广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线(教师版)

广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）1已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值【答案】解:（1）由离心率，得，即. 2分又点在椭圆上，即. 4分解 得，故所求椭圆方程为. 5分由得直线l的方程为. 6分（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.设与直线l相切于点T，则由，得， 10分当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得. 12分因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得. 14分2. 已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为.()求圆C的圆心轨迹L的方程；（）求满足条件的点的轨迹Q的方程；（）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。(4分)（）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，即，所以，轨迹Q的方程是 (8分)（）由（）得， ，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为，令得，令得，因为点B在上，所以故，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为设，即得，所以当时，当时，所以点B的坐标为或. (14分)3已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，中心在原点若右焦点到直线的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点，由题设，解得，4分故所求椭圆的方程为。5分设，P为弦MN的中点，由 得 ，直线与椭圆相交， ， 8分，从而， ，又，则： ，即 ， 10分把代入得 ，解得 ， 12分由得，解得 13分综上求得的取值范围是 14分4（本题满分14分） 已知椭圆:的一个交点为,而且过点.（）求椭圆的方程； （）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.【答案】解法一:由题意得,解得, 所以椭圆的方程为.4分 解法二:椭圆的两个交点分别为, 由椭圆的定义可得,所以, 所以椭圆的方程为.4分 （）解法一:由（）可知,设, 直线:,令,得;直线:,令,得; 设圆的圆心为,则,而,所以,所以,所以,即线段的长度为定值.14分解法二:由（）可知,设, 直线:,令,得;直线:,令,得;则,而,所以,所以,由切割线定理得所以,即线段的长度为定值.14分5(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； （2）求证：直线恒过定点；（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.【答案】解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得， 2分因为到的中点的距离为，从而过三点的圆的方程为 易知此圆与直线相切. 4分（2）证法一：设切点分别为,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得 ，又因为，所以5分从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点，所以得 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 即6分即点，均满足即，故直线的方程为 7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得 即：5分从而，此时，所以切点的坐标分别为，6分因为，所以的中点坐标为故直线的方程为，即.7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即又切线过点，所以得 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 即6分即点，均满足即，故直线的方程为 7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .8分（3）解法一：由（2）中两式知是方程的两实根，故有（*）将，代入上（*）式得， 9分当时，直线上任意一点均有，为直角三角形； 10分当时，不可能为直角三角形； 11分当时，. 因为，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是.所以当时，有或，为直角三角形.13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.14分解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，所以当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形； 10分当时，即时，与不垂直。因为，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是.所以当时，有或，为直角三角形.13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.6（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，（1）求、的值；（2）若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围【答案】（1）依题意，：，不妨设设、（）由得，（3分）所以解得，（6分）（2）由消去得，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或9分，解得或（9分）动圆与直线没有公共点当且仅当，即。解或，（10分）得的取值范围为（12分）7（本小题满分14分）已知椭圆的左，右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；【答案】（1）解：依题意可得，1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分证法2：设点、（，），则，4分因为，所以，即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，即，6分所以，即7分所以8分证法3：设点，直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或6分将代入，得，即所以8分8（本小题满分14分）已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k若直线PA平分线段MN，求k的值；对任意，求证：PABCxyOMN【答案】解：（1）在直线中令得；令得， 则椭圆方程为（2）,M、N的中点坐标为(，)，所以（3）法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线AB方程为代入椭圆方程得，由，因此， 法二：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：9、（本小题满分14分）过双曲线2x2-y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为3.(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.(2)证明直线BC过定点.【答案】19. 解:令B(x1, y1),C(x2, y2).(1)当BC与x轴垂直时,有x1=x2, y1= -y2,故:3=x1=,与|x1|矛盾.因此AB不与x轴垂直. . 3分当BC与y轴垂直时,有x1= -x2, y1= y2,故:3=y1= -.因此AB可与y轴垂直, 此时AB的方程为y= -. 5分(2)当BC不与坐标轴垂直时,kABkAC=3,故3(x1-1)(x2-1)=(y1-1)(y2-1). . 6分令BC : y=kx+b,代入双曲线方程有:2x2-(kx+b)2=1(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.x1,x2是方程的两个实根.令f(x)= (2-k2)x2-2kbx-b2-1,则(x1-1)(x2-1)= . . 8分直线方程又可写成:x=,代入2x2-y2=1,有: 2(y-b)2-k2y2=k2,整理得:(2-k2)y2-4by+2b2-k2=0. y1,y2是方程的两个实根.令g(y)= (2-k2)y2-4by+2b2-k2.(y1-1)(y2-1)= 10分,两式代入式,有:故31-(k+b)2=2(b-1)2-k2, 从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k). 因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b1.利用,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b-1-k)=0,即k+5b+1=0因此直线AB过定点M.直线y=-也过定点M.综上所述,直线AB恒过定点M. 14分广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 15 页 共 15 页