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代数部分第一章 有理数及其运算1 自然数及其运算11 自然数零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作自然数的单位自然数的全体：0,1,2,3,4,n,叫做自然数的集合,简称自然数集能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法: 求和的运算叫做加法2 减法: 减法是加法的逆运算3 乘法: 同一个自然数的连加运算,就叫做乘法4 除法: 除法是乘法的逆运算,零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律1 加法交换律:a+b=b+a2 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)3 乘法交换律:ab=ba4 乘法对加法的分配律:(a+b)c=ac+bc5 加法结合律:(ab)c=a(bc)6 自然数0和1的运算特征14 乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算an中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果an叫做幂(读作“a的n次幂”或“a的n次方”)零的n次方总等于零,1的n次方总等于1同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加指数运算律(一)同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即aman=a(m+n),指数运算律(二)乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即(ab)n=anbn指数运算律(三)幂的乘方,指数相乘,底数不变,即(am)n=a(mn)指数运算律(四)同底数幂相除,指数相减,底数不变,即am/an=a(m-n)其中mn,a!=0两个同底数(不为0)、同指数的幂相除,其商等于1a0=1 (a!=0)分数的意义与特点a/bb=(a1/b)b=(b1/b)a=1a=aa/b=am/bm (m!=0)a/b=(a/b)/(b/n) (n!=0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd乘法a/bc/d=ac/bd除法(a/b)/(c/d)=(a/b)(d/c)=ad/bc乘方(a/b)m=(a/b)(a/b)(a/b)m个括号=(am)/(bm)分数加法的交换律是 a/b+c/d=c/d+a/b3 有理数的意义31 相反意义的量在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消32 正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);带有负号的数叫做负数负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消数零,既不是正数,也不是负数对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数零的相反数,仍是零33 有理数、数轴整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数整数和分数,统称为有理数全体有理数组成的集合,称为有理数集合全体整数组成的集合,称为整数集合全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34 绝对值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零4 有理数的运算41 有理数的加法与减法加法符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的42 代数和含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号添括号法则：紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号43 有理数的乘法与除法乘法异号(一负一正)两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正,异号得负当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负零除以任一个非零有理数,其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x,除1所得的商1/x,叫做这个数x的倒数非零有理数x与1/x互为倒数,其特征性质是x1/x=1零没有倒数除以一个非零有理数,就等于诚意这个数的倒数a/b=a1/b=a/b44 有理数的乘方非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号零的非零次都0;零的零次方没有意义45 有理数的混合运算先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算46 近似数和有效数字与实际相符的数,叫做准确数与实际接近的数,叫近似数一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字5 有理数的基本性质51 有理数运算的“通性”1 加、减、乘(乘方)、除运算的封闭性任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数)都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法(除数不为0)、减法都不封闭;在整数范围内,除法(除数不为0)也不封闭2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律(1) 加法的交换律、结合律对于有理数a、b、c来说a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)(2) 乘法的交换律、结合律对于有理数a、b、c来说,ab=ba; (ab)c=a(bc)(3)乘法对于加法的分配律对于有理数a、b、c来说a(b+c)=ab+ac3 加、减法运算,乘、除运算的统一(1) 加、减运算的统一任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+(-b)(2) 乘、除运算的统一任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b1/b=1/bb=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a1/b(b!=0)4 数0与1的特性对于任意有理数a来说,a+0=0+a=a; a0=0a=0; a1=1a=a5 乘方运算满足指数运算律52 有理数的大小顺序负数零0, ab;a-b=0, a=b;a-b0, a”或“B,那么BB,BC,那么AB,那么A(+,-)mB(+,-)m4) 如果AB,且m0,那么AmBm5) 如果AB,且m0,那么Am=0,b=0)2 算术平方根的除法sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a=0,b0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根23 算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根3 一元二次方程及其解法31 一元二次方程只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程32 特殊的一元二次方程的解法33 一般的一元二次方程的解法配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数4 有平方根的定义,可知(1) 当p2/4-q0时,原方程有两个实数根;(2) 当p2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);(3) 当p2/4-q=0时,x1,2=(-b(+,-)sqrt(b2-4ac)/2a35 一元二次方程根的判别式方程ax2+bx+c=0(a!=0)当delta=b2-4ac0时,有两个不相等的实数根;当delta=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;当delta=b2-4ac0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴5 一次函数及其图像51 一次函数及其图像如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距52 一次函数的性质函数y=f(小),在axb上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在axb上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=发(x)在axb上是递减函数如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法3. 