高考数学选择试题分类汇编-圆锥曲线.doc

2010 年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线 2010 湖南文数 5 设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦28yx 点的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 2010 浙江理数 8 设 分别为双曲线 的左 右焦点 若1F221 0 xyab 在双曲线右支上存在点 满足 且 到直线 的距离等于双曲线的实轴P21 2F1P 长 则该双曲线的渐近线方程为 A B C D 340 xy 350 xy 430 xy 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察 属中档题 2010 全国卷 2 理数 12 已知椭圆 2 1 0 xyCab 的离心率为 32 过右焦 点 F且斜率为 0 k 的直线与 相交于 AB 两点 若 3FB 则 k A 1 B 2 C D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB 1 垂直于 l A 1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 2010 陕西文数 9 已知抛物线 y2 2 px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p 的值为 C A B 1 C 2 D 412 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线 y2 2 px p 0 的准线方程为 因为抛物线 y2 2 px p 0 的准线px 与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以 2 43 法二 作图可知 抛物线 y2 2 px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以 1 p 2010 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线 与FBF 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23312 512 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在 轴上 设其方程为 x 0 xyab 则一个焦点为 0 Fcb 一条渐近线斜率为 直线 的斜率为 aFBbc 1ac 2bac 解得 20ca 512ce 2010 辽宁文数 7 设抛物线 的焦点为 准线为 为抛物线上一点 28yxFlP 为垂足 如果直线 斜率为 那么PAl A3 A B 8 C D 1643 解析 选 B 利用抛物线定义 易证 为正三角形 则PF 4 8sin30PF 2010 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 2312 512 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的焦点 虚轴 渐近线 离心率 考查了两条直线垂 直的条件 考查了方程思想 解析 设双曲线方程为 则 F c 0 B 0 b 21 0 xyab 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y 垂直 所以 即 b2 ac1ca A 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以 或 舍去 152e e 2010 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为 垂足 如果直线 AF 的斜率为 那么 PF 3 A B 8 C D 16438 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的定义 抛物线的焦点与准线 直线与抛物线的位置关系 考查了等价转化的思想 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为 所以点3 2 yx 从而 PF 6 2 8 2 43 A 6 P 2010 全国卷 2 文数 12 已知椭圆 C a b 0 的离心率为 过右焦 21xyab 32 点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若 则 k 3FB A 1 B C D 223 解析 B 设12 xyF 123y 32e 直线 AB 方程为 代入消去2 3atct bt 240 xyt xsyt x 22 4 syst 212123 44st 解得 2223 44sttyys 21s 2k 2010 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的1F22xy1 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 P 60 OP 则该双曲线的渐近线方127 程为 A x y 0 B x y 033 C x 0 D y 02y2 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 2010 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 2010 山东文数 9 已知抛物线 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物2 0 ypx 线与 两点 若线段 的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为ABB A B 1x 1 C D 2 答案 B 2010 四川理数 9 椭圆 的右焦点 其右准线与 轴的交点 21 xyab Fx 为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 则椭圆离心率的取值范围是 w w w k s 5 u c o m A B C D 20 10 2 21 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等w w w k s5 u c o m 而 FA w w w k s 5 u c o m 22abc PF a c a c 于是 a c a c 2b 即 ac c 2 b 2 ac c 2 22a w w w k s 5 u c o m 12ca 或 又 e 0 1 故 e 2 答案 D 2010 天津理数 5 已知双曲线 的一条渐近线方程是 y 21 0 xyab 3x 它的一个焦点在抛物线 的准线上 则双曲线的方程为24y A B 213608x 2197xy C D 2y 2 答案 B 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程 属于容易题 依题意知 所以双曲线的方程为22 369 7bacab 2197xy 温馨提示 