中考数学规律探索型(几何类)问题解决浅见.doc

中考数学规律探索型（几何类）问题解决浅见中考数学规律探索型问题的解决体现了新课程下数学中考命题的新尝试，是近几年来中考的热点、重点和难点，需要敏锐的观察力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力。为培养这方面的能力，本人以几何图形的问题为例，从哪些方面来观察思考，观察发现规律，并利用规律从特殊到一般和从一般到特殊的办法来解决几何类规律探索型问题。一、 规律明显 数数看看定有发现例1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 个。第1幅第2幅第3幅第n幅解析：方法 ：一数。在数字中发现。在开始的几幅图中把所要的问题分别数字记载，如1、3、5、7 、 ，发现奇数规律排列，猜想最终结果为2n-1 ；二看。发现图形规律和结果数字规律。直接由图序排列发现大小菱形逐次各自多1，得出所要的结果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、 ，再发现是1加上若干个2 组成，2的多少与序列号少1，于是得1+2（n-1）即2n-1 。例2、观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+8n（n是正整数）的结果为 （ ）。1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?解析：是图形规律与数字规律结合的问题，与上述比较多了个数字条件规律，探究数字规律结果。方法：在开始的几幅图中发现图形及图形所对应的算式之间的关系，即：图形中小正方形的个数是图形所对应的算式的数值结果；然后可直接由图形的规律发现结果或在数字形式（原式或变形式或运算结果）发现结果。如在图形的规律发现结果为3、5、7、的平方；在原式数字形式发现结果为1加上若干个含8的倍数的项的和，于是变形为1+8（1+2+3+ + n ）;在运算结果数字规律9、25、47、81 中发现为3、5、7、 、的平方。归纳方法：这类给定的图形或数字规律及寻找的数字规律容易发现，通过一看二数三变的方法即可解决问题。练习1、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个则第n个图案中正三角形的个数为 。 第一个图案第二个图案第三个图案练习2、如图9，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；照此规律，画n条不同射线，可得锐角 个练习3、在图（1）中，A1、B1、C1分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个。练习4、在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当时，有 (如图1)；(2)当时，有 (如图2)；图1 图2 图3 图4(3)当时，有 (如图3)；在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)。说明：证明时按照几何的探究思路和方法。ADBADCFEBADA1A2A3B1B2B3练习5、如图，ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出_ 二、 规律隐含 算算数量待发现BACDA1A2例3、如图，在ABC中，AABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2； ；A2009BC与A2009CD的平分线相交于点A2010，得A2010，则A2010 解析：（一）A1 = A1CD - A1BD ，A1BC = ABCA1CD = ACD = （A +ABC ） A1 = A又A2 = A2CD - A2BD ，A2CD =ACD = （A +ABC ） ，A2BC = ABCA2 = A同理，得A3 = A ；A4 = A ；A5 = AnAn = A2010A2010 = A归纳方法：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从特殊到一般解决问题的数学思想，逐次探究出A1 ；A2 ；A3 ； ；An 的结果，发现一定的数量规律，猜测结论。解析：（二）nAn = AnCD - AnBD ，AnBD = ABCnnAnCD = ACD = （A +ABC ） nAn = A2010A2010 = A归纳方法：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从一般到特殊解决问题的数学思想，先探究出一般情况下的的结果：nAnBD = ABCnnAnCD = ACD = （A +ABC ） 再利用外角和的性质探究出一般情况下的的结果：An = AnCD - AnBD最后进行代入计算，即得规律性的结果。练习1如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，可得Sn = .AN1N2N3N4N5P4P1P2P3M1M2M3M4ABCA1A2A3A4A5C1C2C3C4C5练习2、如图，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，AnCn，则AnCn 。 练习ns3、如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，（n为正整数），那么第8个正方形的面积 . OAB13579111315S1S2S3S4练习4、如图，过上到点的距离为1，3，5，7，的点作的垂线，分别与相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为则 ABCDBEDAC（第19题图）三、 坐标规律 数形贯穿 庞杂难发现例4、如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)，若P1O A1 、P2 A1 A2 、Pn An-1 An均为等边三角形，则An点的坐标是 解答思路：1、在等边三角形P1O A1中，易得点P1（1 ，3） 从而求的其反比例函数 2、在等边三角形Pn An-1 An中，记An的坐标为（an ,0）过点Pn做PnHx轴于点H，则PnH =3An-1 An = 3（an - an-1 ）OH = OAn-1 + An-1 An = an-1+ （an - an-1 ）= （an + an-1 ）3、写出点Pn的坐标为（an + an-1 ） ，3（an - an-1 ） 22代入其反比例函数得 an - an-1 = 44、作赋值计算2222a0 = 0 ；a1 = 222a1 = 4 ；a2 = 8 ；a3 = 12 ；a4 = 16 ；A5 = 20 ；a6 = 24；a1 = 2= 21 ；a2 = 22 ；a3 = 23 ；a4 = 2 4；A5 = 25 ；a6 = 26； ；an = 2n An点的坐标是(2n , 0 ) 归纳方法：这个问题如果采取从特殊到一般办法来解决，至少要求得A2、A3、A4、这三个点的坐标，方可发现一些规律，这样虽然思维量小些，但运算量大；于是采取从一般到特殊的办法来解决，虽然思维量大一些，但运算量小，能准确得出最终规律。但是要根据问题的情形而定。练习1、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为 。 练习2、如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（1，-1）、B（-1，-1）、C（-1，1）、D（1， 1）.曲线AAAA叫做“正方形的渐开线”，其中AA、AA、AA的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A的坐标是 。 练习3、如图15，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3Pn都在函数(x 0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3An1An都在x轴上。则点An的坐标是 。练习4、如图7所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数y=（x0）的图象上，OP1A1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2An-1An，都在x轴上，则y1+y2+yn= 。练习5、如图11，若第一个正方形OABC的顶点B，第二个正方形ADEF 的顶点E，.第n个正方形的顶点P都在函数（）的图象上，则点P的坐标是（ ， ）. 练习6、如图15，点A、A、A、A、A为x轴的正半轴上的点，O A= AA= AA=AA=1，分别以A、A、A、A、A为直角顶点作RtOAB、RtAAB、RtAAB、RtA AB，它们的面积分别记为S、S、S、S，且S=1；双曲线恰好经过点B、B、B、B。（1）求双曲线和直线AB对应的函数解析式；（2）填空：S=_，S=_；（3）若直线BO交双曲线于另一点P，有三位同学在研究直线AB、直线AB、直线AB这系列直线时，有如下发现：小明说：“我发现直线AB经过P点”小亮说：“我发现直线AB和直线AB都经过P点”小王说：“我发现直线AB和直线AB、直线AB都经过P点”请问：上述三位同学的发现，谁的发现更准确？并给予说明。Oyx(A)A1C112BA2A3B3B2B1练习7、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线(k0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn的坐标是 yxOC1B2A2C3B1A3B3A1C2练习8、如图所示，已知：点， 在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，则第个等边三角形的边长等于 练习90xyABMO1O2O3、如图，在直角坐标系中，一直线经过点与x轴，y轴分别交于A、B两点，且MAMB，则ABO的内切圆的半径 ；若与、y轴分别相切，与、y轴分别相切，按此规律，则的半径 练习10、二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点，点，在y轴的正半轴上，点，在二次函数位于第一象限的图象上，若,，都为等边三角形，则的边长 . 练习11、对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）A B CD