEC 代入椭圆方程 解得 于是 即 6ABxk yk 263 k 所以椭圆 的方程为 5 分C 21xy 2 将 代入 解得 因点 在第一象限 从而 3x 26 y A 3 1 A 由点 的坐标为 所以 直线 的方程为 E 0 223ABkP2 yx 联立直线 与椭圆 的方程 解得 PAC7 5 又 过原点 于是 所以直线 的方程为 O 3 1 4PA PA30 xy 所以点 到直线 的距离 10BPA73525h 16425PABS 分 3 假设存在点 使得 为定值 设 E21B0 Ex 当直线 与 轴重合时 有 ABx 202220011 6 6 xA 当直线 与 轴垂直时 22 2001 1 xEB 由 解得 202016 6 x 03x 206x 所以若存在点 此时 为定值 2 12E 21EAB 分 根据对称性 只需考虑直线 过点 设 AB 3 0 E1 Axy2 B 又设直线 的方程为 与椭圆 联立方程组 ABxmy C 化简得 所以 2 3 30y 123my 123y 又 2 22221111 EAx 所以 2122221 yyBmym 将上述关系代入 化简可得 2EAB 综上所述 存在点 使得 为定值 2 16 分 3 0 21 第 56 课 综合应用 最值 范围 1 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点相同 则 215xym 21yx 此双曲线的渐近线方程为 苏锡常镇二模 已知 为椭圆 上的动点 为圆 的一条直径 则A295x MN2 1 xy 的最大值为 15AMN 在平面直角坐标系 中 已知椭圆 的离心率 直线xOyC21 0 xyaba 12e 过椭圆 的右焦点 且交椭圆 于 两点 10 lxmy RFCAB 1 求椭圆 的标准方程 C 2 已知点 连结 过点 作垂直于 轴的直线 设直线 与直线 交于点 试探索5 2DBAy1l1lBDP 当 变化时 是否存在一条定直线 使得点 恒在直线 上 若存在 请求出直线 的方程 若m2lP2l 2l 不存在 请说明理由 18 解 1 由题设 得 解得 从而 1 2ca ca 223bac 所以椭圆 的标准方程为 4 分C43xy 2 令 则 或者 0m 3 1 2A B 3 1 2A B 当 时 当 时 342P 1 3 4 2P 所以 满足题意的定直线 只能是 6 分lx 下面证明点 恒在直线 上 P4x 设 由于 垂直于 轴 所以点 的纵坐标为 从而只要证明 在1 Axy 2 By PAyP1y1 4 Py 直线 上 8 分D 由 得 2 0143xmy 2 43 690my 2 0D 10 分122643ym 122943y 13 分 212212133 055DBP ymykx 1212 3ymy 式代入上式 得 所以 15 分0DBPk DBPk 点 恒在直线 上 从而直线 直线 与直线 三线恒过同一点 1 4 Py 1l2 4lx P 所以存在一条定直线 使得点 恒在直线 上 16 分2l4x 2l 镇江期末 已知椭圆 的右焦点 离心率为 过 作两条互相垂直 0 bay 0 1 F2F 的弦 设 的中点分别为 ABCDMN 1 求椭圆的方程 2 证明 直线 必过定点 并求出此定点坐标 MN 3 若弦 的斜率均存在 求 面积的最大值 F 解 1 由题意 则 3 分1c 2aa 1b 椭圆的方程为 4 分 2xy 2 斜率均存在 设直线 方程为 ABCDAB 1 ykx 1 xy2 y1212 xMk Ay xBOD CMN F 得 5 分2 1 0ykx 22 40kxk 故 6 分 21224 kx 22 1Mk 将上式中的 换成 则同理可得 8 分2 kN 如 得 则直线 斜率不存在 221k 1k 此时直线 过点 下证动直线 过定点 9 分MN 0 3M 0 3P 法一 若直线 斜率存在 则 22242 31 1Nkkk 直线 为 11 分MN2223 1kkyx 令 得 0 31kx 又当 斜率有一个不存在时 也过点 ABCD 0 所以 直线 过定点 12 分MN2 0 3 法二 动直线 最多过一个定点 由对称性可知 定点必在 轴上 x 设 与 轴交点为 下证动直线 过定点 23x