选择 填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质 这部 分内容也是高考的热点内容之一 在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现 2010 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 A 54 B 53 C 52 D 51 2010 福建文数 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点 点 P 为椭 2143xy 圆上的任意一点 则 的最大值为P A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 0 xy 20143xy 22003 1 4xy 因为 所以0 1 Pxy 0 Oxy 200 OFxy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为0OF 234 03 因为 所以当 时 取得最大值 选02x 0 x 0 x PF 2364 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数 的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算 能力 2010 全国卷 1 文数 8 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C1F221xy 上 则FP2061 A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos P F2222111 FP 22221211210cos6 PFF 412 PFA 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 02 012126 3cot1t3sin6FPSbPFPF 4 A 2010 全国卷 1 理数 9 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C1F221xy 上 P 则 P 到 x 轴的距离为F206 A B C D 336 2010 四川文数 10 椭圆 的右焦点为 F 其右准线与 轴 210 xyab x 的交点为 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值A 范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 2122 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 w w w k s5 u c o mF 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22abc PF a c a c 于是 a c a c 2b 即 ac c 2 b 2 ac c 2 22a 12ca 或 又 e 0 1 故 e 2 答案 D 2010 四川文数 3 抛物线 的焦点到准线的距离是28yx A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4w w w k s5 u c o m 又交点到准线的距离就是 p 答案 C 2010 湖北文数 9 若直线 与曲线 有公共点 则 b 的取值范围yxb 234yx 是 A B 3 12 12 C 1 D 3 2010 山东理数 7 由曲线 y y 围成的封闭图形面积为 来源 W 2x3 A B C D 121413712 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 故选 A 1230 x d 4 命题意图 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 2010 安徽理数 5 双曲线方程为 则它的右焦点坐标为21xy A B C D 2 0 5 0 6 02 3 0 5 C 解析 双曲线的 所以右焦点为 21 ab 23c 66 02 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为22cab 或 从而得出错误结论 1 2010 湖北理数 9 若直线 y x b 与曲线 有公共点 则 b 的取值范围是234yx A 2 B 1 C 3 D 2 9 答案 C 解析 曲线方程可化简为 即表示圆心为 2 3 半径22 3 4 1 xyy 为 2 的半圆 依据数形结合 当直线 与此半圆相切时须满足圆心xb 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得 因为是下半1212 或 圆故可得 舍 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故12b 所以 C 正确 123 2010 福建理数 A B C D 答案 C 解析 经分析容易得出 正确 故选 C 命题意图 本题属新题型 考查函数的相关知识 2010 福建理数 7 若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦 2 0 F 21 a 0 xy 点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则 的取值范围为 P A B C D 3 2 32 7 4 7 4 答案 B 解析 因为 是已知双曲线的左焦点 所以 即 所以双曲线 0 F 21a 23a 方程为 设点 P 则有 解得 213xy 0 xy200 3xyx 因为 所以 20 0 F 0 OP 此二次函数对应的抛200 OPFxy 0 x2013x 2041x 物线的对称轴为 因为 所以当 时 取得最小值034 0 03 PF 故 的取值范围是 选 B 4321 OPF 2 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二 次函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 2010 福建理数 2 以抛物线 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 24yx A B C D x y 0 02x y 02x y 0 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以 圆的半径为 故所求圆的方程为 即 选 D r 2x 1 2 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 2010 上海文数 8 动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等 则 的P 2 0 F20 x P 轨迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为 y2 8xP 2010 浙江理数 13 设抛物线 的焦点为 点2 0 ypx F 若线段 的中点 在抛物线上 