高考数学计算试题分类汇编-圆锥曲线.doc

2010 年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 2010 上海文数 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小 题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知椭圆 的方程为 21 0 xyab Ab 0 B 和 0 Qa为 的三个顶 点 1 若点 M满足 2AQB 求点 M的坐标 2 设直线 1 lykxp 交椭圆 于 C D两点 交直线 2 lykx 于点 E 若21bka 证明 E为 的中点 3 设点 P在椭圆 内且不在 x轴上 如何构作过 PQ中点 F的直线 l 使得 l与椭圆 的两个交点 1 2满足 12P 12 令 10a 5b 点 P的 坐标是 8 1 若椭圆 上的点 满足 求点 2的坐标 解析 1 2abM 2 由方程组 12ykxpab 消 y 得方程 222211 0akbxakpb 因为直线 1 lykx交椭圆 于 C D两点 所以 0 即 220abp 设 C x1 y1 D x 2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 10211kabpykx 由方程组 2ykx 消 y 得方程 k 2 k1 x p 又因为 21bka 所以 210212akkbpyxy 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由 12Q 知 F 为 P1P2 的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 21bka 从而得直 线 l 的方程 F 直线 OF 的斜率 2k 直线 l 的斜率 21bka 解方程组 2 105yx 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P 2 8 3 2010 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察 基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 12P 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界 线上 2010 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直线 2 0mlxy 椭圆2 1xCym 2F分别为椭圆 C的左 右焦点 当直线 l过右焦点 2时 求直线 l的方程 设直线 与椭圆 交于 AB两点 12FV 12BFV 的重心分别为 GH 若原点 O在以线段 GH为直径的圆 内 求实数 m的取值范围 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线 l 20mxy 经过 2 1 0 F 所以 221m 得 2m 又因为 1m 所以 2 故直线 l的方程为 0 xy 解 设 12 AB 由 21 mxy 消去 x得2204y 则由 228 1 80m 知 28m 且有 2121 yy A 由于 12 0 Fc 故 O为 的中点 由 AGBHO 可知 121 33xyh221219y 设 M是 GH的中点 则 1212 6xy 由题意可知 2 O 即 2221111 4 69xyxy 即 120 而 221211 mxyyy 221 8m 所以 2108m 即 24 又因为 1 且 0 所以 m 所以 的取值范围是 2 2010 全国卷 2 理数 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 210 xyabb 相交于 B D 两点 且 BD 的中点为 3M 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F 17DB A 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基 础知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 2010 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 2010 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1F 2分别为椭圆 2 1xyCab 0 的左 右焦点 过 2F的直线 l与椭 圆 C 相交于 A B两点 直线 l的倾斜角为 6 1F到直线 l的距离为 3 求椭圆 的焦距 如果 2F 求椭圆 的方程 解 设焦距为 c 由已知可得 1F到直线 l 的距离 32 c 故 所以椭圆 C的焦距为 4 设 1212 0 AxyBy 由 题 意 知 直线 l的方程为 3 2 yx 联立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3ayyb 因为 212 AFB 所 以 即 223 3baba 得 2 4 5 而 所 以 故椭圆 C的方程为 1 9xy 2010 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 2 0 xyab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 154 求椭圆 C 的方程 解 设 12 AxyB 由题意知 1y 0 2 0 直线 l 的方程为 3 xc 其中 2ab 联立 2 3 1yxcab 得 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因为 AFB 所以 12y 即 223 3 bcacab 得离心率 e 6 分 因为 213ABy 所以 24315ab 由 23ca得 5ba 所以 54 得 a 3 椭圆 C 的方程为 219xy 12 分 2010 全国卷 2 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 21 0 xyab 相交于 B D 两点 且 BD 的 中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 由直线过点 1 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BD 两点的中点为 1 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A B 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 A 的代数式表示 即可求得 A 则 A 点坐标可 得 1 0 由于 A 在 X 轴上所以 只要证明 2AM BD 即证得 2010 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 21 0 xyCab 抛物线 22 Cxby 1 若 2经过 1的两个焦点 求 1的离心率 2 设 A 