三角函数、和弦与曲式结构

天 津 师 范 大 学本科毕业论文题目：三角函数、和弦与曲式结构学 院：数学科学学院学生姓名：赵祚祥学 号：1130050151专 业：信息与计算科学年 级：2011级完成日期：2015年5月3日指导教师：边欣三角函数、和弦与曲式结构摘要：一直以来,数学和音乐都被联系在一起。从基本的阿拉伯数字到“黄金分割”,音乐中不仅包含了数学里的“数列”、“变换”等知识,并且乐谱的书写乃至音乐的创作等等都透着数学的踪影。数学学家研究音乐,音乐家们也在探寻数学的奥秘。因此,越来越多的人开始关注数学在音乐上的应用,思考数学和音乐的关系。本文将从数学和音乐的内在联系，以及一些音乐方面的数学原理应用等方面去讨论数学和音乐之间的关系。关键词：三角函数；和谐度；和声搜索算法Trigonometric functions, chords and musical structureAbstract:For a long time, math and music are linked together. From basic Arabic Numbers to the golden mean, in the music not only contains the sequence, transformation in the mathematics knowledge, such as writing and music and music creation, and so on, with mathematics. Mathematical scientists study music, musicians also explore the mysteries of math. As a result, more and more people begin to pay close attention to application of mathematics in the music, thinking about mathematics and music. This article from the internal relations of mathematics and music, and some application of mathematical theory aspects of music to discuss the relationship between mathematics and music.Key words:Trigonometric function；Harmony degree；Harmony search algorithm目 录一、数学与音乐的内在联系1(一)和声的数学本质基于Gamma分布的实证探索1(二)曲式结构中的数学规律斐波拉契数列和黄金分割2(三)音乐中数学本质的教育启示5二、三角函数与和弦和谐度6(一)数学与音乐间的关系频率6(二)和弦的表示法6(三)二和弦的和谐度讨论7三、由音乐而来的算法和声搜索算法7(一)和声搜索算法的由来和性质7(二)和声搜索算法的研究现状8(三)和声搜索算法在连续函数优化中的应用9(四)改进和声搜索算法求解一般整数规划问题10结束语10参考文献1112天津师范大学数学科学学院 三角函数、和弦与曲式结构一、数学与音乐的内在联系(一)和声的数学本质基于Gamma分布的实证探索Gamma分布:若随机变量 X 有概率密度函数 (1)则称 服从Gamma分布,记作 称为形状参数, 称为尺度参数,且, 其中 是Gamma函数 （2）该定义在大多数概率统计文献中都可以找到,其应用越来越广泛.特别是在可靠性理论中发挥重要作用.由(1)式易见如下结论:(1)当时,就是参数为的指数分布,记为;(2)当且为正整数时,就是Erlang分布,常用于可靠性理论和排队论中,如一个复杂系统中从第1次故障到恰好再出现n次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n只船到达所需的时间都服从Erlang分布;(3)当时，就是数理统计中常用的分布.由此可见,Gamma分布的数字特征及其参数估计无论从理论角度还是从应用角度讲,显得非常必要.从文献中可以找到Gamma分布的重要性质及数字特征.对音乐的数学本质的最早探寻，源于毕达哥拉斯发现音高和振动体的长度存在数学关联。两个不同音高的音组合起来，就构成音乐最基本的元素和声。一组和声能否给听者以悦耳、和谐的感受，其实取决于构成这组和声的音中频率的关系。