则 到该抛物线准线的距离为 0 2 AFBB 解析 利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 B 点坐标为 所2142 以点 B 到抛物线准线的距离为 本题主要考察抛物线的定义及几何性质 属容易324 题 2010 全国卷 2 理数 15 已知抛物线 2 0 Cypx 的准线为 l 过 1 0 M且斜 率为 3的直线与 l相交于点 A 与 的一个交点为 B 若 A 则 p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线 l于 E M M 为中点 1BA2 又 斜率为 3 0BAE3 1AB2 ME M 为抛物线的焦点 p 2 2010 全国卷 2 文数 15 已知抛物线 C y 2 2px p 0 的准线 l 过 M 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p 解析 2 本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB 代入 得 又 3yx 2ypx 23 6 30px 解得 解得 舍去 AMB 1p 2410P2 6 2010 江西理数 15 点 在双曲线 的右支上 若点 A 到右焦点的距0 Axy 243xy 离等于 则 02x 答案 2 解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取 a 2 c 6 red 3d 20023 axxc 2010 安徽文数 12 抛物线 的焦点坐标是 28yx 答案 2 0 解析 抛物线 所以 所以焦点 2yx 4p 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 或求出 后 误认为焦点p 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 0 p 2010 重庆文数 13 已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两24yx FAB 点 则 2AF B 解析 由抛物线的定义可知 12AFK 故 2ABx 轴 F B 2010 重庆理数 14 已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A B 满足 24yx 3FB 则弦 AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBA 11 3 中 AC 2m AB 4m C 3 ABk 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得 02 所以 AB 中点到准线距离为 381521 x 2010 北京文数 13 已知双曲线 的离心率为 2 焦点与椭圆 2yab 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 2159xy 答案 4 0 30 xy 2010 北京理数 13 已知双曲线 的离心率为 2 焦点与椭圆 21xyab 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 2159 答案 0 4 30 xy 2010 天津文数 13 已知双曲线 的一条渐近线方程是 21 0 xyab 它的一个焦点与抛物线 的焦点相同 则双曲线的方程为 3yx 26 答案 214xy 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 由渐近线方程可知 3ba 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 22c 联立 解得 所以双曲线的方程为24 1ab 214xy 温馨提示 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解 注意双曲线中 c 最大 2010 福建文数 13 若双曲线 1 b 0 的渐近线方程式为 y 则 等于 2x4yb1x2 答案 1 解析 由题意知 解得 b 1 12b 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 2010 全国卷 1 文数 16 已知 是椭圆 的一个焦点 是短轴的一个端点 线段FCB 的延长线交 于点 且 则 的离心率为 BFCDB2 ur 16 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程3 与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数 形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径 解析 1 如图 2 BFbca 作 轴于点 D1 则由 得y ur 所以 1 23O 13 2OFc xOyBF1D 即 由椭圆的第二定义得32Dcx 223 acFDea 又由 得 BF23 ca 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 设 F 分 BD 所成的比为 21xyab 2 Dxy 2 代入22 303 0 1 2cc cc bx b 294bae 2010 全国卷 1 理数 2010 湖北文数 15 已知椭圆 的两焦点为 点 满足 2 1xcy 12F0 Pxy 则 的取值范围为 直线 与椭圆 C 的公 201xy 1PF2 01 共点个数 答案 2 0 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时12max PF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PF 为 21 2 故范围为 2 因为 0 xy在椭圆 21xy 的内部 则直 线 00 xy 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 3 2010 江苏卷 6 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 上一点 M 点 M 的124 yx 横坐标是 3 则 M 到双曲线右焦点的距离是 解析 考查双曲线的定义 为点 M 到右准线 的距离 42Fed dx 2 MF 4 d 2010 年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 2010 上海文数 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小 题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知椭圆 的方程为 和 为 的三个顶 21 0 xyab Ab 0 B 0 Qa 点 1 若点 满足 求点 的坐标 M 2AQB M 2 设直线 交椭圆 于 两点 交直线 于点 若1 lykxp CD2 lykx E 证明 为 的中点 21bka E 3 设点 在椭圆 内且不在 轴上 如何构作过 中点 的直线 使得 与椭圆P xPQFll 的两个交点 