国培计划小学数学案例.doc

案例：平行四边形的认识一位老师在执教“平行四边形的认识”时，为了让学生体会平行四边形的不稳定性，课前花了很多时间制作学具。本以为学生的热情会十分高涨，但是在课堂教学中，很多孩子只是象征性地摆弄一下学具就放在一边了，课堂气氛不像老师预想的那样。这一现象引起了这位老师的注意，是什么原因呢?是学具不吸引学生吗?于是他便问一个趴在桌子上的学生：“为什么不动手感受一下?”这个学生回答：“在科学课上我们都已经玩过了，比您这些还多。”一句话惊醒梦中人!于是在后面学习“三角形的认识”时，这位老师改变了设计方案：让学生自己动手设计制作学具，体会三角形的稳定性。这一改变是对学生所学知识的一个提升，学生学习的积极性很高，效果很好。试想如果当时这位老师没有留意学生的课堂状态，让这一有价值的信息溜走，那么将很难找到问题所在。再比如，在课堂上关注、收集学生的错误，也是课堂观察的主要内容。学生的错误，是学生真实想法的体现，通过对学生错误的观察、分析可以为今后更好地解决教学中的重难点提供鲜活的依据。在课堂观察过程中，教师在发现问题之后，可以直接介入，了解问题产生的原因，比如利用小组讨论的时机和学生交换意见；也可以结合课后访谈进一步进行学情分析。案例：厘米的认识下面是一位老师执教“厘米的认识”时在课堂教学过程中发现的错误，这些错误是偶然的还是必然的?如果是必然的，那么这样的错误则是非常有价值的、一定要作为重要的教学资源。事实是怎样的呢?为此，老师进行了课后访谈。在利用直尺进行测量时，部分学生出现了下面的错误。错误一：在测量时，把被测量物体的左端与O刻度线对齐，被测量物体的右端恰好对准10，从。到10共有11个数，所以被测量物体的长度就是11厘米。错误二：在测量时，把被测量物体的左端和1对齐，而不是和。对齐，被测量物体的右端对着11，所以是11厘米。面对学生的错误，教师进行了课后访谈，了解到造成这种情况与学生多年来学习的计数有密不可分的关系。在计数时总是从“1”开始，而不是从“o”开始，所以学生认为在测量时被测量物体的左端应该和1对齐。以计苹果的个数为例： 在计数时，个数与单位之间的关系是一种显性的关系。观察尺子： 尺子上的数“O，1，2，3，4”是显性的，尺子上的竖线是显性的，而1厘米的长度在尺子上却是隐性的，它的长度要借助一对一对的数如。和1，1和2等来体现，它和学生学习计物体的个数有着本质的区别。因此出现这种错误将是必然的，在今后的教学中对于此问题的处理将是课堂教学中重要的组成部分。 作业分析，正确归因 作为学情调研的另一个重要途径是对学生的作业(课堂练习)进行分析，从中发现有价值的信息。作业分析主要包括常态分析和针对性分析。常态分析指在常态教学中发现学生普遍存在的问题进行的分析；针对性的分析主要是教师为了分析学生错误而设计有目的、有针对性的问题，从而进行细致的分析。例如，一位老师在学生学习了“求一个数是另一个数的几倍”后，在学生的作业中发现许多学生都在结果后面加了单位名称“倍”。这种情况很多老师都遇到过，也总是抱怨：“不管怎么说，学生就是记不住!”但是这位老师没有抱怨，而是反思自己的教学：一定是自己的教学出了问题。经过理性分析，发现教学中对于如何让学生体会“倍，表示的是两个数的关系做的不够，于是修改了教学设计，并进行了实施，下面就是修改后的实录。 师：森林运动会上，小猴啦啦队队员的数量是小鹿啦啦队的3倍，请你们用学具摆一摆。 (学生动手摆。) (学生汇报。) 生1：小鹿摆2只，小猴摆6只。生2：小鹿摆3只，小猴摆9只。 师：你们摆的不一样，有没有相同的地方? 生：都是3倍，这种关系是一样的。 师：这里的3到底是一个什么样的数?还是数量吗? 生：不是数量了。通过这样的环节可以看出老师明显突出了“倍”表示的是一种关系，而不是学生以前接触的数量。因此在学生写作业的时候，用“倍”作单位名称的人就很少了。作为老师，每天都要接触学生的作业，而通过这样的方式了解学情简便易行、信息量大，关键是要具备这种意识。有时老师为了了解学生的问题，也会有针对性地设计一些诊断性练习，通过练习发现学生的问题，为今后继续开展教学提供信息。例如，下面就是一位老师在学生学习了两位数乘两位数之后，为了明确学生出错的原因到底在哪儿而设计的四组练习题。这四组练习题特点不同，A组题不需要进位，B组题第一步进位，C组题第二步进位，D组题两步都要进位。这样可以比较清晰地展现出学生在计算的时候，到底在哪儿出错，便于教师正确归因，找到问题，从而为今后调整教学设计提供依据。 案例：立体图形的复习 教学目标： 整理复习立体图形的特征、表面积和体积，利用表面积和体积的知识解决简单的实际问题。 联系所学过的立体图形的知识，形成知识网络，使学生对知识有更深入的理解。 对学生进行解题策略的指导，培养学生灵活应用所学知识解决问题的能力及良好的审题习惯。 基于这样的教学目标，课堂中呈现的是：出示各种立体图形，说出特征，梳理成表格；复习表面积、体积的概念、回忆计算公式及推导过程，将概念和计算方法进行区分；随后进行大量解题训练。 静心思考，不难发现，这位老师仅仅把目光停留在知识与技能的层面，而空间与图形的教学最终应该落实在“发展学生的空间观念”上。