3 一次函数的应用第九章 二次函数1 二次函数及其图像11 二次函数我们把函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数12 函数y=ax(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x的图象这个图象叫做抛物线函数y=x的图像,以后简称为抛物线y=x这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点13 函数y=ax+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a0时,二次函数y=ax+bx+c在x-b/2a时是递减的,在x-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b/4a当a0时,二次函数y=ax+bx+c在x-b/2a时是递减的;在x=-不/2a处取得y最大=4ac-b/4a2 根据已知条件求二次函数21 根据已知条件确定二次函数22 二次函数的最大值或最小值23 一元二次方程的图像解法几何部分第一章 实验几何1 点和直线1.1位置和通路在几何学中,“点”就是表示位置的,它是没有大小的,通常,我们用不同的字母表示不同的电在空间,另一个原始的基本概念是“通路”,所谓通路,就是从一个位置移到另一个位置的路线连结A、B两点的最短通路唯一存在,它就是连结A、B两点的直线段直线段简称线段,两点之间可以连唯一一条线段；在所有连接两点的通路中线段最短已知线段AB,按点A到点B的方向延长,那么延长出来的部分就叫线段AB的延长线,同样,也可以作线段BA的延长线1.2直线的基本性质由线段AB向两方无限延伸所形成的图形叫做直线,一条直线上有无限多个点,直线可以用标记它上面任意两个点的大写字母来表示,也可以用一个小写字母表示,如直线AB,直线l过相异两点有一条直线,并且只有一条直线（简称相异两点确定一条直线）两条相交直线确定一个交点1.3线段的长度两点间的距离就是连结这两点的线段的长度平分线段的点叫做线段的中点一条线段只有一个中点2 弧和角2.1圆和弧在平面上,固定线段OA的一个端点O,线段OA绕点O旋转一周,另一个端点所经过的封闭的曲线叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段OA叫做半径圆上的任意两点叫做弧2.2方向和角方向与射线：直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点射线与角：从同一端点出发的两条射线所组成的图形叫做角,这个共同的端点叫做角的顶点,这两条射线分别叫做角的边若射线AB绕点A旋转一周,仍然回到原来的位置,所形成的角称为周角从角的顶点在这个角的内部引一条射线,如果这条射线将这个角分为两个相等的角,那么这条射线叫做角的平分线2.3角的度量当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角大于直角而小于平角的角叫做钝角大于零角而小于直角的角叫锐角两个角的和等于一个直角,则称这两个角互为余角两个角的和等于一个平角,则称这两个角互为补角3 相交与平行3.1对顶角、邻角、邻补角一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线时,这两个角叫做对顶角对顶角相等3.2垂线和斜线当两条直线相交成直角时,这两条直线就叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,交点叫做垂足直线l2和l1相交,它们的交角不成直角,这两条直线就叫做互相斜交,其中一条叫做另一条的斜线,交点叫做斜足过直线外一点画这条直线的垂线,这点到垂足间线段的长度叫做这点到这条直线的距离过线段中点作这条线段的垂线,这条垂线叫做这条线段的垂直平分线3.3同位角、内错角、同旁内角分别在两条直线的相同的一侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同位角在两条直线的内侧,并且在第三条直线的异侧的一对角叫做内错角在两条直线的内侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同旁内角3.4平行线平行公理：经过直线外一点,又一条而且只有一条直线与该直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内同旁内角互补,两直线平行垂直于同一直线的两直线平行两条平行线被第三条直线所截,同位角相等两条平行线被第三条直线所截,内错角相等两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行3.5空间的直线与平面的位置关系一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么和两个平面互相垂直不在平面内的一条直线只要与平面内的某一条直线平行,这条直线与这个平面就是平行的4 叠合与全等4.1叠合与全等形两个形状相同,大小相等的几何图形叫做全等形两个全等三角形的对应边相等,对应角相等4.2三角形全等的条件三角形具有稳定性判定方法1 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等判定方法2 如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等判定方法3 如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等5 面积及勾股定理5 1面积 平行四边形面积公式 S=ah三角形面积公式 S=1/2a*h梯形面积公式 S=1/2(a+b)*h5 2勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方第二章 集合知识初步1 集合及其表示法1.1集合的描述法组成某个集合的每一个事物叫做这个集合的元素列举法：如果集合所含的元素个数较少,那么便可把这个集合所含的元素逐个列举出来,这种描述法叫做列举法特征性质描述法：如果集合所含的元素个数较多,甚至含有无限多个元素,这样的集合不便于用列举法表示出来,此时可采用指出元素特征性质的方法来表示集合,这种表示方法叫做特征性质描述法维因图：为了形象化地帮助我们理解集合,可以用一个简单的图形来表示它,通常用来表示给定集合的图形是圆形,圆形上的点表示这个集合所含有的元素,这种用来表示集合的图形叫维因图1.2集合之间的关系包含关系：如果集合A的元素都是集合B的元素,那么就称集合A包含于集合B,也可称集合B包含集合A1.3交集、并集交集：对于给定的两个集合A、B,由它们的公共元素所组成的集合叫做A、B的交集并集：对于给定的两个集合A、B,把它们所含元素合并起来所组成的集合,叫做A、B的并集2 集合知识简单应用2.1集合及其性特征性质2.2子集与推出关系2.3充分条件与必要条件第三章 三角形1 三角形的有关概念和性质1.1三角形的内角和在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180在原来图形上添画的线叫做辅助线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高2 全等三角形2.1全等三角形的证明边边边 有三边对应相等的两个三角形全等边角边 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等定理 有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2.2直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等3 等腰三角形3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理 等腰三角形的底角相等推论 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形定理 一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3.2线段的垂直平分线与角平分线定理 线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理 和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合定理 点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合3 轴对称定义 如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴定义 在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴定义 在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理 （1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等 （2）对称点所连线段被对称轴垂直平分推论 两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形3.4三角形中的不等关系定理 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理 三角形任何两边的和大于第三边推论 三角形任何两边的差小于第三边定理 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理 在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角4 