满足 令 点 的 1212P 12 10a5b P 坐标是 8 1 若椭圆 上的点 满足 求点 的坐标 2 解析 1 2abM 2 由方程组 消 y 得方程 12ykxpab 222211 0akbxakpb 因为直线 交椭圆 于 两点 1 lykxp CD 所以 0 即 220ab 设 C x1 y1 D x 2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 10211kpabykx 由方程组 消 y 得方程 k 2 k1 x p 2pykx 又因为 所以 21bka 210212akkbpyxy 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由 知 F 为 P1P2 的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 从而得直12Q 21bka 线 l 的方程 直线 OF 的斜率 直线 l 的斜率 F 2k 21bka 解方程组 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P 2 8 3 2 105yx 2010 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察 基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融12P 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界 线上 2010 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直线 椭圆 2 0mlxy 分别为椭圆 的左 右焦点 2 1xCym 2FC 当直线 过右焦点 时 求直线 的方程 l2l 设直线 与椭圆 交于 两点 AB12FV 的重心分别为 若原点 在以线段 为直径的圆12BFV GHOGH 内 求实数 的取值范围 m 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线 经过 所以 l 20mxy 2 1 0 F 221m 得 2m 又因为 所以 1 2 故直线 的方程为 l 0 xy 解 设 12 AB 由 消去 得21 mxy x2204y 则由 知 228 1 80m 28m 且有 2121 yy A 由于 12 0 Fc 故 为 的中点 O 由 AGBHO 可知 121 33xyh221219y 设 是 的中点 则 MGH1212 6xy 由题意可知 2 MOGH 即 2221111 4 69xyxy 即 120 而 221211 mxyyy 22 8 所以 2108m 即 24 又因为 且1 0 所以 m 所以 的取值范围是 2 2010 全国卷 2 理数 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 210 xyabb 相交于 B D 两点 且 BD 的中点为 3M 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F 17DB A 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基 础知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 2010 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 2010 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 分别为椭圆 的左 右焦点 过 的直线 与椭1F22 1xyCab 0 2Fl 圆 相交于 两点 直线 的倾斜角为 到直线 的距离为 CABl6 1Fl3 求椭圆 的焦距 如果 求椭圆 的方程 2F 解 设焦距为 由已知可得 到直线 l 的距离c1F32 c 故 所以椭圆 的焦距为 4 C 设 直线 的方程为1212 0 AxyBy 由 题 意 知 l3 2 yx 联立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3ayyb 因为 212 AFB 所 以 即 223 3baba 得 2 4 5 而 所 以 故椭圆 的方程为C1 9xy 2010 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 2 0 xyab A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 求椭圆 C 的方程 154 解 设 由题意知 0 0 12 AxyB1y2 直线 l 的方程为 其中 3 xc 2ab 联立 得2 3 1yxcab 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因为 所以 AFB 12y 即 223 3 bcacab 得离心率 6 分e 因为 所以 213ABy 24315ab 由 得 所以 得 a 3 23ca5ba54 椭圆 C 的方程为 12 分 219xy 2010 全国卷 2 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 相交于 B D 两点 且 BD 的 21 0 xyab 中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 由直线过点 1 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BD 两点的中点为 1 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A B 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 A 的代数式表示 即可求得 A 则 A 点坐标可 得 1 0 由于 A 在 X 轴上所以 只要证明 2AM BD 即证得 2010 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 21 0 xyCab 抛物线 22 Cxby 1 若 经过 的两个焦点 求 的离心率 211 2 设 A 0 b 又 M N 为 与 不在 y 轴上的两个交点 若 AMN534Q 12 的垂心为 且 QMN 的重心在 上 求椭圆 和抛物线 的方程 B 2C12C 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 由2cb 22212 cabcea 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 由 的垂心为 B 有11 0 xyx A 2113 04BAb 由点 在抛物线上 解得 1 Nxy22xy11 4by 或 舍 去 故 得 重心坐标 155 244bbbM QMN 3 由重心在抛物线上得 又因为 23 2 所 以 1 5 2 M N 在椭圆上得 椭圆方程为 抛物线方程为 216a1634xy4xy 2010 