空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形 在学习课程标准的基础上，这位老师进行了教学目标的调整： 对立体图形的特征、表面积和体积的知识进行梳理，形成知识网络，利用表面积和体积的知识灵活解决简单的实际问题。通过猜一猜、选一选、想一想等活动，在猜想、判断、说理的过程中，复习图形知识，发展空间观念。通过灵活的练习形式，感受数学与生活的紧密联系，培养对数学的兴趣。这位老师紧紧围绕教学目标，设计了如下的教学活动。 第一个环节 (1)猜一猜：复习图形的特征，发展空间观念。 有3个立体图形分别标有，。从正面观察：它们可能各是什么形体?从左面观察：它可能各是什么形体？从上面观察：判断它们分别是什么形体，并说出各自的特征。（2）选一选：利用特征解决问题，发展空间观念。从下面的8个长方形中选出6个组成长方体。闭眼想一想，这个长方体什么样？（3）想一想：这些立体图形是怎样形成的？发展空是观念。在学生想象的基础上，教师用课件演示将平面图形平移、旋转形成立体图形。 第二个环节 (1)选一选：复习表面积的相关知识，发展空间观念。 (43+42+32)2 6114+662 886(D231435+3143 22 在复习了表面积的概念之后，老师让学生选一选每个算式分别计算的是哪个立体图形的表面积。(在选择、判断、说理的过程中再一次深化对特征的认识。) (2)想一想：每个图形什么样?有多大?(进而引出有关体积的复习。)从上面的案例中可以清晰地看到，教师紧紧围绕“发展学生的空间观念”来安排每一个环节的教学活动，通过由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化，将课程标准中的“空间观念”落实在课堂上。教学目标的改变，使课堂呈现出不同的效果，而目标的改变，源于教师对课程标准的学习，对空间观念的深刻领悟。 教学目标引领教学的方向，教学要使学生获得知识技能，而知识技能的学习过程还要落实在数学思想方法的体会、领悟上，数感的增强、抽象概括能力的提高上，空间观念的发展上深入解读教材 有效教学的根本在于把握数学的本质和了解学生，因此，要想制订适合学生发展的教学目标，就必须从教材和学生人手。 1整体把握知识之间的内在联系。 学生的认知水平是不断完善的，在不同的年龄阶段，认知的水平也是不尽相同的，当然对同一个知识的认知深度也是不同的。因此，在教材编排上一直遵循着同一知识“螺旋式上升”、不同知识“交替式增长”的编排特点，这样在教材上就出现了不同的知识单元。案例：平行四边形的面积 对于知识内容大家都不陌生，关键是如何从中读出学习的过程呢?这只是一幅图片，但编者通过图片告诉我们，应该让学生亲自动手实践，通过自主探索和尝试，发现图形转化的秘密，进而找到图形转化前后的联系，并推导出公式。于是我们就有了这节课的教学目标：通过操作，理解并掌握平行四边形面积公式及推导过程，应用公式解决简单的实际问题；经历动手实践和自主探索的过程，感悟转化与对应的数学思想和方法；体会数学探索带来的乐趣，激发热爱数学的情感。 真正读懂教材的编排线索，读出学习过程，应该从读懂教材上的每一幅图片、每一个对话、每一行文字，甚至每一个标点符号做起。 (2)深入领会教材的编写意图。 课程改革以后，教材发生了很大的变化，制订教学目标要充分考虑教材的变化，深入领会编者意图。案例：因数和倍数 “因数和倍数”是小学数学教材五年级的传统内容。“因数和倍数”的概念以及后面一系列的知识都是以“整除”为前提的，“整除”是这个单元的核心概念。回忆过去的教材，都是先用数学化的定义形式给出整除的概念，然后给出几个例子，指出什么是因数，什么是倍数。而课改后的人教版教材不再以整除概念为基础引出因数与倍数，而是在实际情境中，在直观操作的基础上，借助整除的模式na=b直接引出因数和倍数的概念。 教材为什么会有这样的变化?是不是整除的概念不重要了?直观操作到底有什么意义?这引起了老师的思考。 首先，“整除”的概念是非常抽象的，回想以往的教学，多是从数学概念本身出发，用定义的形式通过逻辑推理来进行讲解，学生表达和叙述很困难，不利于真正理解“因数和倍数”的概念。 其次，教材中安排实际情境：12架飞机列队飞行，引导学生直观操作的目的有以下三个。 因数和倍数是抽象的数学概念，动手操作能激发学生的学习热情，有利于改善学生的学习方式。 因数和倍数是相互依存的概念，共同反映非零自然数之间的关系。摆小飞机每行摆的个数、摆的行数以及飞机总个数三者之间蕴含了这些关系，有助于学生体会整除及因数、倍数概念的含义。 摆小飞机这一活动，学生曾经在二年级上册、三年级下册的学习中进行过，因而会有不同的摆法和思考，从而得出不同的乘法算式，为教学倍数和因数的意义提供丰富的现实素材，也为找因数的教学做了铺垫。 教材这样安排更多的是让学生通过操作体会整除的含义，将抽象的概念具体化、现实化，降低了学生理解和叙述概念的困难。 教师根据对教材变化的认识与分析，决定将“严格的逻辑演绎”的概念揭示变为“在操作活动中建构概念”，从而制订了相应的教学目标。 通过动手操作，认识和理解“倍数和因数”，发现并掌握寻找一个数的因数和倍数的方法及个数特征，体会倍数与因数之间相互依存的关系。 经历“活动建构”、“自主探索”、“对话生成”的过程，发展学生的数感，培养学生思维的有序性。 通过“完美数”、“相亲数”的知识介绍，体会数学的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。 