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知识点总结高等数学2第六章 空间解析几何与应用、重点向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； 数量积（是个数）、向量积（是个向量）；几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点向量积（方向）、混合积（计算）；掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； 空间曲线在坐标面上的投影；特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） 平面方程的几种表示方式之间的转化； 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F或a、r、v、F；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a / b. 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.共面向量： 设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过p的夹1/39角称为向量a与b的夹角, 记作(a, b)或(b, a). 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.；向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b,即c=a+b .:平行四边形法则: 向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的加法的运算规律: (1)交换律a+b=b+a; (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).负向量: 设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 向量的减法: 把向量a与b移到同一起点O, 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b-a .向量与数的乘法： 向量a与实数l的乘积记作规定la是一个向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向当l0时与a相同, 当l0); x3+y3-3axy=0,(a0).23解:x=ty=t1411令x=acosq,代入方程x2+y2=a211122124得y2=a2-acosq=a2sinq,y=asinq4x=acosq. 参数方程为4y=asinq33令y=tx,代入方程x+y-3axy=0得(1+tx23)x3-3atx32=0(1+t)x-3at=03at3x=0或x=14/39当x=0时,y=0;当x=3at1+t3时,y=3at1+t233atx=31+t故参数方程为. 23aty=31+t(四)空间的曲线与曲面方程及投影例15、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)C222=z =z亦即(x-4)+y+z(x-4)+y22=0由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x-4)2+y2=0求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解：平面过点为（3,0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为n=(3,-7,5),再由平面方程的点法式方程知所求方程为：3x-7y+5z-4=0（2）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知n=ab=(1,1,-3)，在由点法式方程知所求平面为：1(x-1)+1(y-1)-3(z+1)=0。江西科技学院公教部方玲玲编撰 1919/39（3）、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y轴，所以可以用z轴上的单位向量（0,1,0）为法向量，再由点法式方程知所求平面为：y+5=0（4）、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因为平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量NM=（1,1，9）,由因为所求平面平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=（1,0,0），从而n=MNI=(0,9,-1),再由点法式方程知所求平面方程为：9y-z-2=0x-2y+4z-7=0（5）、求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.3x+5y-2z+1=0解：直线x-2y+4z-7=03x+5y-2z+1=0的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以v=(1,-2,4)(3,5,-2)=(-16,14,11)，在由平面的点法式方程知所求平面为：16x-14y-11z-65=0！”第七章微分方程第一节微分方程的基本概念:微分方程概念:表示未知函数，未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程叫做微分方程微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶满足微分方程的函数(把函数带入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解(1)通解如果微方程的解中含有任意常数，且任任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解(2)初始条件用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件，(3)确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解(4)初值问题求微分方程满足初始方程条件的解的问题称为初值问题一、基本概念1.微分方程。2.微分方程的解。3.微分方程的解、通解、特解。 4.初始条件、初值问题。 5.微分方程的积分曲线。二、一阶微分方程的解法 1. 可分离变量的方程： 可化为g(y)dy = f(x)dx 解法 g( y )dy = f ( x )dx 2. 齐次方程： dy y 可化为 = f ( ) dx xy 解法: 设 u = xx 解法: 设 u = ydx x = f( ) dy y3. 一阶线性微分方程dy + p( x ) y = q( x ) dxdx + p( y ) x = q( y ) dyy + p( x ) y = q( x )（1）通解为 y = e （2）常数变异法 （3）积分因子法- p ( x ) dx p( x )dxdx + C q( x )e4. 伯努利(Bernoulli)方程dy + P ( x ) y = Q( x ) y n ( n 0,1) dx 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程.当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.令z = y1- n ,化为一阶线性微分方程.三、可降阶的高阶微分方程1. y ( n ) = f ( x )2. 不显含x型的. 3. 不显含y型的.四、高阶线性微分方程 1. 解的结构y ( n ) + p1 ( x ) y ( n-1) +L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = 0(1)y ( n ) + p1 ( x ) y ( n-1) +L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = f ( x ) ( 2)定理1 如果函数 y1 ( x )与 y2 ( x )是方程(1)的两个解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2 也是(1)的解.（C1 , C2 是常数）y( n) p1 ( x ) y( n-1) pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = 0(1)y ( n ) + p1 ( x ) y ( n-1) +L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = f ( x ) ( 2)定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。y ( n ) + p1 ( x ) y ( n-1) +L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = f1 ( x ) ( 3) y( n)+ p1 ( x ) y( n-1)+L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = f 2 ( x ) (4)定理4 设 y1 , y2 分别是方程(3)与(4)的特解,* * y1 + y2 是方程 则y ( n ) + p1 ( x ) y ( n-1) +L+ pn-1 ( x ) y + pn ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x )的特解。定理2：若 y1 ( x )与 y2 ( x )是方程y + p( x ) y + q( x ) y = 0 (1) 的两个线性无关的特解, 则 y = C1 y1 + C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数非齐次线性微分方程例题1dydx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：dyy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+cy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1特解为y= ex2.2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dyy2dy=-1x+1dx两边积分: -1y=-ln|x+1|+ln|c| y=1ln|c(x+1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=1ln|c(x+1)|dy1+y23dx=xy+x3y解：原方程为：dydx=1+y21yx+x31+y21ydy=x+x3dx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： 1-yx+1ydy=-xdx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解证明方程xdyydx=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x2y2)dx=xdy2） xdy2+x2 y2ydx=2-x2y2证明： 令xy=u,则xdydudx+y=dx则dy1duudx=xdx-x2，有： xduudx=f(u)+1 1u(f(u)+1)du=1xdx所以原方程可化为变量分离方程。设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x ) + f ( x ) - f ( x ) = 0 证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0，则f(x)在该两点之间恒为零。设x1 , x2使f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0f ( x ) + f ( x ) - f ( x ) = 0 ( x1 x 0时有极值，且A0时是极小值；（2）AC-B0时无极值；（3）AC-B=0时需另作讨论。 222条件极值，拉格朗日乘数法：要找函数z=f(x,y)在附加条件j(x,y)=0下可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+lj(x,y)，其中l为参数，求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程j(x,y)=0联立起来：fx+ljx=0fx+ljx=0j(x,y)=0 函数u=f(x,y,z,t)，附加：j(x,y,z,t)=0，f(x,y,z,t)=0可作拉格朗日函数：L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+lj(x,y,z,t)+mf(x,y,z,t)例题全微分：dz=zzdx+dy xy2例题讲解：求函数z=xlny+sin2xy+y的全微分z=lny+2ycos2xy x1/5zx=+2xcos2xy+2y yy则dz=zzxdx+dy=lny+2ycos2xydx+2xcos2xy+2ydy xyy复合函数求偏导zx2z例题一：设z=f(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求、. xxyy2设u=x2,v=xuv1,则=f1=2x,=f2= yxxy所以z1=2xf1+f2 xy12zz()=(2xf1+f2) =yxyyxy=0f1+2x(0f11-x11xf)-f+(0f-f) 1222122222yyyy2x21x =-2f12-2f2-3f22 yyyy例题二： 设z=x3f(xy,),(f具有二阶连续偏导数)，x 22zzz ,.2yyxyz142 3=x(fx+f)1212 yx2 422111221225311122253 =xf+2xf+xf,111222 2y3442z2z(=4xf+xfy+f()+2xf xf111122xf)21+2=xx yxyxy2 +xfy+f()21222x 34121122=xf+xf,z11
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