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆 E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 1 F在 x轴上 离心率 12e 求椭圆 E的方程 求 12FA 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能 力 解题指导 1 设椭圆方程为 把点 代入椭圆方程 把离心率 21xyab 2 3A 用 表示 再根据 求出 得椭圆方程 2 可以设直线 l 上2e ac22c 任一点坐标为 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 xy 46 2 5xyx 解 设椭圆 E 的方程为2 222121121 3 1 4 6 3 0 434 xyabcxyeaccAExyFAxxAF 由 得将 3 代 入 有 解 得 椭 圆 的 方 程 为由 知 所 以 直 线 的 方 程 为 y 即 直 线 的 方 程 为 由 椭 圆 的 图 形 知 的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 斜 率 为 正12 12 65650 80 yA xxyyF 数 设 P 为 的 角 平 分 线 所 在 直 线 上 任 一 点 则 有若 得 其 斜 率 为 负 不 合 题 意 舍 去 于 是 即 所 以 的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程 为 2x y 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 根据题目满足的条件 21xyab 求出 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 ab 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点 为中心 为右焦点的双曲线 的离心率 O 5 0 FC52e 求双曲线 的标准方程及其渐近线方程 C 如题 21 图 已知过点 的直线 与过点1 Mxy1l14xy 其中 的直线 的交点 在双曲线 上 直线2 Nxy21x 2l24 E 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点 求 的值 MNGHO A 2010 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 p 0 2 Cyps 的焦点 F 在直线 上 2 0mlxy I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线 与抛物线 C 交于 A B Al 的重心分别为 G H2A1B 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 2010 重庆理数 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 为右焦点 5 0F 的双曲线 C 的离心率 2e I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点 的直线 与过点 1 Mxy11 4lxy 其中 的直线 的交点 E 在双曲线 C 上 2 Nxy2 22 l 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求 的面积 O 2010 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 过点 21 0 xyab 离心率为 左 右焦点分别为 1 221F 点 为直线 上且不在 轴上的任意FP lxy x 一点 直线 和 与椭圆的交点分别为 12FAB 和 为坐标原点 CDO I 求椭圆的标准方程 II 设直线 的斜线分别为 1P21k2 i 证明 123k ii 问直线 上是否存在点 使得直线 的斜率 lPOABCDOAk 满足 若存在 求出所有满足条件的点 的坐OBkCODk0AOBCDk P 标 若不存在 说明理由 2010 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 离心率是 直线 y t 椭 2 0 63 圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 且 所以63ca 2c23 1abc 所以椭圆 C 的方程为 21xy 由题意知 0 pt 由 得213 ytx 23 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 t 解得 所以点 P 的坐标是 0 2t 32 由 知 圆 P 的方程 因为点 在圆 P 上 所以22 1 xytt Qxy23 1 31yttxt 设 则cos 0 t 23 1 cos3in2si 6tt 当 即 且 取最大值 2 312txy 2010 北京理数 19 本小题共 14 分 www ks 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 13 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 关于原点 对称 所以点 得坐标为 1 OB 1 设点 的坐标为 xy 由题意得 13 化简得 24 1 xyx 故动点 的轨迹方程为P24 1 yx II 解法一 设点 的坐标为 点 得坐标分别为 0 MN 3 MyN 则直线 的方程为 直线 的方程为A01 1yx BP01 yx 令 得 30431My 0231Nyx 于是 得面积PNA 2002 3 2MNxyxSy 又直线 的方程为 Bx AB 点 到直线 的距离 PA0 2yd 于是 的面积PAB 01 2Sdxy A 当 时 得PABMN 2002 3 1x 又 0 xy 所以 解得 2 3 0 1 x05 3x 因为 所以204y 09y 故存在点 使得 与 的面积相等 此时点 的坐标为 PABPMNP53 9 解法二 若存在点 使得 与 的面积相等 设点 的坐标为A0 xy 则 11 sin sin22MN A 因为 siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 解得20 053 因为 所以2034xy 09y 故存在点 S 使得 与 的面积相等 此时点 的坐标为PABPMNP 53 9 2010 四川理数 20 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是12 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 w w w k s5 u c o m 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设 P x y 则 21 2yx 化简得 x2 1 y 0 4 分3 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 1 联立消去 y 得w w w k s5 u c o m 3 k 2x2 4k 2x 4k 