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第2章数列(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1在等差数列an中，已知a68，则前11项和S11()A58 B88 C143 D176解析：因为在等差数列中S1111a611888.答案：B2首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是()A. B(3，) C. D.解析：依题意可知即解得d3.答案：D3现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A9根 B10根 C19根 D29根解析：设钢管被放成n层，则钢管数为Sn，当n19时，钢管数为190，当n20时，钢管数为210200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4公比为的等比数列an各项都是正数，且a3a1116，则log2a16为()A4 B5 C6 D7解析：a3a1116a16a74，而a16a7q94(3)932，log2a165.答案：B5等差数列an共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2na133，则该数列的公差为()A3 B3 C2 D1解析：依题意，可知nd729018，由a2na133得，(2n1)d33，36d33，d3.答案：B6等差数列an中，a15，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是()Aa11 Ba10 Ca9 Da8解析：数列an的前11项的平均值是5，即5，故得a1115，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a11.答案：A7数列an前n项的和Sn3nb(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为()A3 B0 C1 D1解析：当n1时，a1S13b，当n2时，anSnSn13n3n123n1.若数列an成等比数列，则an23n1，对于n1时也要成立，即3b2，b1.答案：C8若an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A. B. C. D.解析：bn，用裂项法可求bn的前10项和为.答案：B9已知正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是 ()A(6,5) B(5,6) C(6,7) D(5,7)解析：按规律分组，第1组1个数对，第2组2个数对，第n组n个数对，前10组共有55个数对，因此第60个数对应是第11组中的第5个，即(5,7)答案：D10ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cos B()A. B. C. D.解析：a、b、c成等比数列，b2ac，又c2a.cos B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11设Sn和Tn分别是等差数列an和bn的前n项和，且，则_.解析：因为在等差数列中S2n1(2n1)an，.答案：12随着计算机技术的不断发展，电脑的性能越来越好，而价格又在不断下降若每隔2年电脑的价格可降低三分之一，则现在价格为8 100元的电脑在6年后的价格可降为_元解析：依题意可知，6年后的价格为8 1002 400元答案：2 40013设等差数列an满足3a85a13，且a10，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是_解析：3a85a13，且a10，即3(a17d)5(a112d)，da10，令ana1(n1)da1(n1)a10，解得n，an中前20项和最大答案：S2014(2013湖南卷)设Sn为数列an的前n项和，且Sn(1)nan，nN*，则a3_.解析：Sa1a2a3a4a4，即a1a2a3，而S3a3，解得a3.答案：三、解答题(本大题共6小题，共80分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15(12分)(2013四川卷)等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和解析：设an的分差为d，前n项和为Sn，由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0，解得或Sn4n或Sn.16(12分)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；解析：(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0(舍去)故an的通项an1(n1)1n.(2)求数列2an的前n项和Sn.解析：(2)由(1)知2an2n，由等比数列前n项和公式得Sn222232n2n12.17.(14分)已知等差数列an的前n项和为Snpn22nq(p，qR，nN*)(1)求q的值；解析：(1)当n1时，a1S1p2q，当n2时，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2.an是等差数列p2q2pp2，q0.(2)若a1与a5的等差中项为18，bn满足an2log2bn，求数列bn的前n项和解析：(2)a3，a318，又a36pp2，6pp218，p4，an8n6，又an2log2bn，得bn24n3.b12，2416，即bn是等比数列数列bn的前n项和Tn(16n1)18(14分)(2013广东卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；解析：(1)an1n2n，nN*，当n1时，2a12S1a21a22，又a11，a24.(2)求an的通项公式解析：(2)已知式可变为2Snnan1，当n2时，2Sn1(n1)an，得2Sn2Sn1nan1(n1)ann(n1)又anSnSn1，2annan1(n1)ann(n1)即nan1(n1)ann(n1)，即1，是首项为1，公差为1的等差数列，n，即ann2(n2)当n1时显然也成立，故ann2，nN*.19.(14分)某企业2008年初投入资金1000万元经营某种产品，如果预计每年经过经营，资金的增长率为50%，但每年年底应扣除相同的消费基金x万元，剩余资金全部投入再经营为了实现到2012年年底扣除当年消费基金后的资金达到2000万元的目标，问每年扣除的消费基金x应不大于多少万元？(精确到万元)解析：依题意，2008年底扣除消费基金后的资金有1 000(150%)x1 000x(万元)2009年底扣除消费基金后的资金有1 000x(150%)x21 000x(万元)2010年底扣除消费基金后的资金有(150%)x31 000x(万元)于是有：51 0001234x2 000.51 000x2 000.x1 000.x1 000424(万元)因此每年扣除的消费基金应不大于424万元20(14分)(2013江西卷)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式；解析：(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0，由an是正项数列，Sn0，故Snn2n，于是a1S12，n2时anSnSn12n，综上an2n.(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对任意的nN*，都有Tn.解析：(2)由an2n，bn，Tn.
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