美国音乐学家Plomp和Levelt通过几组实验探索了和声背后的数学关系：他们给实验的参与者同时播放了两个正弦音，并调整其中的频率间隔，并让参与者给这些和声的和谐优美度打分。实验发现，音程的不和谐度同两个音所间隔的半音数呈现Gamma分布，并近似于.如果进一步探寻各个音的频率数据，还可以发现，一个音程是否和谐，取决于音阶中各个音的频率能否表示为简单整数比的形式，即：。如果音阶中各个音的频率的比能表示为简单的整数比，则该音程是和谐的，反之则为不和谐。和声体系之所以拥有上述数学特征，其实取决于人耳对音的偏好程度：只有当音阶中各个音的频率的比呈现为简单整数比时，才能够使人耳和相关的听觉神经产生愉悦的声学感知。这正是由于人耳神经体系的构成和特质决定的。(二)曲式结构中的数学规律斐波拉契数列和黄金分割 从第三项起每一项是它前两项的和。这就是著名的斐波拉契数列，该数列是意大利数学家斐波拉契于 1202 年从兔子繁殖问题中提出的，人们为了纪念他， 就把这种数列称为斐波拉契数列. 若设该数列为，则它的一个递推公式为：且满足。对于斐波拉契数列的每一项与它的后一项的比值，随着n的增大，该比值越来越接近于黄金分割比例。如果毕达哥斯拉对音高-发声体长度关系的研究来源于振动物理学，最终将数学和音乐联系在一起的话，那么音乐曲式中包含的数学规律则显得更加地微妙，但却更加地直接。近些年来有些数学家通过分析传统的音乐曲式结构，发现音乐中对于曲式的规定符合斐波拉契数列的前几个数字：作曲中最常用的一段式、二段式、三段式和五段式的回旋曲，其段落的数量符合斐波拉契数列里面的1,2,3,5。而古典音乐中比较常见的大奏鸣曲式都是三部结构，如果再增加前奏和尾声部，那么就会拓展为五部结构，还是会体现斐波拉契数列任意三个数的前两个数之和，等于第三个数的特质。而斐波拉契数列还有一个性质，就是在数组中任意相邻的两个数之间的比值约等于黄金分割比例（0.618）。其实如果我们仔细观察著名的音乐作品中的结构很容易发现，黄金分割比例在音乐曲式中基本上处处可见。根据美国数学家巴兹等人的实验结果，西方古典音乐里面不同规模形式的作品中，高潮部分音符所在的小节，基本上都恰好位于整部作品的黄金分割点。不难发现，对莫扎特的作品进行进一步分析得到结论，莫扎特钢琴协奏曲中94%的作品都符合这一规律。如果说莫扎特作品所代表的古典主义音乐大多数都中规中矩，在其中发现某些数学规律很难有说服力的话，那么通过对近现代以来的许多不同风格的作品进行研究，也呈现了这一规律。例如肖邦的作品降D大调小夜曲中一共包含了76个小节，理论上黄金分割点应该位于第46小节，事实上，全曲高潮部分的音符恰恰是出现在了第46小节处。在里姆斯基-科萨科夫极富现代主义元素的作品中的天方夜谭第四乐章中，全曲最高潮部分的强有力的铜锣声也刚刚好出现了黄金分割点上。下面我们详细地提出三位音乐艺术家的作品为例:1. 贝多芬钢琴作品中黄金分割的运用 从欧洲文艺复兴时期开始，应用黄金分割比例来进行艺术创作在艺术界盛行起来。无论是巴赫、贝多芬、莫扎特，还是舒伯特、肖邦、德彪西，甚至巴托克和勋伯格，我们都能够从他们的作品中找到黄金分割比例的影子。例1是贝多芬第五交响曲命运的开始部分，利用了模进手法，但是模进部分最后的长音比原音型延长了一倍，这样就在长度上形成了前后为7:11的比例关系,比值约为0.6。这样的创意设计使人们联想到命运之手在叩门的音响特征 似乎是敲击声与稍事停歇的交替。例 1 ：其实在贝多芬第五交响曲中，处处都体现出黄金分割率。更为奇妙的是，这首永垂不朽的交响巨作恰好创作于贝多芬一生的黄金分割点处贝多芬共活了 57 岁,而命运则创作于36岁。1. 巴赫钢琴作品中黄金分割的运用在巴赫的音乐作品之中，黄金分割比例的影子也是随处可见的。巴赫的音乐作品中以赋格曲最为著名，这些赋格曲的主题在结构上大多符合黄金分割率。“以他最著名的平均律钢琴曲集中的48首赋格为例共有36首在构思上完全符合黄金分割定律，占75%”。比如巴赫平均律钢琴曲集第一册的赋格曲第1首之主题,我们总共可以将它分为13个时间单位（以八分音符为一个时间单位），主题中的最高音A音将主题分为了两个部分，前面部分的长度为8个时间单位,后面部分有5个时间单位，代入黄金分割计算公式130.6188，A音所在位置完全符合黄金分割点！第一册赋格曲第7首之主题，若以八分音符为一个时间单位，这个主题也可分为13个时间单位。最高点的音符将主题划分的两个部分分别是8个和5个时间单位，其计算结果同赋格曲第1首相同也符合黄金分割比例。用这种分析方法对巴赫的平均律钢琴曲集中的赋格曲一一进行分析，我们可以找到很多符合黄金分割比例的结构。