PMN2 0 3P 当 1k 时 PMk 10 分22311 kk 同理将上式中的 换成 可得 11 分k 22 31PNkk 则 PMNk 直线 过定点 2 0 3 又当 斜率有一个不存在时 也过点 ABCD 0 3 所以 直线 过定点 12 分2 0 3 3 由第 2 问可知直线 过定点 N P 故 S FMN S FPM S FPN 2211 33kk 13 分 2241 3 1 1 65kk 22 5k 令 S FMN 14 分1 t 21 5tft 21t 则 在 单调递减 15 分 2 0 tft 当 时 取得最大值 此时 S FMN 取得最大值 此时 16 分t ft 191k 说明 本题原创 考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问题题型 考查 变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想 考查运算能力 演绎论证 分析法证明 能 力 直觉思维能力 猜想探究能力 泰州二模 如图 在平面直角坐标系 中 椭圆 的左顶点为 与 轴xOy E21 0 xyab Ax 平行的直线与椭圆 交于 两点 过 两点且分别与直线 AC垂直的直线相交于EBCB 点 已知椭圆 的离心率为 右焦点到右准线的距离为 D5345 1 求椭圆 的标准方程 2 证明点 在一条定直线上运动 并求出该直线的方程 3 求 面积的最大值 BC xy D COBA 解 1 由题意得 53ca 245c 解得 所以 所以椭圆 的标准方程为 3 a2bE2194xy 4 分 2 设 显然直线 的斜率都存在 设为00 BxyC ABCD 则 1234 k 0120 3ykx 00343 xkky 所以直线 的方程为 BD0000 xyy 消去 得 化简得 y000033 xx 3 故点 在定直线 上运动 10 分 3 由 2 得点 的纵坐标为 D200009 3 Dxxyyy 又 所以 则 20194xy 220094x 2000 054 4Dxyyy 所以点 到直线 的距离 为 DBCh00059 将 代入 得 0y 2194xy 2034yx 所以 面积BCD 209612ABCSh 当且仅当 即 时等号成立 故 20201777414yy 2014y 02y 时 面积的最大值为 16 分0 B 苏北三市调研三 如图 已知椭圆 其离心率为 两条准线之间的距 2 1 0 xyMab 32 离为 分别为椭圆 的上 下顶点 过点 的直线 分别与椭圆 交83C 2Tt TBCM 于 两点 EF 1 求椭圆 的标准方程 M 2 若 TBC 的面积是 TEF 的面积的 倍 求 的最大值 k 1 由题意 解得 238 ca 2 3ac 椭圆方程为 4 分b 214xy 2 解法一 6 分1TBCSt 直线 方程为 联立 得 yxt 214xyt 284Etx 所以 到 的距离 284 tE TC30y 8 分 22 22 1994ttt tdt 直线 方程为 联立 得 TC31yxt 231xyt 2436Ftx 2246 3ttF TF2246tt 10 分 222221319193663tt ttt t 2222226494TEFt ttSd 12 分 2341BCTEFttk 令 则21tm 14 分22 8 69 3km 当且仅当 即 等号成立 4t 所以 的最大值为 63 y B x F E O C T 第 18 题 分 解法二 直线 方程为 TB1yxt 联立 得 6 分 241xyt 284Et 直线 方程为 联立 得 8 分TC31yxt 213xyt 2436Ftx 10 分 1sin2TBCEFBTCSk EF TCTBEFxCx 12 分 222243681436tttt 令 则1tm 14 分22 94 3km 当且仅当 即 等号成立4t 所以 的最大值为 16 分 苏锡常镇二模 如图 在平面直角坐标系 中 四边形 的顶点都在椭圆xOyABCD 上 对角线 与 分别过椭圆的左焦点 和右焦点 且 21 0 xyab AC1 0 F 2 1 0 F 椭圆的一条准线方程为ACBD 4x 1 求椭圆方程 2 求四边形 面积的取值范围