真正读懂教材的变化，理解编者的意图，才能够制订切实反映编者意图的教学目标。 波利亚曾说：“教师讲什么并不重要，学生想什么比这重要一千倍。”我们也常说“学生是课堂的主体”。准确地了解学情，是制订教学目标，实施有效教学的重要依据。 要了解学生的哪些情况呢?学生学习新知识所必需的已有知识与经验基础，具备不具备；对于所要学习的新知识，学生的学习困难在哪里；学生感兴趣的问题是什么；学生喜欢的方式是什么等等。了解学情的方法有问卷调查、访谈、作品分析、课堂观察等。案例：9的乘法口诀教师第一次制订的教学目标如下。知识目标：使学生掌握9的乘法口诀。能力目标：培养学生初步的知识迁移能力。情感目标：使学生体会数学的价值，培养对数学的学习兴趣。教学前，老师对学生进行了前测：写出9的乘法口诀，情况如下表。学生情况分类人数占总数的百分比全写对2556.8全写出来但有小问题(表达不规范)511.4写出大部分(写到六九或七九)1125.O写出少部分36.8 针对学生的实际情况，教师将教学目标调整为： 在初步了解9的乘法口诀的基础上，进一步理解9的乘法口诀并熟记口诀。 通过观察、交流、归纳等方法，发现口诀的规律，能根据发现的规律找到口诀之间的联系。 在寻找9的乘法口诀规律的过程中，感受数学的规律性，获得探索规律的一些方法。 很明显，这一教学目标与第一次相比，更符合学生的认知现状，也更具有针对性，也只有这样的教学目标才能够促进学生的进一步发展。案例：角的度量在教学“角的度量”一课时，教师也进行了学生前测和分析。 关于度量的认识：有9名学生答道“度量就是量角的度数”，另外有2名学生分别答道“用量角器量角”“角的大小的单位”，其余学生均没有写答案。 关于度量工具的认识：有31名学生知道名称，2名学生能说出各部分的作用。 关于度量单位的认识：有21名学生知道角的单位是“度”，但不知道是怎样规定的；还有学生存在一些错误的认识。(1)与角的分类混淆(认为角的单位是锐角、直角、钝角、平角、周角)；(2)与长度单位混淆(认为角的单位是厘米)；(3)与角的各部分名称混淆(认为角的单位是顶点、边)。 关于“你认为量角在生活中有用吗”的问题：大部分学生觉得有用，但无法举例；有的学生写出“量木头的角，要做家具”，有的学生写出”要量书的长短”，等等。关于度量方法：给出了如下4个不同的角，让学生测量。在读刻度时共有1 9人次读错内外圈的刻度，占1319；有22人次没有做到两重合，占1528。 调研结论： 尽管学生学过很多度量的知识，但还不知道什么是度量，缺乏对度量的体验和认识。 对于角的度量在生活中的应用价值缺乏一定的认识。 对于度量的单位还比较陌生，标准的产生还不清楚。 对于度量的方法，有相当一部分学生答案是正确的，主要是基于学生先前的认知经验，但是准确的测量方法还不是十分明确。 根据学生调研呈现的问题，教师设计的教学目标是这样的： 认识量角器、角的度量单位，学会度量角的方法，感受角的度量在生活中的应用。 经历制作量角器和度量单位的产生过程，培养学生的动手实践能力，体会度量的意义。 体会创造和探究的乐趣，发展学生的度量意识，感受所学知识的应用价值、文化价值和进一步学习的价值。后终于弄清了为什么大家会有不同的答案；整个过程中学生的思维不断地受到挑战和冲击，学生积极性很高，确实体现出探究学习的价值。(二)精心设计探究问题是关键 有了适合探究的学习内容，还要有好的探究问题。老师要善于结合教材的学习内容，精心设计问题，激发学生的探究兴趣，引导学生深人探究。 1好的问题要有好的载体。 一个数学问题平平淡淡地抛出，学生会感到索然无味。但是，如果给它赋予一个载体，则会激发学生的探究欲望。那么怎样为数学问题寻找载体呢?依据以往的教学经验，可以从以下几个方面考虑。 (1)利用生活中真实存在的问题。例如，由于圆柱形的易拉罐在生活中大量存在，而这些易拉罐中存在大量的数学信息和知识。因此，在教学圆柱练习时，一位老师经过课前精心的调查和搜集材料，利用易拉罐的相关信息设计了几个和圆柱紧密相关的问题让学生进行探究。 准备一些高约13厘米，底面直径约55厘米的易拉罐，让学生动手测量并计算用料和容积。 出示下面这个形状的包装，并提出问题： 13厘米5.5厘米 a两个包装各有什么特点?猜一猜，它们有什么相同点?有什么不同点? b从商家角度考虑，讨论到底哪个更合算。 c这两种不同形状的包装在实际生活中各有什么用途呢? 以上几个问题是整堂课学生探究的线索。这几个问题都和生活实际紧密结合，是生活中真实存在的问题，有利于激发学生探究的欲望，使学生在探究中有所发现。特别是通过对两种不同形状的包装的对比，学生发现：细长的包装，虽然不合算，但是便于饮用；矮粗的包装合算，但是不适合盛饮料，更适合盛固体食品，便于取出。通过这样一系列问题的探究，学生体会到原来易拉罐中也隐藏着这么多的数学知识，同时也感受到数学和生活实际紧密结合。 案例：用字母表示数 师：同学们喜欢看魔术表演吗?今天老师给大家带来了一个神奇的魔盒，我们就利，用这个魔盒变一个魔术，看谁能最先发现魔盒的秘密。魔术怎么变呢?从左侧往魔盒里输入一个数，经过魔盒加工，从它的右侧就能输出另一个数。为了便于观察和思考，一边变魔术一边做记录。 老师先变一次：输入2，输出12。请学生说一个两位数。