应该说这不能仅仅被视为巧合，但是在曲集中又不是所有的赋格曲都符合黄金分割率。这样分析看来，巴赫应该是并没有刻意地去使用黄金分割比例进行这些创作，而仅仅出于音乐家天生敏感的直觉，而这样写出来的作品，却又恰恰符合了美的规律黄金分割率。例2为巴赫赋格的艺术主题。这一主题被视为经典，似乎经过音乐家的神机妙算，令听者心驰神往。这一主题的比例结构就是它之所以具备这种魔力的原因。从开始到第三小节第一个音都是二分音符的排列，而从第三小节第三拍开始，节奏则发生了变化，这个D音打破了前面的固有节奏型，加入了四分音符和八分音符的新节奏型，推动了主题的新发展。显而易见，第三小节的第三拍是此主题中富有转折意义的音。由这个音所分割的前后两部分的拍数比为5:3.5,基本上符合黄金分割比例。例2:1. 勋伯格钢琴作品中黄金分割的运用勋伯格的钢琴小品Op.9 No.5，全曲共为15小节,，因此其黄金分割点应在第9小节。通过对乐谱的分析发现，从第9小节第二拍开始，钢琴左右手的织体开始向两边做逆行倒影式的进行。若对全曲进行黄金分割比例的负相分割，150.3825.73,则得到大致处于第5小节与第6小节之间的位置，此处前半部分（第5小节内）为钢琴的右手以“G”音为轴，经过前后两个#F音继续向两边以逆行倒影的形式延伸；后半部分（第6小节内）则以 A 音为轴，上声部两端的音高仍然是以逆行倒影的形式继续向两端延伸。勋伯格的升化之夜与其后期的作品不同，升化之夜尚未加入那么多的十二音体系写作手法，反而来的浪漫自然，犹如瓦格纳的作品。但是仔细分析之后，可以发现升化之夜中仍旧能够找到半音体系的趋向，而且其结构组织仍然有符合黄金分割比例的迹象。除了上述几位音乐家的作品之外，在春之祭(斯特拉文斯基)以及月迷彼埃罗(勋伯格)等等这些曾经饱受争议的音乐作品之中，也能找到黄金分割比例的影子。而这些在当时被归为“新音乐”类型的作品，在其锐意革新的同时，却能够保留黄金分割比例在其结构构思之中，也恰恰说明了无论音乐如何发展变化，某些精髓的东西还是会被保留下来，正如黄金分割比例。黄金分割比例似乎能够凌驾于时间、空间、艺术形式、作者、创作手法等等因素之上，成为恒久的审美准则。我们虽然无法详尽地分析到世界上所有的经典音乐作品，但是就现有的这些具有代表性的作品来说，还是有相当一部分是符合黄金分割比例结构的。音乐史学研究者表示，在文艺复兴时期和巴洛克时期，作曲家们很注重作品的结构形式。所以，他们会不遗余力地将其作品结构达到最完美的状态，而我们现在对这些已经处于“完美状态”的成品进行分析时所发现的规律，应该就是他们所认为的“完美”，即黄金分割比例他们所认为的“完美比例”。这是一个既定的事实， 这些应用了黄金分割比例的音乐作品，确实让人们感受到了美，符合人们的审美心理，也恰恰因为是这样，这些作品才会流传百世，至今被人们奉为经典。可见,古老的黄金分割理论对音乐创作具有不可估量的价值。通过以上实例我们发现了，不管是斐波拉契数列的规律，还是黄金分割点的位置，都是独自在数学历史上发展起来的理论与发现，相同作曲形式里面曲式规律的确立几乎找不到任何关联。因此，我们无法认为作曲家们在创作的过程中是在有意的遵循黄金分割比。从某种角度上来讲，数学和音乐“殊途同归”的现象表现出一个本质，即：不论是音乐还是数学，虽然其表现的形式不同，途径不同，但最后结果却都表现了一种美感。几何知识中的黄金分割比例，是指根据这种比例所形成的图形都能勾在视觉上带给人们一种愉悦的感觉；二音乐中高潮音符所处的位置暗合黄金分割比例，也正是这样的音响安排能够给人以听觉上的愉悦它们仅仅是用不同的形式反映了宇宙之美。无怪乎爱因斯坦曾言：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。” (三)音乐中数学本质的教育启示我们不难发现，音乐和数学有着千丝万缕的联系：从振动物理学的角度来看，乐音的物理性质能够由数学方法不论是发声体长度比率，亦或是频率分布进行描述；从曲式结构上看，音乐的结构中处处蕴含着黄金分割等数学原理；而西方音乐的记谱体系，也正是基于排列组合的伟大数学思想然而，正如伟大数学家莱布尼茨所言：“音乐，就其基础来说，是数学的；而就其表现来说，是直觉的。”在常人眼中，尤其是众多学生心目中，音乐和数学仍然相距万里。数学因其严谨的逻辑和抽象的思维使许多同学敬而远之，而音乐由于其娱乐性和对人们感官的愉悦性而受到大众的普遍接受和喜爱。因此，在数学教学中，若能以大众喜闻乐见的音乐形式作为引子或课堂案例，必将引起学生们的极大兴趣，有助于其克服对严谨数学的枯燥印象和心理恐惧。