2012年高考数学试题数列分类汇编.doc

2012年高考数学试题分类汇编数列（2012浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题（2012全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】（2012辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。（2012江西理数）5.等比数列中，=4，函数，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。（2012江西理数）4. （ ）A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。（2012重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析： （2012北京理数）（2）在等比数列中，公比.若，则m=（A）9 （B）12 （C）11 （D）12答案：C（2012四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w_w w. k#s5_u.c o*m故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B（2012天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5 （B）或5 （C） （D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。（2012广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_mA35 B.33 C.31 D.294C设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即来源:高考资源网K（2012全国卷1理数）（4）已知各项均为正数的等比数列中，=5，=12，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) （2012山东理数）1.（2012安徽理数）12、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、12.D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2012湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= A 2 B. C.4 D.6（2012福建理数）3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。（2012全国卷2理数）（18）（本小题满分12分）已知数列的前项和（）求；（）证明：【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】【点评】2012年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.（2012江西理数）22. （本小题满分14分高考资源*网）证明以下命题：（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。1(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（）当时，（12分）（当且仅当时取等号）另一方面，当，时，（当且仅当时取等号）（13分）（当且仅当时取等号）综上所述，（）（14分）2（本小题满分13分）已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：（I） 1分 将这n个式子相加，得 3分 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 6分 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2012，公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分 （IV）设，即 则 显然，其极限存在，并且12分 注：（c为非零常数），等都能使存在.3. （本小题满分13分） 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且. （I）求证数列是等比数列； （II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：（I）由已知 （2） 由得：，即对任意都成立 （II）当时， 由题意知，13分4（本小题满分14分）（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差（理）解：设公差为，则3分4分7分又，当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分（文）解：设公差为，则3分，6分又当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分5（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为4000.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（10.9）（10.85）=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.6（本小题满分14分）已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I）由（II）（III）（i）当n=1时结论成立（已验证）.（ii）假设当故只须证明即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故7（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.()求与的值；()证明：数列为等差数列；()证明：不等式对任何正整数都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（）方法1由（），得 ， 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，即 ，.所以数列为等差数列.方法2由已知，得，又，且，所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.设，则数列为等差数列，前项和.于是 ，由唯一性得 ，即数列为等差数列.（）由（）可知，.要证 ，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为 ，所以命题得证.8（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而9数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828.（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.12（本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以11（14分）已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.解：（）将点代入中得（4分）（）（5分）（8分）（）由（14分）12（14分）已知数列中，当时，其前项和满足，（1） 求的表达式及的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 设，求证：当且时，.解：（1）所以是等差数列.则.（2）当时，综上，.（3）令，当时，有 （1）法1：等价于求证.当时，令，则在递增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，则所以因则，所以 （5）由（1）（2）（5）知13. 等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列求与；解：设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子1，2，3，6之一，解得 故14. 设等差数列的公差为，数列是公比为等比数列，且（1）若，探究使得成立时的关系；（2）若，求证：当时，.解：记，则，1分（1）由已知得 消去得，又因为，所以，所以，5分若，则，舍去；6分若，则，因此，所以（是正奇数）时，；8分（2）证明：因为，所以， 11分时，=所以，当. 16分15. 已知分别以为公差的等差数列,满足（1）若,且存在正整数,使得,求的最小值；（2）若，且数列,的前项和满足,求 的通项公式.解：（1）证明:,，即, 4分. 等号当且仅当即时成立,故时， . 7分 （2），=，12分=， 13分故得，,，因此的通项公式为. 15分16. 已知数列的前n项和为，数列是公比为2的等比数列.（1）证明：数列成等比数列的充要条件是；（2）设（），若对任意成立，求的取值范围.17、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2） 从A口输入120时，从B口得到什么数？并说明理由。解（1） （2）先用累乖法得得18、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为（）试解释的实际意义； （）现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由答案：解：（I）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化2 （）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后残留的农药量为 W1=1f（a）=；4又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1f（）=，此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=f（）=2=8由于W1W2=，9故当a2时，W1W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a2时，W1W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少1219、已知等比数列an的前n项和为Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，证明am，am2，am1成等差数列； ()写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即数列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差数列. () ()的逆命题是：若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列. 设数列an的公比为q，am1amq，am2amq2由题设，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 当q1时，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差数列.逆命题为假.20、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1200户，按高收入中等收入低收入125户400户475户本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2012年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%