2 3 0 由题意知 3 k 2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2143kx y1y2 k 2 x1 2 x 2 2 k 2 x1x2 2 x 1 x 2 4 k 2 4 83 w w w k s5 u c o m 29 因为 x1 x 2 1 所以直线 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 13 2 同理可得 w w w k s5 u c o m 13 yFx 23 1yFNx 因此 2129 yNx A 284349 1 k 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时 起方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 FM 同理可得 3 2FN 因此 0w w w k s5 u c o m A 综上 0 即 FM FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 分 2010 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 a b 0 的离心率 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 21xyab 32 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 求直线 l 的倾斜角 42AB5 ii 若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上 且 求 的值 y0 QB 4 Ay0 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公 式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 得 再由 解得 a 2b 32ca 24ac22ab 由题意可知 即 ab 2 1b 解方程组 得 a 2 b 1 2a 所以椭圆的方程为 214xy i 解 由 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 直线1 xy l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理 得2 1 4ykx 222 14 6 14 0kxk 由 得 从而 12 218x124ky 所以 2224 4kkABk 由 得 42 5 2145k 整理得 即 解得 k 423930k 22 1 3 0k 1 所以直线 l 的倾斜角为 或 4 ii 解 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 的坐标为 228 14k 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 由 得 002 2 QAyy 4QA y2 0 2 当 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 k 22184kkx 令 解得 0 x 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 故 所以 27k 17 02145y 综上 或0y0245y 2010 天津理数 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 的离心率 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 21 0 xyab 32e 积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线 与椭圆相交于不同的两点 已知点 的坐标为 点l AB 0a 在线段 的垂直平分线上 且 求 的值0 QyAB4Q y 解析 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算和推理能力 满分 12 分 1 解 由 得 再由 得3e2ca 24ac 22ab 由题意可知 1 b 即 解方程组 得 a 2 b 12a 所以椭圆的方程为 214xy 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x 1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 14ykx 由方程组消去 Y 并整理 得 222 1 6 4 0kk 由 得 2164 kx 21128 kyk从 而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 228 14k 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAByQABy 由 4 得 2 当 K 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2218 44kkYx 令 x 0 解得 02614ky 由 010 QABxy 210 222 8 6462 411kkx 42 65 4k 整理得 2 012147 75y 故 所 以 综上 0024 5yy或 2010 广东理数 21 本小题满分 14 分 设 A B 是平面直角坐标系 xOy 上的两点 先定义由点 A 到点 B 的一种折1 xy2 线距离 p A B 为 121 PABxy 当且仅当 时等号成立 即 三点共线时1212 0 0 xyy ABC 等号成立 2 当点 C x y 同时满足 P P P P P 时 点 AC B 是线段 的中点 即存在点 满足条件 CAB1212xy 1212xyC 2010 广东理数 20 本小题满分为 14 分 一条双曲线 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 是双曲线上 21xy 1 Pxy1 Qy 不同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点 且 求12l h 的值 故 即 221 yx 21xy 2 设 则由 知 1 lykh12l 1 lyxhk 将 代入 得1 lx 2y 即 22 kh22 1 40kxh 由 与 E 只有一个交点知 即 来源 高考资源网 KS5U COM 1l 226 1 kh 2kh 同理 由 与 E 只有一个交点知 消去 得 即 从2l 2k 221k 1 而 来源 高考资源网 KS5U COM 即 13kh 2010 广东文数 21 本小题满分 14 分 已知曲线 2 nxyC 点 nyP 0 nyx是曲线 nC上的点 21 2010 福建文数 19 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 过点 A 1 2 2 0 ypx I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 L 使得直线 L 与抛物线 C 有公共 点 且直线 OA 