高中函数值域解法.doc

一观察法 通过对函数定义域、性质的观察结合函数的解析式求得函数的值域。 例1求函数y=3+(23x) 的值域。 点拨根据算术平方根的性质先求出(23x) 的值域。 解由算术平方根的性质知(23x)0 故3+(23x)3。 函数的知域为 . 点评算术平方根具有双重非负性即1被开方数的非负性2值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解这种方法对于一类函数的值域的求法简捷明了不失为一种巧法。 练习求函数y=x(0x5)的值域。答案值域为012345 二反函数法 当函数的反函数存在时则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨先求出原函数的反函数再求出其定义域。 解显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/y1,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。 点评利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想是数学解题的重要方法之一。 练习求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。答案函数的值域为yy<1或y>1三配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3求函数y=(x2+x+2)的值域。 点拨将被开方数配方成完全平方数利用二次函数的最值求。 解由x2+x+20,可知函数的定义域为x12。此时x2+x+2=x1/229/409/4 0x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2 点评求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3) 四判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。 点拨将原函数转化为自变量的二次方程应用二次方程根的判别式从而确定出原函数的值域。 解将上式化为y2x2(y2)x+(y-3)=0 当y2时,由=(y2)24y2x+(y3)0解得2x10/3 当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。 点评把函数关系化为二次方程F(x,y)=0由于方程有实数解故其判别式为非负数可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。 练习求函数y=1/(2x23x+1)的值域。答案值域为y8或y>0。 五最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨根据已知条件求出自变量x的取值范围将目标函数消元、配方可求出函数的值域。 解3x2+x+10上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解解之得1x3/2又x+y=1将y=1-x代入z=xy+3x中得z=-x2+4x(-1x3/2), z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续故只需比较边界的大小。 当x=-1时z=5当x=3/2时z=15/4。函数z的值域为z5z15/4。 点评本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间若存在最值也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习若x为实数则函数y=x2+3x-5的值域为 A B7 C0 D5 答案D。 六图象法 通过观察函数的图象运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=x+1+(x-2)2 的值域。 点拨根据绝对值的意义去掉符号后转化为分段函数作出其图象。 解原函数化为 2x+1 (x1) y= 3 (-1<x2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y3,所以函数值域3。 点评分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 点拨由已知的函数是复合函数即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)其定义域为x1/3在此区间内分别讨论函数的增减性从而确定函数的值域。 解设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此所求的函数值域为y|y4/3。 点评利用单调性求函数的值域是在函数给定的区间上或求出函数隐含的区间结合函数的增减性求出其函数在区间端点的函数值进而可确定函数的值域。 练习求函数y=3+4-x 的值域。(答案y|y3) 八换元法 以新变量代替函数式中的某些量使函数转化为以新变量为自变量的函数形式进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。 点拨通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数利用二次函数的最值确定原函数的值域。 解设t=2x+1 t0,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2. 所以原函数的值域为y|y7/2。 点评将无理函数或二次型的函数转化为二次函数通过求出二次函数的最值从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习求函数y=x-1 x的值域。答案y|y3/4 九构造法 根据函数的结构特征赋予几何图形数形结合。 例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 点拨将原函数变形构造平面图形由几何知识确定出函数的值域。 解原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 , KC=(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知AK+KCAC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。 原函数的知域为y|y5。 点评对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数)均可通过构造几何图形由几何的性质直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习求函数y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。答案y|y52 十比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法可将条件转化为比例式代入目标函数进而求出原函数的值域。 例4已知x,yR且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式设置参数代入原函数。 解由3x-4y-5=0变形得(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=3/5时x=3/5,y=4/5时zmin=1。 函数的值域为z|z1. 点评本题是多元函数关系一般含有约束条件将条件转化为比例式通过设参数可将原函数转化为单函数的形式这种解题方法体现诸多思想方法具有一定的创新意识。 练习已知x,yR且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。答案f(x,y)|f(x,y)1 十一利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨将原分式函数利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0故y3。 函数y的值域为y3的一切实数。 点评对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。答案y2 十二不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨先求出原函数的反函数根据自变量的取值范围构造不等式。 解易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知 x/(1-x)0 1-x0 解得0x<1。 函数的值域01。 点评考查函数自变量的取值范围构造不等式组或构造重要不等式求出函数定义域进而求值域。不等式法是重要的解题工具它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 以下供练习选用求下列函数的值域 1Y=(154x)+2x-5y|y3 2Y=2x/(2x1)。 y>1或y<0 注意變量。