初中锐角三角函数知识点总结.doc

锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、 锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，C为直角，则A为ABC中的一锐角，则有对边邻边斜边ACBA的正弦：A的余弦：A的正切：2、 特殊角的三角函数值（1） 图表记忆法角三角函数三角 值函数3004506001（2） 规律记忆法：30、45、60角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、；30、45、60角余弦值恰好是60、45、30角的正弦值。（3） 口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30，45，60角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉如tan60=，tan45=这种方法有趣、简单、易记考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度（坡比），用字母表示；坡面与水平线的夹角叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016陕西）已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tanCAB的值为（）A B C D2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义【解析】先求出A、B、C坐标，作CDAB于D，根据tanACD=即可计算【解答】解：令y=0，则x22x+3=0，解得x=3或1，不妨设A（3，0），B（1，0），y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点C（1，4），如图所示，作CDAB于D在RTACD中，tanCAD=2，故答案为D（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分A一个多边形的一个外角为45，则这个正多边形的边数是8B运用科学计算器计算：3sin735211.9（结果精确到0.1）【考点】计算器三角函数；近似数和有效数字；计算器数的开方；多边形内角与外角【解析】（1）根据多边形内角和为360进行计算即可；（2）先分别求得3和sin7352的近似值，再相乘求得计算结果【解答】解：（1）正多边形的外角和为360这个正多边形的边数为：36045=8（2）3sin735212.3690.96111.9故答案为：8，11.9例3、（2015陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则A的度数约为27.8（用科学计算器计算，结果精确到0.1）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可【解答】解：tanA=0.5283，A=27.8，故答案为：27.8【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大例4、(2014陕西)用科学计算器计算：+3tan5610.02（结果精确到0.01）【考点】计算器三角函数；计算器数的开方【分析】先用计算器求出、tan56的值，再计算加减运算【解答】解：5.5678，tan561.4826，则+3tan565.5678+31.482610.02故答案是：10.02【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01例5、(2014陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将ABD绕点B顺时针旋转45得到ABD，此时AD与CD交于点E，则DE的长度为2【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出AD=AE，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可【解答】解：由题意可得出：BDC=45，DAE=90，DEA=45，AD=AE，在正方形ABCD中，AD=1，AB=AB=1，BD=，AD=1，在RtDAE中，DE=2故答案为：2【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出AD的长是解题关键（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12（1）如图，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则BMC的面积为24；（2）如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值；（3）如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC的值；若不存在，请说明理由【考点】四边形综合题.【专题】综合题【解析】（1）如图，过A作AEBC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BCEC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接CN，则BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，可得出BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+CN+BC=BC+BC，求出即可；（3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆O于点M，连接MC，可得BPC=BMCBPC，即BPC最小，cosBPC的值最小，连接OB，求出即可【解答】解：（1）如图，过A作AEBC，四边形AECD为矩形，EC=AD=8，BE=BCEC=128=4，在RtABE中，ABE=60，BE=4，AB=2BE=8，AE=4，则SBMC=BCAE=24；故答案为：24；（2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接CN，则BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+CN+BC=BC+BC，ADBC，AEBC，ABC=60，过点A作AEBC，则CE=AD=8，BE=4，AE=BEtan60=4，CC=2CD=2AE=8，BC=12，BC=4，BNC周长的最小值为4+12；（3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，ADBC，圆O与AD相切于点P，PQ=DC=46，PQBQ，BPC90，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆O于点M，连接MC，BPC=BMCBPC，BPC最大，cosBPC的值最小，连接OB，则BON=2BPN=BPC，OB=OP=4OQ，在RtBOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4OQ）2，解得：OQ=，OB=，cosBPC=cosBOQ=，则此时cosBPC的值为【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键例7、（10分）(2014年陕西省)已知抛物线C：y=x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新 课 标 xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】（1）直接把A（3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示需要分类讨论【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）和B（0，3）两点，解得，故此抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）由（1）知抛物线的解析式为：y=x22x+3，当x=1时，y=4，xKb 