0 b 534Q 又 M N 为 1与 2不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 的垂心为 B 且 QMN 的重心在 2C上 求椭圆 1和抛物线 2C的方程 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 2cb 由22212 cabcea 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设11 0 xyx 由 A 的垂心为 B 有2113 04BAb 由点 1 Nxy在抛物线上 22xy 解得 11 4by 或 舍 去 故 155 244bbbM 得 QMN 重心坐标 3 由重心在抛物线上得 23 2 所 以 1 5 2 又因为 M N 在椭圆上得 216a 椭圆方程为 1634xy 抛物线方程为 4xy 2010 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆 E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 1 F在 x轴上 离心率 12e 求椭圆 E的方程 求 12FA 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能 力 解题指导 1 设椭圆方程为 21xyab 把点 2 3A代入椭圆方程 把离心率2e 用 ac表示 再根据 22c 求出 得椭圆方程 2 可以设直线 l 上 任一点坐标为 xy 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 46 2 5xyx 解 设椭圆 E 的方程为2 222121121 3 1 4 6 3 0 434 xyabcxyeaccAExyFAxxAF 由 得将 3 代 入 有 解 得 椭 圆 的 方 程 为由 知 所 以 直 线 的 方 程 为 y 即 直 线 的 方 程 为 由 椭 圆 的 图 形 知 的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 斜 率 为 正12 12 65650 80 yA xxyyF 数 设 P 为 的 角 平 分 线 所 在 直 线 上 任 一 点 则 有若 得 其 斜 率 为 负 不 合 题 意 舍 去 于 是 即 所 以 的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程 为 2x y 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 21xyab 根据题目满足的条件 求出 2 ab 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点 O为中心 5 0 F为右焦点的双曲线 C的离心率 52e 求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程 如题 21 图 已知过点 1 Mxy的直线 1l 14xy 与过点2 Nxy 其中 21x 的直线 2l 24 的交点 E在双曲线 上 直线 MN与双曲线的两条渐近线分别交于 G H两点 求 O A的值 2010 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线2 Cyps p 0 的焦点 F 在直线 2 0mlxy 上 I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线 l与抛物线 C 交于 A B A2A 1B的重心分别为 G H 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 2010 重庆理数 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 5 0F为右焦点 的双曲线 C 的离心率 2e I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点 1 Mxy的直线 11 4lxy 与过点 2 Nxy 其中 2 的直线 22 l的交点 E 在双曲线 C 上 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求 O 的面积 2010 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 21 0 xyab 过点 1 2 离心率为 2 左 右焦点分别为 1F F 点 P为直线 lxy 上且不在 x轴上的任意 一点 直线 1和 2F与椭圆的交点分别为 A B 和 C D O为坐标原点 I 求椭圆的标准方程 II 设直线 1P 2的斜线分别为 1k 2 i 证明 123k ii 问直线 l上是否存在点 P 使得直线 OA B C D的斜率 OAk OBk C ODk满足 0AOBCDk 若存在 求出所有满足条件的点 P的坐 标 若不存在 说明理由 2010 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 离心率是 63 直线 y t 椭 圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 63ca 且 2c 所以 23 1abc 所以椭圆 C 的方程为 21xy 由题意知 0 pt 由 213 ytx 得 23 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 t 解得 2t 所以点 P 的坐标是 0 32 由 知 圆 P 的方程 22 1 xytt 因为点 Qxy在圆 P 上 所以23 1 31yttxt 设 cos 0 t 则 23 1 cos3in2si 6tt 当 3 即 12t 且 x y取最大值 2 2010 北京理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 13 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 关于原点 O对称 所以点 B得坐标为 1 设点 的坐标为 xy 由题意得 13 化简得 24 1 xyx 故动点 P的轨迹方程为 24 1 yx II 解法一 设点 的坐标为 0 点 M N得坐标分别为 3 My N 则直线 A的方程为 01 1yx 直线 BP的方程为01 yx 令 3得 0431My 0231Nyx 于是 PNA得面积 2002 3 2MNxyxSy 又直线 B的方程为 x AB 点 P到直线 A的距离 0 2yd 于是 PAB的面积 01 2Sdxy A 当 PABMN时 得 2002 3 1x 又 0 xy 所以 2 3 0 1 x 解得 05 3x 因为 204y 所以 09y 故存在点 P使得 AB与 PMN的面积相等 此时点 P的坐标为 53 9 解法二 若存在点 使得 与 A的面积相等 设点 的坐标为 0 xy 则 11 sin sin22MN A 因为 siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 