直角三角形4.1勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足条件a+b=c,那么c所对的角是直角4.2含30角的直角三角形的性质定理 在直角三角形中,如果一个瑞角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半4.3直角三角形斜边上中线的性质定理 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半5 基本作图5.1基本作图5.1作三角形5.3轨迹与反证法我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义 具有性质a的所有点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹轨迹具有纯粹性和完备性基本轨迹1 与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线基本轨迹2 与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线第四章 四边形1 多边形1.1多边形延长多边形的任意一条边,如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁,我们把这样的多边形叫做凸多边形在多变形中,连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线1.2多变形的内角和多变形的内角和定理 n边形的内角和等于(n-2)*180多边形的外角和定理 任意多边形的外角和等于3602 平行四边形2.1平行四边形的定义和性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等定理 夹在两条平行线间的平行线段相等同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线,公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段,两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离推论 平行线间的距离处处相等平行四边形性质定理3 平行四边形对角线互相平分2.2平行四边形的判定平行四边形判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对角分别向等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相评分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2 3特殊的平行四边形一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形举行的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角菱形的判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角2.4中心对称定理1 成中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平分定理2 中心对称的两个图形是全等形定理 平行四边形是中心对称形,它的对称中心是两条对角线的交点3 梯形3.1梯形我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中,平行的两边叫做梯形的底,较短的底称为上底,较长的底称为下底,不平行的两边叫做梯形的腰3.2等腰梯形与直角梯形我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形,把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形性质定理1 等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3.3四边形的分类3.4平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边3.5三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半三角形三条中线的交点叫做三角形的重心3.6梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半第五章 相似形1 比例线段1 1比与比例比例的基本性质反比性质更比性质合比性质分比性质等比性质1 2成比例线段在同一单位下,两条线段长度的比,叫做这两条线段的比,它们的比是一个正实数如果四条线段a,b,c,d满足等式a/b=c/d,那么,这四条线段叫做成比例线段1 3黄金分割把一条线段分成两条线段,使其中较长的线段是原先段与较短线段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割,把这条线段黄金分割的点,叫做黄金分割点0.618.称为黄金比2 相似三角形2 1相似三角形对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形2 2三角形相似的判定判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么两三角形相似判定定理2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么两三角形相似判定定理3 如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么两三角形相似推论1 两直角三角形中有一锐角对应相等,那两三角相似推论2 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似2 3相似三角形的性质定理 相思三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比定理 相思三角形周长的比等于相似比定理 相思三角形面积的比等于相似比的平方广义勾股定理 平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和,或等于相邻两边平方和的两倍2 4平行线分线段成比例定理定理 两条或两条以上的平行线,截任意一角的两边,所截出的对应线段成比例推论 三条或三条以上的平行线截任意两条直线,所截得的对应线段成比例2 5相似多边形定义 如果两个边数相同的多变形的角对应相等且它们的边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比定理 两个相似多边形对应对角线的比等于相似比定理 两个相似多边形的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比定理 相似多边形的周长比等于相似比定理 相似多边形的面积比等于相似比的平方第六章 解直角三角形1 锐角三角函数1 1测量与锐角三角函数SinA=对边比斜边 CosA=邻边比斜边 TanA=对边比邻边 CotA=邻边比对边1 2特殊角的三角函数1 3三角函数表和计算器的使用2 解直角三角形2 1解直角三角形射影定理2 2解直角三角形的应用俯角,仰角,坡度第七章 圆1 圆的基本性质1 1圆的定义在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径同圆的半径都相等连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等1 2 不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理 过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心13 垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧1.4 弧、弦和弦心距定理 在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等2 圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点定理 经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理 圆的切线垂直经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆定理 三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆2.3切线长定理定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2.4圆的外切四边形定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等定理 如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆3 圆与圆的位置关系3.1两圆的位置关系在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系,有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距定理 两圆的连心线是两圆的对
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