1.C om M（1，4）（3）由题意，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是MN，MNMN且MN=MNMNNN=16，NN=4i）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是MNNM时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C；ii）当M、N、M、N为顶点的平行四边形是MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点第（3）问需要分类讨论，避免漏解例8、（12分）(2014陕西)问题探究（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长；（2）如图，在ABC中，ABC=60，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型【分析】（1）由于PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以EF为直径作O，易证O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长（3）要满足AMB=60，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长【解答】解：（1）作AD的垂直平分线交BC于点P，如图，则PA=PDPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AB=DC，B=C=90PA=PD，AB=DC，RtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4，BP=CP=2以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图，则DA=DPPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，C=90AB=3，BC=4，DC=3，DP=4CP=BP=4点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图，则AD=APPAD是等腰三角形同理可得：BP=综上所述：在等腰三角形ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4；若AP=AD，则BP=（2）E、F分别为边AB、AC的中点，EFBC，EF=BCBC=12，EF=6以EF为直径作O，过点O作OQBC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图ADBC，AD=6，EF与BC之间的距离为3OQ=3OQ=OE=3O与BC相切，切点为QEF为O的直径，EQF=90过点E作EGBC，垂足为G，如图EGBC，OQBC，EGOQEOGQ，EGOQ，EGQ=90，OE=OQ，四边形OEGQ是正方形GQ=EO=3，EG=OQ=3B=60，EGB=90，EG=3，BG=BQ=GQ+BG=3+当EQF=90时，BQ的长为3+（3）在线段CD上存在点M，使AMB=60理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GPAB，垂足为P，作AKBG，垂足为K设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作O，过点O作OHCD，垂足为H，如图则O是ABG的外接圆，ABG是等边三角形，GPAB，AP=PB=ABAB=270，AP=135ED=285，OH=285135=150ABG是等边三角形，AKBG，BAK=GAK=30OP=APtan30=135=45OA=2OP=90OHOAO与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图AMB=AGB=60，OM=OA=90OHCD，OH=150，OM=90，HM=30AE=400，OP=45，DH=40045若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=40045+3040045+30340，DMCD点M不在线段CD上，应舍去若点M在点H的右边，则DM=DHHM=40045304004530340，DMCD点M在线段CD上综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使AMB=60，此时DM的长为（4004530）米X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1对应关系混淆AB图9【1】如图9，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离AB为 （）A. 米B. 米C. 米D. 米解析：分别过点B，A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则ABC是直角三角形，且C=90, CBA=,，故选B。ABCD图10错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2专用名词不清【2】如图10，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC10米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14米试求旗杆BC的高度 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作CEAD于E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE：AE=1:。，CAE=30，解直角三角形AEC可得CE=5（m）, AE=（m）,在RtABE中，（m）,BC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。四、锐角三角函数教法浅谈 学生已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，为学习锐角三角函数奠定基础的同时具备了一定的逻辑思维能力和推理能力.在学习过程中学生可能遇到一些困难，下面我将学生可能遇到的困难以及应对措施叙述如下：困难：本节学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，学生很难想到在直角三角形中，锐角的度数固定，它的对边与斜边的比值也是固定的.应对措施：采用由特殊到一般的方法展开讨论：在讨论直角三角形中，30和45角的对边与斜边的比为固定值的基础上讨论锐角为任意给定度数的情形.这种由特殊到一般的过渡，可以使学生有较多的机会体验：在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值.这为认识正弦函数的概念铺设了必要的台阶，从而水到渠成地概括给出正弦函数的概念.困难：对正弦概念的理解.学生能理解在直角三角形中，当锐角固定时，其对边与斜边的比值就固定，但将这一过程与变化的过程联系起来有一困难，也就是与函数联系起来有一定困难，因此对正弦概念的理解存在困难.应对措施：在已有特殊角的经验之上结合几何画板直观演示，让学生从演示的变化过程中体会：无论直角三角形的大小如何，每固定一个角度，都有唯一的一个比值与之相对应.从而建立直角三角形中锐角与比值之间的对应关系.在这个过程出巧妙地设计问题引导学生将新知与旧知（函数知识）联系起来，从而更好的理解锐角三角函数中正弦的概念.欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！你的意见是我进步的动力，希望您提出您宝贵的意见！让我们共同学习共同进步！学无止境.更上一层楼。