20 解得 053 因为 2034xy 所以 09y 故存在点 PS 使得 AB与 PMN的面积相等 此时点 P的坐标为53 9 2010 四川理数 20 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 12 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设 P x y 则 21 2yx 化简得 x2 3 1 y 0 4 分 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 1 联立消去 y 得 3 k 2x2 4k 2x 4k 2 3 0 由题意知 3 k 2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2143kx y1y2 k 2 x1 2 x 2 2 k 2 x1x2 2 x 1 x 2 4 k 2 83 4 29 因为 x1 x 2 1 所以直线 AB 的方程为 y 1x x 1 因此 M 点的坐标为 13 2 13 yFx 同理可得 23 1yFNx 因此 2129 yNx A 284349 1 k 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时 起方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 FM 同理可得 3 2FN 因此 A 0 综上 FM 0 即 FM FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 分 2010 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 21xyab a b 0 的离心率 e 32 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 42AB5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Q y0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 QB 4 A 求 y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公 式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 32ca 得 24ac 再由 22ab 解得 a 2b 由题意可知 1b 即 ab 2 解方程组 2a 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 214xy i 解 由 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 1 xy 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 1 4ykx 消去 y 并整理 得 222 14 6 14 0kxk 由 12 得 218x 从而 124ky 所以 2224 4kkABk 由 42 5 得 2145k 整理得 423930k 即 22 1 3 0k 解得 k 1 所以直线 l 的倾斜角为 或 4 ii 解 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 的坐标为 228 14k 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 002 2 QAyy 由 4QA 得 y2 0 2 当 k 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 22184kkx 令 0 x 解得 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 27k 故 17 所以 02145y 综上 0y或 0245y 2010 天津理数 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 21 0 xyab 的离心率 32e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线 l与椭圆相交于不同的两点 AB 已知点 的坐标为 0a 点0 Qy 在线段 AB的垂直平分线上 且 4Q 求 y的值 解析 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算和推理能力 满分 12 分 1 解 由 3e2ca 得 24ac 再由 22ab 得 由题意可知 1 b 即 解方程组 2a 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 214xy 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x 1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 14ykx 由方程组消去 Y 并整理 得 222 1 6 4 0kk 由 2164 kx 得21128 kyk从 而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 228 14k 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAByQABy 由 4 得 2 当 K 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2218 44kkYx 令 x 0 解得 02614ky 由 010 QABxy 210 222 8 6462 411kkx 42 65 4k 整理得 2 012147 75y 故 所 以 综上 0024 5yy或 2010 广东理数 21 本小题满分 14 分 设 A 1 xy B 2 是平面直角坐标系 xOy 上的两点 先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p A B 为 121 PABxy 当且仅当 1212 0 0 xyy 时等号成立 即 ABC三点共线时 等号成立 2 当点 C x y 同时满足 P AC P B P P P 时 点C 是线段 AB的中点 1212xy 即存在点 1212xyC 满足条件 2010 广东理数 20 本小题满分为 14 分 一条双曲线 21xy 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 1 Pxy 1 Qy 是双曲线上 不同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点 且 12l 求 h 的值 故 221 yx 即 21xy 2 设 1 lykh 则由 12l 知 1 lyxhk 将 1 lx 代入 2y 得22 kh 即 22 1 40kxh 由 1l与 E 只有一个交点知 226 1 kh 即2kh 同理 由 2l与 E 只有一个交点知 