(如：输入23，输出33)再变一次，请学生再说一个数(如：输入58)，请学生猜猜输出的数会是多少，悄悄地把它写在记录单上。 学生探究：输入的数在不断地变化，和它相对应的输出的数也在不断地变化，但是这个过程是随意变的吗?什么永远不变?这样具体的数字永远也写不完，我们能不能用一种简明概括的方法把所有输入的数都表示出来，同时表示出和它相对应的输出的数?如果你有了想法，请写在纸上。 探究活动一定要给学生提供充分的时间和空间，这是课程标准的要求。在这样理念的指导下，很多老师为学生提供了充分的时间和空间，但是却没有收到实效。下面就是一个典型的案例。案例：圆的周长在教学圆的周长时，教材中给出表格，让学生通过填写表格，发现周长和直径的关系。物品名称周长直径周长直径（保留两位小数）的比值 当时我想，这样的设计学生只不过在完成表格，空间太小，很难体现出探究的过程。于是，在我的教学设计中，把表格扔掉了，直接提出问题：请你们测量圆的周长和直径，看看你们能发现什么关系?实际情况如何呢?可想而知，探究过程以失败告终。学生在动手测量的基础上又进行了热烈的讨论，可是很少有学生想到用周长除以直径找关系。最后我只得告诉学生用周长除以直径看一看，结果学生比较顺利地发现了关系。通过这个案例可以看出给予学生的时间和空间不能过大，设计适当的时间和空间才更有利于学生的探究学习。一、实施策略(一)选择适合且需要的内容是合作学习的基础 什么样的内容适合安排合作学习呢?这个问题是每一位教师在进行教学设计时首先要明晰的。我们首先看一个关于用数对表示位置的案例。 案例：“我一个人就能做好了!” 在师生共同学习了用数对表示位置后，教师安排了如下的小组合作活动。 给小动物找家：小猫的家在(3，2)，小狗的家在(1，1)，小兔的家在(4，3)，小鸟的家在(2，5)，小鸡的家在(3，4)。 合作要求： 小组分工，每人选择一个自己喜欢的小动物图片。 小组合作，按要求把图片贴到相应的位置上。 在合作过程中，老师发现一个小男孩自己把小组内的所有图片很快就放好了，便问：“你们小组为什么不分工合作呢?”这个孩子回答说：“我一个人就能做好了!” 学生为什么不愿意合作?这是我们要思考的重要问题，它直接关系到合作学习的实效性。在实际课堂教学中确实发现，很多时候的小组合作学习是教师强加上去的，显得十分牵强。特别是有些内容很容易，还要花费时间合作学习，显然价值不大。有效合作学习的前提是一定要有适合合作学习的内容，一定要促使学生产生想要和别人交流自己想法的动机，这就需要教师的问题设计为激发学生的合作动机做好孕伏。“我一个人就能做好了”这句话背后蕴含的意思是学习内容太简单，根本没有合作的必要。那么到底哪些内容适合合作学习呢?北京师范大学的周玉仁教授和北京小学的于萍老师对此提出了自己的见解，可供借鉴。 1解决方法和结果开放的学习内容。 案例：搭配例如在“搭配”一课中，有这样一个问题：用分别写着“1，2，3”的三张卡片可以组成多少个不同的两位数?对学生而言，得到正确的结果并不困难，但正确结果的背后却蕴藏着很多有价值的思维过程，而小组合作交流可以为这些思维过程的展现搭建必要的平台，因此适合安排小组合作学习。我们来看实际的课堂教学情况。 有的学生先找十位是1的两位数，再找十位是2的两位数，最后找十位是3的两位数(如图1)。有的学生先用“1”并口“2”组成不同的两位数，再用“1”和“3”组合，最后用“2”和“3”组合(如图2)。还有的学生用连线的方式，每两张数字卡片都能组成两个不同的两位数，因此23=6(如图3)。 这些不同的方法体现了学生不同的思维过程。在小组合作学习中，这些不同方法的展示可以使学生产生思维的碰撞，拓宽学生的思路，培养学生表达与倾听的习惯，更为今后的学习树立了信心。 再比如在学习长、正方体认识时，一位老师设计了这样一个问题：把一个正方体切一刀，截面是什么形状，并进行了两次授课尝试： 第一次：提出问题，学生直接回答。 生1：正方形。 生2：长方形。 生3：三角形。 学生一共回答出三种情况，而且回答是零散的。 第二次：提出问题后，请学生借助学具。小组合作完成。 组1：经过研究，我们发现可以出现正方形、长方形和三角形。 组2：他们发现的我们也都发现了，而且我们还发现可以出现梯形，请大家看，这样切 两次尝试效果迥异。第一次，个别学生回答问题，大多数学生根据别人的发言思考切的方法，并没有对问题进行深入研究；同时每个学生说出一种答案，学生的思维也处于零散的状态。第二次，每个学生都积极参与到活动中，他们在动手操作的过程中，深入研究，得出正确的结论，每个人的空间观念都得到了发展。可见，这样的内容适合安排合作学习。 2具有探究性和挑战性的学习内容。例如，于萍老师在教学多边形面积这一单元时，设计了一个问题：在一块平行四边形的菜地中，挖了一个长方形水池(位置不确定)，请你用一条直线，将菜地与水池同时平均分成两份。 这个问题对于学生来说具有极高的挑战性。在实际课堂教学中，问题抛出的第一时间没有一个学生能够回答，但学生“左顾右盼”的眼神让老师了解了学生们的心思。于是，于老师给每个小组提供了一份研究材料，让学生在小组交流中尝试、讨论、寻求答案。安静的教室一下子热闹了起来。 “量一量每条边的长度，再找中心点。” “分一个还行，可现在是两个图形，也不能找到同一条直线呀。” “老师给咱们的这个图，水池也太偏了，要是在中间就好了。” “我只会分平行四边形，可水池怎么办?” “你说说平行四边形可以怎么分?” “那多了，连对角线，只要是过中心点的直线都行。” “咦，那长方形不也有中心点嘛!” 这是一位老师在教学平行四边形面积时的一个教学片断。 师：我们刚才用数方格的方法知道了这个平行四边形的面积是20厘米2。那么如果有一个很大很大的平行四边形还可以用数方格的方法吗? 生：不能。 师：怎么办呢? 生：像长、正方形一样有面积公式就行了! 师：很好!接下来我们就小组合作推导平行四边形的面积公式。 出示小组合作提纲： (1)沿着平行四边形画好的高剪开，平移到另一端，拼成一个长方形。 (2)仔细观察长方形的宽和平行四边形的高有什么关系，长和底有什么关系。 (3)小组交流平行四边形的面积公式。 (学生开始按照老师的要求进行合作。) 在合作的过程中，我悄悄问旁边的一个学生：“还可以怎么剪?”这个学生说：“老师规定了，不用想其他的。” 接下来是汇报的过程，所有的小组都按照老师的要求解决了问题，这个过程很顺利，没有学生提问，也没有学生汇报老师规定之外的。 这样的过程表面看一帆风顺，很高效。然而小组合作学习的一个重要任务就是培养学生的创新精神，我们渴望在合作学习的过程中看到学生的个性，而并不是一味的共性。这个案例，老师给学生的合作要求非常具体，但空间太小，虽然保证了教学过程始终不离开教师的预设轨道，但是出现了“老师规定了，不用想其他的”这一现象。 因此关于合作学习的设计要求我们提出规定动作和自选动作相结合的策略。规定动作指要在合作学习的要求中，给学生明确合作解决问题的方向和基本要求，保证研究任务的落实；自选动作指要给学生充分的时间和空间，让他们在这个空间内展现自己的智慧，延伸对问题的探究，这是合作学习的重要任务。上面的合作要求可以调整如下： 1想一想，把平行四边形怎样剪就能拼成长方形?然后动手做一做。 2长方形和平行四边形有什么关系?说一说平行四边形的面积计算公式是什么。 可以发现，学生按照修改后的合作要求学习的时候，不但知道自己要做什么、解决什么问题，而且有足够的空间去发挥，可以展现不同的水平和个性。 案例：除数是小数的小数除法例如，一位老师在教学“除数是小数的小数除法”时，根据教材要求设计了小组合作要求。 (1)先独立列竖式计算7.650.85。 (2)小组交流除数是小数的小数除法的计算方法。 这样的设计突出了对于算法的掌握，但是忽略了对于算理的理解。再教这个内容时这位老师进行了学情调研，发现学生出现的很多错误源于对于算理的不理解。特别是7.650.85的被除数和除数的小数位数相同，很容易使学生认为是同时把被除数和除数的小数点去掉。为此进行了如下调整：首先创设情境： 学生根据情境提出谁打电话时间长的问题，并列出两个除法算式：8.54O.7=，457.2= 这时老师提出合作要求： (1)想一想可以怎样计算8.540.7，自己试一试。 (2)小组交流各自的方法。 这样的设计关注了学生的问题，学生可以采用多种方法解决这个问题。在小组交流的基础上，学生不但明确了算法，而且明白了算理。案例：长、正方体的认识一位教师关于“长、正方体的认识”的教学设计的框架摘录如下：1复习平面图形引入新课。2利用平面图形研究方法研究长方体的特征。 (1)小组合作研面的特征。 (2)小组合作研究棱的特征。 (3)小组合作研究顶点的特征。 (4)小组讨论总结概括长方体的特征。 3小组合作研究正方体的特征。 在教学设计的练习中教师安排了一次小组合作学习探讨棱长和的计算方法。 从这个设计中可以看到老师已经关注到小组合作学习这种方式，意识到研究长、正方体的特征适合采用小组合作学习的方式。但是这个设计中，老师在短短的40分钟内安排的大大小小的合作学习有5次，可以预想每次的合作时间会很短暂，合作的效果也就可想而知了。为了进一步了解老师的设计意图，我找到这位老师问道：“在您的设计中采取了小组合作研究的方式，很好!您为什么安排那么多次呢?”这位老师的回答非常诚恳：“我觉得合作学习不是很流行吗!有人来听课，自然要体现新的理念了。”我想在实际教学中有这样想法的老师不在少数。这样的想法表明，老师们对于合作学习的认识还仅仅停留在“大势所趋，我不得不这样”的层面。基于上面的问题，我们提出了合作数量和质量相结合的策略。在设计时要考虑合作学习在一节课中安排的数量，一般来说在一节课中有明确学习任务的合作学习的次数以12次为宜，安排过多就会时间紧张，影响合作学习效果和整节课教学效果的落实。有效的合作学习一定要给学生提供充分的合作和互动交流的时间。另外，任何合作学习一定要建立在学生独立思考的基础上，这样才能保证合作的深度，没有经过独立思考的学习活动往往是低效的或无效的。这些都是设计时要考虑的问题，是合作学习质量的重要保证。案例：自行车里的教学问题下面是人教版六年级下册的实践活动“自行车里的教学问题”的简要课堂实录。 师：前齿轮有48和40个齿两种情况，后齿轮有28，24，20，18，16，14个齿6种情况。那么前后齿轮搭配能变化出多少种不同速度呢? 生：根据我们前面学习的搭配知识应是2X6=2(种)。 师：你们都同意吗? 生齐答：同意! 这时一名同学高高地举手并大声说：不同意，12种肯定不对! 教室一下安静下来，老师也略带迟疑地说：那你觉得应是几种呢? 生：有的比值相同应该算一种，结果我还没算出来。 