与 L 的距离等于 若存在 求直线 L 的方程 若不存在 说明理由 5 2010 全国卷 1 理数 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 的焦点为 F 过点 的直线 与 相交于 两点 2 4Cyx 1 0 K lCAB 点 A 关于 轴的对称点为 D x 证明 点 F 在直线 BD 上 设 求 的内切圆 M 的方程 89B D 2010 四川文数 21 本小题满分 12 分 w w w k s5 u c o m 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是12 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 2010 湖北文数 20 本小题满分 13 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 FA B 2010 山东理数 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 的离心率为 以该椭圆上的点和椭圆的左 右21 0 xyab 2 焦点 为顶点的三角形的周长为 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设12 F4 1 为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 和 与椭圆的交点分别为 和 PPF2 BA CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 的斜率分别为 证明 1PF21k212 k 是否存在常数 使得 恒成立 若存在 求 的值 若 ABCD 不存在 请说明理由 解析 由题意知 椭圆离心率为 得 又 ca2c2ac 4 21 所以可解得 所以 所以椭圆的标准方程为 2a c224b 8xy 所以椭圆的焦点坐标为 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所 以该双曲线的标准方程为 214xy 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲 线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问 题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的 能力 2010 湖南理数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系 图 6 在直线 x 2 的右侧 考察范围为到点 B 的距离不超过 65 km 区域 在 直线 x 2 的左侧 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过 45km 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 P1P2 P2P3 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 化 融 区 域283P 6 P3 8 6 已 冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P 153 2010 湖北理数 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都 有 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 0FAB 2010 安徽理数 19 本小题满分 13 分 已知椭圆 经过点 对称轴为坐标轴 焦点E 2 3A 在 轴上 离心率 12 Fx1e 求椭圆 的方程 求 的角平分线所在直线 的方程 12A l 在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点 E 若存在 请找出 若不存在 说明理由 2010 江苏卷 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 中 如图 已知椭圆 的左 右顶点为 A B 右焦点为xoy1592 yx F 设过点 T 的直线 TA TB 与椭圆分别交于点 M 其中mt 1x 2yxN m 0 021 y 1 设动点 P 满足 求点 P 的轨迹 42 BF 2 设 求点 T 的坐标 31 21 x 3 设 求证 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 其坐9t 标与 m 无关 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程 考查方直线与椭圆的方程等基础知识 考查运 算求解能力和探究问题的能力 满分 16 分 1 设点 P x y 则 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 得 化简得 42 B22 4 xyxy 92x 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 将 分别代入椭圆方程 以及 得 M 2 N 31 21 x 0 21 y531 09 直线 MTA 方程为 即 0523yx 3yx 直线 NTB 方程为 即 109562 联立方程组 解得 73xy 所以点 T 的坐标为 10 3 点 T 的坐标为 9m 直线 MTA 方程为 即 30yx 3 12myx 直线 NTB 方程为 即 96 分别与椭圆 联立方程组 同时考虑到 1592 yx 123 x 解得 223 80 4 mM 223 0 mN 方法一 当 时 直线 MN 方程为 12x 2222203 0 4808yxmm 令 解得 此时必过点 D 1 0 0y1x 当 时 直线 MN 方程为 与 x 轴交点为 D 1 0 12x 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D 1 0 方法二 若 则由 及 得 12 224368m 210m 此时直线 MN 的方程为 过点 D 1 0 x 若 则 直线 MD 的斜率 12x 10m2240183MDmk 直线 ND 的斜率 得 所以直线 MN 过 D 点 22103640NDkm MDNk 因此 直线 MN 必过 轴上的点 1 0 x 2010 福建理数 17 本小题满分 13 分 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线 使得直线 与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 的距离等ll l 于 4 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 命题意图 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 解析 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 且可知左焦点为 21 a 0 b xy