2k 消去 2得 21k 即 1 从 而 213k 即 2010 广东文数 21 本小题满分 14 分 已知曲线 2 nxyC 点 nyP 0 nyx是曲线 nC上的点 21 2010 福建文数 19 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 2 0 ypx 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 L 使得直线 L 与抛物线 C 有公共 点 且直线 OA 与 L 的距离等于 5 若存在 求直线 L 的方程 若不存在 说明理由 2010 全国卷 1 理数 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 2 4Cyx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线 l与 C相交于 A B两点 点 A 关于 x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 89B 求 D 的内切圆 M 的方程 2010 四川文数 21 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 12 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 2010 湖北文数 20 本小题满分 13 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有 FA B 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 2010 山东理数 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 21 0 xyab 的离心率为 2 以该椭圆上的点和椭圆的左 右 焦点 12 F为顶点的三角形的周长为 4 1 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设P 为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 PF和 2与椭圆的交点分别为 BA 和 CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1PF 2的斜率分别为 1k 2 证明 12 k 是否存在常数 使得 ABCD 恒成立 若存在 求 的值 若 不存在 请说明理由 解析 由题意知 椭圆离心率为 ca2 得 c 又 2ac 4 21 所以可解得 2a c 所以 224b 所以椭圆的标准方程为 8xy 所以椭圆的焦点坐标为 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所 以该双曲线的标准方程为 214xy 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲 线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问 题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的 能力 2010 湖南理数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系 图 6 在直线 x 2 的右侧 考察范围为到点 B 的距离不超过 65 km 区域 在 直线 x 2 的左侧 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过 45km 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 P1P2 P2P3 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 化 融 区 域283P 6 P3 8 6 已 冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P 153 2010 湖北理数 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都 有 0FAB 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 2010 安徽理数 19 本小题满分 13 分 已知椭圆 E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点12 F 在 x轴上 离心率 1e 求椭圆 的方程 求 12A 的角平分线所在直线 l的方程 在椭圆 E上是否存在关于直线 对称的相异两点 若存在 请找出 若不存在 说明理由 2010 江苏卷 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xoy中 如图 已知椭圆 1592 yx的左 右顶点为 A B 右焦点为 F 设过点 T mt 的直线 TA TB 与椭圆分别交于点 M 1x 2yxN 其中 m 0 021 y 1 设动点 P 满足 42 BF 求点 P 的轨迹 2 设 31 21 x 求点 T 的坐标 3 设 9t 求证 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 其坐 标与 m 无关 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程 考查方直线与椭圆的方程等基础知识 考查运 算求解能力和探究问题的能力 满分 16 分 1 设点 P x y 则 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 42 B 得 22 4 xyxy 化简得 92x 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 将 31 21 x分别代入椭圆方程 以及 0 21 y得 M 2 53 N 1 09 直线 MTA 方程为 0523yx 即 3yx 直线 NTB 方程为 109 即 562 联立方程组 解得 73xy 所以点 T 的坐标为 10 3 点 T 的坐标为 9m 直线 MTA 方程为 30yx 即 3 12myx 直线 NTB 方程为 9 即 6 分别与椭圆 1592 yx联立方程组 同时考虑到 123 x 解得 223 80 4 mM 223 0 mN 方法一 当 12x 时 直线 MN 方程为 2222203 0 4808yxmm 令 0y 解得 1x 此时必过点 D 1 0 当 12x 时 直线 MN 方程为 x 与 x 轴交点为 D 1 0 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D 1 0 方法二 若 12 则由 224368m 及 得 210m 此时直线 MN 的方程为 1x 过点 D 1 0 若 12x 则 10m 直线 MD 的斜率 2240183MDmk 直线 ND 的斜率 22103640NDkm 得 MDNk 所以直线 MN 过 