在这个学生的提示下，有小部分学生小声嘀咕：好像是! 师：那我们看看书吧!教材中给出的答案也是12种，咱们回去再好好想想。 这个学生显得有些不满意，然后老师继续往下进行教学! 多么令人惊喜的发现!教材中12种这个答案确实是错误的。然而一个伟大的发现就这样被老师轻描淡写地擦掉了。我们暂且不去关注教材是否严谨，当学生之间出现争议，此时是安排合作学习的良好时机。还是听一听这位老师的想法吧：我确实感到这个同学说的有道理，可是教材是这样的，另外在我的设计中根本就没有想到学生会提出这样的问题，因此当时就想赶紧进行下去，下课再好好琢磨一下。这位老师的想法也许具有一定的代表性，我们不能说是错误的，确实遇到这种生成的情况很难处理。但是需要提示的是，当学生产生争议时，安排小组合作学习是很好的时机，不应该紧紧抓住原来的教学设计不放。下面这个案例中教师就很好地利用了学生的分歧，即时安排合作学习收到了很好的教学效果。案例：除数是一位数的除法教学“除数是一位数的除法”时，商中间有0的情况是学生学习的难点所在一些学生在掌握了基本的计算方法后，较长的一段时间中都不能很准确地判定商中间何时有。出现，计算中“凭感觉”的现象时有发生。于是教师引导学生围绕“什么情况下商中间会有o(以三位数除以一位数为例)出现”展开了探究。由于学生在此之前已经学习了除数是一位数的除法，也做了一定的练习，其中不乏商中间有。的情况，因此对这个问题每人都会有些自己的想法或猜测。教学中，教师没有急于揭示结论，而是让学生说说自己的想法，并试着编一道题来证实自己的结论。 开始“被除数中间有0，商中间就有0”的观点明显占据上风，而且还有很多实例可以“验证”。但很快，不同的声音出现了“咦?被除数中间有0啊”“被除数的中间没有0呀”怎么商的中间却没有?”商的中间竟然出现了O?” 此时教师即时安排小组合作学习，为学生提供了调动旧经验思考新问题的机会；提供了思维碰撞的机会；提供了质疑自我的机会；提供了豁然开朗的机会；提供了接纳不同想法的机会接下来的研究让学生们逐渐接近“真理”，在寻求“真理”的过程中，“小组交流”功不可没。 案例：1120各数的认识在学习“1120各数的认识”时，老师让学生数出11根小棒，学生的摆法如下：(1)11个单根：(2)2个5根和1个单根： (3)5个2根和1个单根： (4)3个3根和2个1根： (5)一捆和一个单根师：哪种摆法能让大家一眼就能看出来是11根呢？ 案例：宝物一定在圆上吗? 师：小明参加寻宝活动，寻宝图上这样写着：宝物距你的左脚3米。孩子们，你们知道宝物在哪里吗? (学生拿出直尺，在纸上画出宝物的位置。学生以小明的左脚为起点，分别用尺子向左面、右面、上面、下面量出3厘米的长度，并点上点。) 师：是这样吗，孩子们? 生：不是，不止这四个位置，还有许多，只要是距离左脚3米的地方都可以，这是一个圆。 师：为什么是圆呢?这是怎样的一个圆呢? 生：圆上所有的点距左脚(圆心)的距离都是3米，也就是半径是3米。 这时学生对“宝物应该在以小明的左脚为圆心，半径为3米的圆上”这个答案深信不疑。没想到老师接着追问：“孩子们，一定吗?想一想。” (课件出示半个西瓜，学生恍然大悟。) 生：在“小明脚底下3米的地方”。 师：只是这里吗? (课件出示球。) 生：以小明左脚为中心，半径为3米的球上。 师：圆和球有什么不同? 生：圆是平面的，球是立体的。 本案例中，华应龙老师紧紧抓住“圆，一中同长也”让学生展开讨论，从最初的上、下、左、右四个位置扩展到以小明的左脚为圆心、半径为3米的圆上。似乎到此，已经就完成了教学目标。然而，令我们想不到的是，华老师却在这个无疑处进行了追问：“宝物应该在以小明的左脚为圆心、半径为3米的圆上。孩子们，一定吗?想一想。”这个问题，不仅激发了学生的求知欲望，也使学生产生了认知冲突，还会有其他的地方吗?不太可能。当老师提出可以从三维空间的角度考虑问题时，拓宽了学生思考问题的角度，完善了学生的认知结构。追问，作为一种策略，在数学课堂上经常为教师所运用，它是前次提问基础上的延伸和拓展。于无疑处追问，是教师引导作用的具体体现，更是学生数学思维发展的根基。它追求的是学生思维的深度和广度，对培养学生思维的深刻性敏捷性有着不可忽视的作用。2、透过现像看本质。 案例：商不变的性质适用于有余数除法吗，7 课堂上通过猴王分桃子的故事，引发了学生对除法算式中被除数、除数变化规律的探讨，并运用不完全归纳法得出了商不变的性质：被除数、除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商不变。 在课结束时，老师出示了这样的实际问题：花果山举办联欢会，猴王把11千克水果分给了第一组的2只小猴子，把44千克水果分给了第二组的8只小猴子，把22千克水果分给了第三组的4只小猴子。你觉得哪一组平均每只小猴子分到的水果多呢? 学生列出的算式如下： (1)112=(2)448=(3)224= 生1：通过观察，这三个组每只猴子分到的水果同样多。因为这三个算式之间是有联系的，第二个算式和第一个算式相比，是被除数和除数同时乘4；第三个算式和第一个算式相比，是被除数和除数同时乘2，所以根据商不变的性质我认为三个组每只猴子分到水果是同样多的。 师：哪些人同意他的看法?真的是这样吗? 