比如，在讲解黄金分割的课堂中，教师不妨带领学生一起聆听肖邦的钢琴曲，引导学生去发现音乐高潮所在的黄金分割规律，然后对照教材中的论述进行讲解。又如对排列组合的引入中，教师不妨从包括音乐在内的广泛领域中寻求案例，使学生意识到排列组合这一工具在化学、生物、计算机、甚至被归入“文科”的语言中都扮演着基础性的角色二、三角函数与和弦和谐度 (一)数学与音乐间的关系频率声音的本质是波，一定的音高对应一定的频率。两个不同音的频率的比值，称为这两个音的频率比，和弦的和谐程度和频率比有关。十二平均律最早是由我国明朝音乐理论家朱载堉提出的。这种律制将八度按等比数列划分为十二份，因为高一个八度音的频率是原来八度音频率的二倍，所以两个半音间的频率比为2 ，即每相邻两个半音间的频率比为2 。纯律最早是由毕达哥拉斯提出的。这种律制以2：1，3：2，4：3这三个比值分别作为CC1，CG，CF的频率比，并在此基础上推出其余各音之间的频率比。其中C、D、E、F、G、A、B表示简谱中的音名1、2、3、4、5、6、7。(二)和弦的表示法我们都知道声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示(图1)。同样地我们用正弦函数(图2)来表示单音，用正弦函数相叠加(图3)表示和弦。图1 图2 图3 设两分音最简频率比为的二和弦可表示为(三)二和弦的和谐度讨论二和弦的和谐度为和谐程度相同频率比不同的两个和弦的频率比之和；三和弦、四和弦的和谐度为二和弦和谐度值的和。归纳总结欢快旋律的音乐有一个常用的和弦，数学期望、方差偏小，应用的和弦和谐、单一、集中；而悲伤的音乐没有一个常用和弦，数学期望、方差偏大。因为忧伤的乐曲包含着人们复杂的心情，感情强烈，变化较大，应用的和弦复杂、丰富、平均。三、由音乐而来的算法和声搜索算法(一)和声搜索算法的由来和性质音乐家通过个人的音乐记忆和音乐音符的调节获得美妙的音乐,类似于优化算法通过解空间的历史记忆和解变量的调整获得合理有效的解。和声搜索算法由 Z.W.Geem等人于 2001年提出，其原理模仿了音乐演奏的过程。和声搜索算法(harmony search, HS)的一大缺点是它容易陷入局部最优。针对此缺点,深入研究了近期文献中所提出的步长调整方法。首先具体分析了和声搜索算法即兴创作过程的探索能力,而后推导出在不对称区间下即兴创作过程的探索能力和各参数的关系,并进一步讨论了bw对探索能力和算法收敛的影响,证明了方差期望和均值期望所组成的迭代方程的迭代收敛充分性。基于这些分析和证明,提出一种修正和声搜索算法(modified harmony search,MHS),并分析了参数和声记忆库大小(harmony memory size, HMS)、基音调整概率(pitch adjusting rate, PAR)及和声记忆库的考虑概率(harmony memory considering rate, HMCR)对MHS优化性能的影响。数值仿真结果表明MHS算法优于HS及最新文献所报道的8种改进HS算法, 具有良好的优化性能。 (二)和声搜索算法的研究现状自从2001年韩国学者Geem等人受音乐创作的启发提出和声搜索算法后，该算法引起了广大国内外学者的关注。早期的关于和声搜索算法文献的内容：主要是集中于该算法在土木工程、化学工程领域的应用以及和声搜索算法和其它智能优化算法相结合在工业领域的应用。(图5)是自2002到2012年以来和声搜索算法的研究状况图，从图中可以看出，自从算法提出后受到了持续的越来越多学者们的关注。2004年之前发表关于该算法的文献数量还是很少的，2005年至2007年开始渐渐增多，2007年之后关于和声搜索算法的出版量显著迅速的上升。图5和声搜索算法的发展起始于Geem在韩国大学土木与环境工程系读博士期间的研究，主要用于离散的决策变量，研究覆盖领域主要是基准函数优化、参数估计和旅行商问题，更多的研究致力于配水网络的设计。目前配水网络优化及和水资源相关研究仍然是和声搜索算法应用的主要主题。Geem和Lee等人通过处理连续工程问题优化问题，将和声搜索算法的应用扩展到更多领域。在解决一些二维约束工程优化问题上，和声搜索算法的性能优越于遗传算法性能。2005年和声搜索算法开始应用于连续设计变量的结构设计问题，之后用于离散设计变量的结构设计问题。在国内，李亮等人开始将遗传算法和和声搜索算法混合应用于土坡稳定性分析问题，国内一些学者对土坡稳定性分析问题做了更多研究，并一直是研究热点领域。