D 点 因此 直线 MN 必过 x轴上的点 1 0 2010 福建理数 17 本小题满分 13 分 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线 l 使得直线 l与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 l的距离等 于 4 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 命题意图 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 解析 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 21 a 0 b xy 且可知左焦点为 2010 年高考数学试题分类汇编 三角函数 2010 上海文数 19 本题满分 12 分 已知 02x 化简 2lg costan1si lg cos lg 1sin2 2xxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文数 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sinifxx I 求函数 的最小正周期 II 求函数 fx的最大值及 fx取最大值时 x 的集合 2010 浙江理数 18 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已 知 1cos24C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 14 及 0 C 所以 sinC 104 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 acsinAiC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 14 J 及 0 C 得 cosC 6 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 0 解得 b 6或 2 所以 b b 6 c 4 或 c 4 2010 全国卷 2 理数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边 上的一点 3BD 5sin13 3cos5ADC 求 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中 的应用 考查考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出 现 这类题型难度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保 留 不会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求 边角或将边角互化 2010 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 22ADC 1036912 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsiBAD AB 310ii6256ss45AD 2010 辽宁文数 17 本小题满分 12 分 在 BC 中 abc 分别为内角 ABC 的对边 且 2sin sin 2 sinAb 求 的大小 若 i1 试判断 的形状 解 由已知 根据正弦定理得 cbca 2 2 即 bca 22 由余弦定理得 Acos2 故 10 2cosA 由 得 sinsinisin22CB 又 sin CB 得 1B 因为 90 0 故 所以 A 是等腰的钝角三角形 2010 辽宁理数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且2sin sin 2 sin aBcb 求 A 的大小 求 i的最大值 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 abcbc 即 22abc 由余弦定理得 2cosA 故 1cos2A A 120 6 分 由 得 insin 60 BCB 31cosin2i 60 B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全国卷 2 文数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边 上的一点 3D 5sin13B 3cos5ADC 求 解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由 与 的差求出 BA 根据同角关系及差角公式求出 的正弦 在三角 形 ABD 中 由正弦定理可求得 AD 2010 江西理数 17 本小题满分 12 分 已知函数 21cotsinisin4fxxmx 1 当 m 0 时 求 fx在区间 38 上的取值范围 2 当 tan2 时 5 fa 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托 三角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于 中等题 解 1 当 m 0 时 22cos 1cos2in insiinsx xfxxx 1 2sin 1 4x 由已知 3 84x 得 22 1 x 从而得 f的值域为 2 0 2 2cos1insi sin 4xfxmx 化简得 1 1 co 2 当 tan 得 22sitasinn5a 3cos2a 代入上式 m 2 2010 安徽文数 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 ABC所对边长分别为 abc 12os3A 求 若 1cb 求 a的值 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 12cos3A 得 sin的值 再根据 ABC 面 积公式得 56bc 直接求数量积 BC 由余弦定理 2cosab 代入已 知条件 及 求 a 的值 解 由 12os3A 得 215sin 3 又 in0bc 56bc 12os43BC 22caA 12 cos 156 53bA 5 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求 b的值 考虑已知ABC 的面积是 30 1cos3 所以先求 sin的值 然后根据三角形面积公式得bc 的值 第二问中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 2010 重庆文数 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 2 3c 3 2a 4 bc 求 sinA 的值 求 2sin si 441co2ABC 的值 2010 浙江文数 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 