生2：我对每个组每只猴子得到的水果数进行了计算，结果却不能用商不变的性质来解决。 (1)112=5(千克)1(千克) (2)448=5(千克)4(千克) (3)224=5(千克)2(千克) 每人得到的都是5千克，符合商不变的性质，可是余数都不一样，能说是全部符合商不变的性质吗? 师：大家讨论一下，商不变的性质适合有余数除法吗? 生3：商都是5，余数不一样，不能比较。 生4：我们只看算式，符合商不变的性质就行了，至于余数可以忽略不计。 生5：我们小组刚刚算过，虽然他们的余数不一样，但是1千克平均分给2只猴子，与4千克平均分给8只猴子、2千克平均分给4只猴子，结果是一样的。每只猴子得到的都是0.5千克。所以三个组每只猴子得到的是同样多的。 生6：我们也同意他们组的看法，不过我们组没有计算，我们是通过观察也得到了同样的结论。大家看，第一组的余数是1千克，第二组的被除数和除数与第二组的被除数和除数与第一组比较是同时乘2，余数也乘2。 （1）122=5(千克)1(千克) (1)112=5(千克)1(千克)（2）448=5(千克)4(千克) (3)224=5(千克)2(千克) 师：通过刚才的讨论，大家达成了共识：商不变的性质同样适用于有余数除法，只不过被除数、除数和余数同时乘或除以的数必须是相同的，这样商肯定不变f 师：送样一个小题目让我们对商不变的性质有了更深的认识。刚才我们是怎样得出新的认识的? 生：刚才有的组用观察法，有的组有计算的方法，有的组用找规律的方法得出了新的认识。 师：其实，学习就是探讨的过程，就是获得方法的过程，也是透过现象看本质的过程。 追问的价值在于探明学生的思维状态，促进学生思维能力的提升。本例中的教师提供给学生充分思考和表达的空间，对学生习以为常的答案(无疑处)及时进行追问，从而引领和提升了学生解决问题的思维策略，扩展了学生的认知结构。(三)于问题解决中追问，凸显数学思想方法1操作与思考是一对孪生姐妹。案例：摆图形，找规律 (1)让学生用小棒摆2个正方形。学生独立拼摆，教师采样，找出不同的拼摆方法并展示(如图1，图2)。(2)引导学生比较两种不同的拼摆方法，思考为什么图1用了8根小棒，而图2只用了7根小棒。教师引导学生认识到，图2少用1根小棒，是因为中间的1根小棒既是第一个正方形的一条边，也是第二个正方形的一条边。(3)让学生按图2的方式摆出3，4，5个正方形，分别数一数需要多少根小棒。 (4)教师引导学生思考“怎样使信息更加一目了然”，并引出列表法。 师：请你把刚才的研究结果记录在下表中，并说一说你是怎样知道摆7个这样的正方形需要多少根小棒的。小正方形个数12337小棒的根数 生：我是用小棒摆出来的，共用了22根小棒。 师：这种实际操作的方法，确实能让我们知道答案的正确与否。摆出图形后，你们都是一根一根地数吗?请把你们的计算方法同桌交流后写出来。 学生列的算式如下： 4+36=22(根)； 37+1=22(根)； 47-6=22(根)。 师：说一说这样计算的理由。 列出算式的学生运用了分类的思想，他们通过观察把这7个正方形实际上分成了两类：一类是需要4根小棒的，有1个；另一类是需要3根小棒的，有6个。算式是36+422(根)。 列出算式和的学生运用了假设的思想。一种是假设7个正方形全是3根，再加上最前边多的1根，即37+1=22(根)；另一种是假设一个正方形是4根，再减去中间重复的6根，即47-6=22(根)。 该案例最能说明的是：操作与思考是一对孪生姐妹。另外，在以上片断中还渗透了数形结合、列表、递推等思想方法。 作为教师，要善于在问题解决的过程中进行追问，让学生的操作成为他们思考的感性支撑，挖掘学生操作背后的思考以及他们的认知水平，在此基础上使他们的直觉感知上升到理性认识，学会有条理地表达自己操作后的思考，并在与同伴交流中分享思考的快乐，体会数学思想方法。不同方法背后有不同的思想。案例：平行四边形的面积片断一师：今天我们来学习平行四边形面积的计算。生：老师，我知道!(一个学生率先举手。)生：老师，我也知道!(又有八九个学生紧随其后并嚷起来，课堂上显得有些热闹。) (老师有些慌乱，但很快调整了自己的状态，面带微笑与学生商量。) 师：同学们真聪明，有什么想法我们等会儿再交流行吗? (经老师一商量，举手的学生都放下了自己的小手，老师也如愿有条不紊地按照原计划进行了后面的教学。) 片断二 师：今天来学习平行四边形面积的计算。 生：老师，我知道! (一个学生率先举手。) 师：你想说什么? 生1：老师，我知道平行四边形的面积一底高。 生2：我知道平行四边形的面积公式是把一个平行四边形沿着高剪开，拼成一个长方形后推导出来的。 生3：老师，长方形面积可以用长乘宽，平行四边形的面积为什么不能用底边乘邻边呢? (老师把刚才学生中有价值的问题在黑板上进行整理后，引导大家思考。) 师：同学们真善于发现和思考问题，其实这些问题我们只要亲自动手试一试，就能悟出其中的为什么，找到你所需的答案。 (之后，师生带着问题共同参与到探索、验证的活动中去。) 两位教师面对学生的“越位”，表现出了截然不同的态度。前者是敬而远之，回避了教师预设被打乱的“风险”：经过与学生“协商”，把可能出现的问题消灭在萌芽状态，使师生始终走在了一条教师预设的一路畅通的学习路上。这种做法看似“拨正”了学生思维的方向，实则挫伤了学生的热情和自主学习的积极性。