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函数大题分类：一：考查函数性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像，函数的零点，函数关系的建立）1 （2014奉贤二模理20）已知函数， （1）若，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求证函数存在反函数2 （2014闸北二模理13）已知函数在定义域上是增函数，值域为，且满足：设（1）求函数值域和零点；（2）判断函数奇偶性和单调性，并给予证明解：（1），故，的值域为；- 4分，令， ，故，的零点为-4分（2）对任意的，- 3分所以，是奇函数- 2分由已知，在定义域上是增函数，所以，对任意的，都有又-3分所以，在定义域上是减函数-2分3 （2014杨浦、静安、青浦、宝山二模理22）设函数，.（1）解方程：；（2）令，求证： （3）若是实数集上的奇函数，且对任意 实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2），因为，所以，=（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，第21题图ABCO4 （2014黄浦二模理21文21）某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值【答案】(1)结合图形可知， 于是，解得(2)由(1)知，因此， (当且仅当，即时，等号成立) 答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米. 12分练习：（2014闵行二模理21文21）为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资后，继续沿方向全速追赶科考船，并在处相遇给科考船补给物资经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优. （1）求关于的函数关系式； （2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ 东北ABCO第21题图Z 【答案】1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，（1分）则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，即A（900，600）， （3分）又B（m，0），则直线AB的方程为：，（4分）东北ABCO第21题图yxZ由此得到C点坐标为：，（6分） （8分）（2）由（1）知 （10分）（12分） 所以当，即时，最小，（或令，则，当且仅当时，最小） 征调海里处的船只时，补给方案最优. （14分）练习：14长宁、嘉定二模文23）设是实数，函数（）（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）求函数的值域（用表示）【答案】（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，从而，即，但是，矛盾所以不是奇函数（也可用等证明） （4分）（2） 因为，所以当时，由，得，即，（2分）因为，所以，即 （3分）当，即时，恒成立，故的取值范围是；（4分）当，即时，由，得，故的取值范围是 （6分）（3）令，则，原函数变成若，则在上是增函数，值域为（2分）若，则 （3分）对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是 （5分iv；一)对于，有是关于的增函数，其取值范围 （7分）综上，当时，函数的值域是；当时，函数的值域是；当时，函数的值域是 （8分）练习：（2014奉贤二模文20）已知函数，（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求函数的最大值的表达式【答案】(1)判断：若，函数在上是增函数. 证明：当时， 在上是增函数. 2分在区间上任取，设， 所以，即在上是增函数. 6分(2) 因为，所以 8分当时，在上是增函数， 9分 证明：当时，在上是增函数（过程略） 11分在在上也是增函数 当时，在上是增函数 12分 证明：当时，在上是增函数（过程略） 13分 所以当时，取得最大值为； 14分 练习：14普陀二模文21）已知函数的反函数为，记（1）求函数的最小值；（2）集合，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解】（1）由得，即（）1分（）2分3分由于，所以（当且仅当时，等号成立）5分所以当时，函数6分（2）7分 若，解得，所以；8分 若，解得.所以9分 由（）得， ()11分所以不等式()恒成立12分函数，所以14分练习：14闸北二模文14）设函数（1）求函数的值域和零点；（2）请判断函数的奇偶性和单调性，并给予证明解：（1），故，的值域为；-6分的零点为 -2分（2）对任意的，-2分故，是非奇非偶函数 -2分所以，对任意的，-2分因为，所以，-2分故，在定义域上是减函数 -2分二：基于性质的综合应用及创新题：5 （2014奉贤二模理22文23）函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数【答案】（1），即对于一切实数使得成立，“圆锥托底型” 函数2分对于，如果存在满足，而当时，由，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数5分（2） 是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立当时，此时当时，取得最小值2，9分而当时，也成立的最大值等于10分（3）当，时，无论取何正数，取，则有，不是“圆锥托底型” 函数12分当，时，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数14分当，时，无论取何正数，取有，不是“圆锥托底型” 函数16分当，时，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数18分6 （2014浦东二模理23）定义区间，的长度均为，其中（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.（2）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空 真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和 （3）定义函数，判断函数在区间上是否有零点， 并求不等式解集区间的长度总和【答案】（1），解得或，1分，解得， 2分画图可得：区间长度的最大值为，最小值为.4分（2） 6分当， 7分当， 8分所以时，9分所以值域区间长度总和为。 10分（3）由于当时，取，取， 所以方程在区间内有一个解 12分考虑函数，由于当时，故在区间内，不存在使的实数；对于集中的任一个，由于当时，取，取，又因为函数在区间内单调递减，所以方程在区间内各有一个解；依次记这个解为，从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为 15分对进行同分处理，分子记为 如将展开，其最高项系数为，设 又有 对比中的系数，可得： 18分练习： （2014浦东二模文22）定义区间，的长度均为，其中（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.（2）已知函数，将函数的图像的每点横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移 个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间（且） 满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求区间长度的最小值（3）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空 真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和【答案】（1），解得或，解得，2分画图可得：区间长度的最大值为，最小值为. 4分（2）6分或，即的零点相离间隔依次为和， 8分故若在上至少含有个零点，则的最小值为10分（3）12分当，13分当，14分所以时， 15分所以值域区间长度总和为。 16分7 (2014徐汇、松江、金山二模理22)定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数广义周期，称为周距（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域 为时，求在上的最大值和最小值【答案】（1），（非零常数） 所以函数是广义周期函数，它的周距为2-（4分）（2）设，则（非零常数） 所以是广义周期函数，且-（ 9分）（3），所以是广义周期函数，且 -（10分）设满足，由得：，又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为-（ 13分）由得得：，又知道在区间上的最大值是在上获得的，而，所以在上的最大值为23-（16分）
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