223 4Sabc 求角 C 的大小 求 sinAB 的最大值 2010 重庆理数 16 本小题满分 13 分 I 小问 7 分 II 小问 6 分 设函数 2coscos 3xfxR I 求 fx的值域 II 记 ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若f 1 b 1 c 3 求 a 的值 2010 山东文数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin cosfxxx 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf的图像上各点的横坐标缩短到原来的 12 纵坐标不变 得到 函数 ygx 的图像 求函数 gx 在区间 0 16 上的最小值 2010 北京文数 15 本小题共 13 分 已知函数 2 cosinfxx 求 3 的值 求 fx的最大值和最小值 解 22cosin3 314 1 cos fxxx 2cs R 因为 ox 所以 当 cs1x 时 fx取最大值 2 当 cos0 x 时 f 去最小值 1 2010 北京理数 15 本小题共 13 分 已知函数 x f2cosin4cosx 求 3 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2392cosin4cos1334 II 2 1 fxxx 2cs 73 o 3x xR 因为 cs 1 所以 当 x 时 fx取最大值 6 当 2cos3x 时 fx取最小值73 2010 四川理数 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式 C cos cossin 1 由 C 推导两角和的正弦公式 Sincosi 2 已知 ABC 的面积 1 32SAB 且 35csB 求 cosC 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及 运算能力 解 1 如图 在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边 为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P 4 cos sin 由 P1P3 P 2P4 及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin 2 cos sin cos 2 cos cos cos sin sin sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S 12bcsinA ABC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos 2A 1 sinA 10 cosA 310 由题意 cosB 35 得 sinB 4 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 2010 天津文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cosC 证明 B C 若 csA 13 求 sin 4B3 的值 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍 角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinBC co 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 13 又 0 2B ACOOAC 故 且 对 于 线 段 上 任 意 点 P有 O 而小艇的最 高航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相 遇 设 D 90 103tanRtD 则 在 中 OD 103cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 tt 和 tv 所以 103tan 103cosv 解得 1533 0 sin sin 2vv 又 故 从而 9 ta 由 于 时 取 得 最 小 值 且最小值为 3 于是 当 30 时 103tnt 取得最小值 且最小值为 2 此时 在 OAB 中 20AB 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设 ABC 是锐角三角形 abc分别是内角 ABC所对边长 并且2 2sini sin sin3A 求角 的值 若 1 7BCa 求 bc 其中 c 2010 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔 的实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tantanHHAD 同理 tanHAB tanhD AD AB DB 故得 tth 解得 41 24tt0 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知 dAB 得 tan tHhdADBd 2tantan 1t 1HhdhdHd 2 Hhdh 当且仅当 152h 时 取等 号 故当 5 时 tan 最大 因为 02 则 02 所以当 5d 时 最大 故所求的 d是 m 2010 江苏卷 23 本小题满分 10 分 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有理数 解析 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决问题的能力 满分 10 分 方法一 1 证明 设三边长分别为 abc 22osbcaA bc是有理数 22bca 是有理数 分母 2为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭 性 22c 必为有理数 cosA 是有理数 2 当 1n 时 显然 cosA 是有理数 当 时 2oscs1A 因为 cosA 是有理数 cos2A也是有理数 假设当 k 时 结论成立 即 coskA cos 1 k 均是有理数 当 1n 时 cs1csoinkA 1o s cos 2kAkA 1cs1cosco2kk 解得 s A cosA coskA 1 均是有理数 cosco 1 kAk 是有理数 cos 1 kA 是有理数 即当 n 时 结论成立 综上所述 对于任意正整数 n cosnA 是有理数 方法二 证明 1 由 AB BC AC 为有理数及余弦定理知22cosABC 是有理数 2 用数学归纳法证明 cosnA 和 sinA 都是有理数 当 1n时 由 1 知 co是有理数 从而有 2sin1cosAA 也是有理数 假设当 k 时 sk和 ink 都是有理数 当 1n 时 由 co1cosisnAA si sin s i cos ins coAkkkkAk 及 和归纳假设 知 和 ins1 都是有理数 即当 1k 时 结论成立 综合 可知 对任意正整数 n cosnA 是有理数