2006年和声搜索算法第一次应用于卫星热导管的设计和操作的多目标优化问题，并且提出了和声搜索算法在混合变量问题上的应用。最近几年也出现了该算法在信息技术相关方面的应用，包括数据分组和计算机网络信息路由。自从基本的和声搜索算法提出后，研究者开始调查各种方法改进算法的性能使其适用于各种类型的问题。2007年Mahdavi等人提出了改进的和声搜索算法IHS，该算法也被后续研究者所使用。国内Cheng等人提出算法的进一步改进，也是另一个值得注意的发展。至今将近一半的研究都是使用基本的和声搜索算法解决问题，还有余下的是使用改进的版本。通过将和声搜索算法和其它启发式优化算法如遗传算法和模拟退火算法等混合的改进的方法也在一直发展。几乎一半对和声搜索算法的改进方法可以归类为混合方法。近年来还有些对和声搜索算法的理论分析也被提出，该方面研究主要包括算法的收敛性分析、随机偏导数及和声记忆库的种群变量分析。使用基本的和改进的和声搜索算法解决较大规模的问题也在研究中。 (三)和声搜索算法在连续函数优化中的应用针对一般和声搜索(HS)算法在求解连续函数优化问题时存在的困难，提出一种改进的多样化和声搜索(IDHS)算法。该算法借鉴模拟退火算法的思想对参数的更新方式作出调整，并且限制保存在和声记忆矩阵中的一致和声的数量以增加解的多样性。同其他几种传统的和声搜索算法相比，该方法进一步提高了计算精度和收敛速度，以及全局寻优能力。针对连续函数的优化问题提出一种改进的和声搜索算法IDHS。IDHS在DHS算法的基础上做了改进，并且同SAHS结合起来，增加了和声记忆矩阵中解向量的多样性以避免算法早熟，有效平衡算法对解空间的全局探索及局部开发能力，提高了算法寻找近似全局最优解的能力。此外，仿真实验对IDHS和其他几种HS算法的性能(平均值和标准偏差)做了比较，结果证实，在对所列出的几种基函数的优化问题上，无论低维还是高维基函数，IDHS都表现出了更好的综合性能。随后将进一步研究IDHS算法同其他方法地融合，并将其应用于实际问题。(四)改进和声搜索算法求解一般整数规划问题 有一种改进的和声搜索算法对一般的整数规划问题进行求解，在计算机上予以实现。经实验测试，相对遗传模拟退火算法和混合遗传算法，获得了同样甚至更好的解。由于改进和声搜索算法使用灵活，因此对于线性和非线性的整数规划问题都能进行求解。针对一般整数规划问题，设计了改进和声搜索算法来予以求解。根据算例测试的结果来看，其计算得到的最优值比其他两种智能算法相当或更好。同时，此方法既可用于线性整数规划问题，也能用于非线性整数规划问题。改进和声搜索算法的低时间复杂度和适应性强等特点，在应用层面上对于求解NP难问题有着相当现实的使用价值。结束语毕达哥拉斯认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”世界上哪里有数，哪里就有美。数学像音乐及其它艺术一样能唤起人们的审美感觉和审美情趣。在数学家创造活动中，同样有情感、意志、信念、等审美因素参与，数学家创造的定义、定理、公理、公式、法则如同所有的艺术形式如诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受。音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然,而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现。音乐能诠释人们的喜怒哀乐，我们通过音乐把自己对大自然、人生的态度等表现出来,即音乐抒发人们的情感。我们也可以不用语言，单是通过音乐和他人甚至是动物、植物来进行简单或者是复杂的情感上的沟通和交流。而数学则是以一种理性的、抽象的方式来描述世界,使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识。数学贯穿人类文明的始终，无论是生老病死，还是日常的工作生活，都不能脱离数学。数学和音乐的结合是一种感性和理性的融通，如果我们能将这种关系加以完善和利用，那么一定可以演绎出一种无与伦比的“完美境界”！参考文献：1姚恒璐.现代音乐分析方法教程M.长沙：湖南文艺出版社，2003：139.2吴祖强.曲式与作品分析M.北京：人民音乐出版社, 2003:210.3周概容.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,1984. 144-145, 313-322, 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