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2010学年高三第一次摸底考试模拟卷 2010.12一、 填空题（本大题满分56分，共14题，每个空格4分）1、函数的最小正周期_2、集合，则_3、已知，则_.4、已知函数，则_.5、抛物线的焦点坐标为_.6、已知数列的前n项和，则数列的通项公式_7、方程的解 开始结束是否输出8、椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为_.9、已知，且，则的最大值是_.10、如图是一程序框图，其输出结果是_.11、已知，若，则.12、已知数列是等比数列，其前项和为，若，则_.13、已知时，集合有且只有1个整数，则a的取值范围_.DCABE14、中，AB=4，AC=8，延长CB到D，使BA=BD，当点E在线段AB上移动时，若，当取最大值时，的值是_.二、 选择题（本大题满分16分，共4题，每题4分）15、条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则（ ）(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.(C) 充要条件. (D) 既非充分亦非必要条件.16、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是（ ）A B C D 17、正数等差数列，若存在常数t，使得对一切均成立，则t的可能取的值是（ ）A1 B2 C1或2 D1或318、已知函数，若关于x的方程有且仅有3个实数根，则 （ ）A 5 B C 3 D 三、 简答题（本大题满分78分，共有5题）OABCS19、（14分7+7）如图，SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，底面积为，C是SB的中点，AC与底面所成的角为，求:（1）求异面直线AC与SO所成的角的大小。（2）求这个圆锥的体积。20、（14分6+8）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设。（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大. 图1图2ABCDm21、（16分4+6+6）设（1） 若，试求的单调递减区间；（2） 设。试求a的值，使到直线的距离的最小值为；（3） 若不等式对恒成立，求a的取值范围。22、（16分4+6+6）数列的前n项和为，首项为，满足，（1） 求数列的通项公式；（2） 是否存在，使（其中k是与自然数无关的常数），若存在，求出x和k的值；若不存在，说明理由。（3） 求证：x为有理数的充要条件是数列中存在三项构成等比数列。23、（18分4+8+6）设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).（1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；（2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.23、已知抛物线过焦点F的任一条弦AB，设，且，（1）若，求抛物线方程；（2）是否存在常数，使，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，说明理由；（3）在抛物线对称轴（ox轴正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，说明理由。答案：1. 2； 2. ； 3、； 4、； 5、(0,-1)；6、；7、； 8、；9、 10、； 11、1； 12、16； 13、 14、1518、A B C A19、解：（1）取OB的中点K，联结CK、AC、AK，则CK|SO，由于SO垂直于底面OAB，故CK底面AOB，即CKOB，则为AC与底面所成的二面角的平面角，即，异面直线SO与AC的夹角即为，（4分），即异面直线SO与AC的夹角的大小是，（7分）（2）而CK=SO，又底面积为100，故底面半径为10，（9分）在中，可求的AK，（11分） （14分）20、解：（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为. 所以 ， 3分得 4分 依题意知： 得 所以，（）. 6分（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有 9分 . 12分因为,所以，当时，凹槽的强度最大. 13分答: 当时，凹槽的强度最大. 14分21、解：，当，即时，单调递减； （4分）另解：用函数的单调性定义。（2）如图易得，所求即为点P到直线的距离，也就是两条平行直线与之间的距离，由，且a1，得a=3；（10分）（3），将分别代入得， （16分）22、解：（1），数列是等差数列，首项为x，公差为1， ， （4分）（2）由，即，整理得：，当时，该式恒成立；即：当时，即为所求。（10分）（4） 证明：充分性：若有三个不同的项成等比数列，且，则，若，则与矛盾，且都是非负整数，是有理数； （13分）必要性：若x是有理数，且，则必存在正整数k，使，令，则正项数列，是原数列的一个子数列，只要正项数列中存在三个不同的项构成等比数列，则原数列中必有3个不同的项构成等比数列。不失一般性，不妨设，即，又设，且成等比数列，则，为使为整数，可令，于是，可知成等比数列。 （16分）23、解：（1）， （2分）代入 （4分）当时，点 在圆上 5分（2）在椭圆上，即可设 （ 7分）又，于是（令）点在双曲线上 （10分） 另解：，因为点P（a,b）在椭圆上，故，即：，点在双曲线上。（3）圆的方程为设由 12分又 （14分）又原点到直线距离 ，即原点到直线的距离恒为，所以，直线恒与圆相切。（16分）23、另题：（1）设AB的直线方程为：代入得：，所以抛物线的方程为。 （4分）（2）当AB垂直于x轴时，猜想：一般地，同理， （10分）（4） 假设存在这样的定点，先探求定点坐标及定值，当AB垂直于x轴，有，又，当AB绕着点M旋转时，点A点O，点B，由假设知，猜想过定点，定值为，（13分）下面证明：存在定点，过M点的任意弦AB，使（定值）。设AB的方程为代入得：，记，则，而， （18分）
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