后者则直面学生意外的“越位”，将学生思维引向深入：教师虽然不清楚学生想说什么、会说什么，但教师敢于让结论性知识的“成果”在集体探究前就被“先知”的学生一语道破“天机”，这是因为教师心中不仅仅只有自己已然十分顺畅的教学设计，更在思想上真正顾及了学生多方面的成长，敢于通过意外分享师生彼此的见解和知识，满足学生交流与表达的需求。与此同时，教师在尊重学生课堂对话权利和自由的基础上，还更加注意借助几个学生的“越位”，引发更多学生的好奇心，激起学生的热情和自主学习的积极性。教师此时提出的亲自动手探索验证，不是“指令性”的建议，而是顺应了学生思维的方向，鼓励学生主动地投入到对问题更深层次的探讨中，让意外具有了“互动性”与“互惠性”的功能。案例：分数的基本性质片断一教师首先通过课件演示给学生出示了一道题目：用分数表示涂色部分。 师：根据上面的过程，你能得到一组相等的分数吗？ 生： 师：你们有没有发现其中的规律? 生：发现了。 师：请大家再写出几个和这3个分数大小相等的分数，把你们发现的规律用算式表示出来。 生1：我发现的规律是，分子每次都加3，分母每次都加4。 生2：不一定分子每次都加3，分母每次都加4，只要是分母和分子都各加它们自己就行。比如到，就是分子加6，分母加8。 生3：也不一定是分母和分子都各加它们自己，加它们的倍数也可以。比如到，就是分子加3个3，分母加3个4。 (面对这些意外“生成”，教师一时间感觉有些茫然。) 师：你们发现了分子、分母同时加上数的规律，不错!还有其他发现吗?比如分子与分母同时乘或除以一个数的规律? (学生按照教师引导的“乘或除以”的思维模式总结出了“分数的基本性质”。) 片断二 (学生同样经历了片断一中发现相等的分数，写出几个和这个分数大小相等的分数，并把发现的规律用算式表示出来的过程，然后进行全班交流。) 生1：我发现的规律是，分子每次都加3，分母每次都加4。 (教师按照她的回答，把改写成。)师：那是怎样通过分子每次都加3，分母每次都加4得到的?生1：（教师进一步往下写，学生齐喊：老师，这太麻烦了）生2：我是把分子和分母都乘同一个数，如，我把分子3乘2，分母4乘2，这样也可以得到。就是把的分子和分母都乘4。（教师在黑板上写上了学生的第二种发现。）师：想想看，这两种发现之间有没有关系？生3：就是的分子和分母都乘2。就是把的分子和分母都乘4。生4：乘法就是加法的简便运算。 案例：生活中的负数 教师呈现信息：(1)某场足球比赛，中国国家队上半场进了2个球，下半场丢了2个球。(2)学校四年级共转来25名新同学，五年级转走了10名同学。(3)张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。 师：选择自己喜欢的方式把得到的数据信息准确地记录下来，关键是让别人一眼就能看明白。(学生独立填表，教师巡视收集信息。)师：这样记录，大家有什么看法?(在投影上展示第一种情况。)足球比赛转学情况账目结算上半场2个四年级25人三月份6000元下半场2个五年级10人四月份2000元 生1：这样记录不能让别人看出是进2个球还是丢2个球。 师：都是2个球，但一种是进球，一种是丢球，意思正好怎么样?(同时借助手势让学生感悟进球和丢球是相反的意义)转来和转走的意思呢?赚和亏呢?仅仅羽我们学过的数，还能区分这些意义相反的量吗? 生：不能。 师：这种方法怎么样?意思清楚不清楚?还有谁是这么想的?(投影展示第二种情况。)足球比赛转学情况账目结算上半场进2个四年级转来25人三月份进6000元下半场丢2个五年级走了10人四月份亏2000元 师：快说说你怎么画了这么多符号?生2：我用箭头表示一出一进；转进来，给对勾，转出去，给叉子；张阿姨赚6000元心里肯定特别高兴，所以我用了一个笑脸来表示，而亏了2000元就用哭脸，表示她心里很难过。(其他学生发出会心的笑。)足球比赛转学情况账目结算上半场2个四年级25人三月份6000元下半场2个五年级X10人四月份2000元 师：看得出来，大家很欣赏这种方法。像这样用符号表示的方法还有吗? (老师随即展示其他学生使用的不同符号。) 师：同学们的想法都很有创意。可不知同学们想过没有，你用的符号你明白，他用的符号他明白。但是，数学符号是数学的语言，是帮助我们相互交流的，怎样才能让大家都明白呢? 生1：需要找到一种大家都能看懂的符号。 生2：需要找到一种统一的形式。(师投影展示第四种情况。)足球比赛转学情况账目结算上半场+2个四年级+25人三月份+6000元下半场-2个五年级-10人四月份-2000元师：这是哪位同学记录的？快说说你的想法。随后，教师引导学生分析这种表示法的特点和好处，并提示正负数的概念、读法与写法以及省略正号的现象。案例：是“5厘米”还是“6厘米”师：这是一条红色的彩带，看看它的生长是几厘米。生（抢答）：5厘米。（此时教师沉默，不作回应）生（部分）：6厘米。（这时学生之间有了争论） 师：现在有人认为是5厘米，也有人认为是6厘米，出现了两种意见。最后钧答案当然只有一个，不可能既是5厘米又是6厘米，你觉得是几厘米，为什么? (教师抓住学生的不同观点，为认知冲突添加“作料”，使研究的问题更明确。)生1：我觉得是6厘米，因为从l到5就是5个数了，再加上0，就是6个数。所以是6厘米。 生2：我觉得是5厘米，因为我数的是格子，不是数。