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数学破题36计第23计 探索开门 智勇双锋计名释义所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.过河人还需要两大素质：大智大勇！面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇大胆地猜；智小心地证.典例示范【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件 时，就有MN平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】 显然HNBD，即得HN平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN平面B1BDD1 例1题图 例1题解图证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NHBD，HFBB1，故平面PNHF平面B1BDD1. MN平面PNHF，MN平面B1BDD1.【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何xR，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2x0成立.【思考】 根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.故函数f (x)在(-,2上是增函数；在2,+)上是减函数.1-2x212，1+2x-x2=-（x-1）2+22 1-2x2(-,2，1+2x-x2(-,2当f (1-2x2) f (1+2x-x2)时， 1-2x20，解得x0，不能使-2xf (1+2x-x2)时，1-2x21+2x-x2, 即x2+2x0，解得-2x0，符合题意，当f (1-2x2)=f (1+2x-x2)时， 可得x= -2或0，不能使-2xf (1+2x-x2)时，才能使-2x0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f(x)=2ax+b，知f(x)=g(x)，可见，只有当g(x)= f(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.【解答】 (1)a=1，b=2，g (x)=2x+2.（2）g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.(3)g(x)0，即2ax+b0，当a0时，x，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a0时，x，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).(4)当g(x)0)，圆心O在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=.(1)当O运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；（2）求的最大值,并求取得最大值的的值.2.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a0)，PA平面AC，且PA=1.(1)问BC边上是否存在Q，便得PQQD，并说明理由；（2）若BC边上有且只有一点Q，使得PQQD，求这时二面角QPDA的大小. 第2题图3.已知椭圆(ab0)的离心率e=，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为.()求椭圆方程;()已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：原点O与直线x=1是它的焦点和准线；被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.参考答案1.(1)如图所示，设抛物线上一点O(x0，)，连结OA，OM. 作OCMN于C，则|MN|=2|MC|，|OM|=|OA|=|MC|= 第1题解图|MN|=2p为定值.即当O运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)d1= d2=d+d=4p2+2x，d1d2=4当且仅当x=2p2，即x0=p，y0=p时等式成立，此时|OM|=|ON|=p.MON=90， MON为等腰直角三角形. = 45.2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQQD，PA面ABCD，只需满足AQQD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQQD的条件，从而使问题得到解决.【解答】 （1）连结AQ，PA面ABCD.要使PQQD，只要AQQD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.这就是说，当AD2AB，即a2，在BC边上存在点Q，使PQQD.(2)当a2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.当a=2时，只有BC的中点满足条件.AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.面PAD面ABCD，QMAD，QM面PAD.过M作MNPD于N，连结NQ.根据三垂线定理有，QNPD. MNQ就是二面角QPDA的平面角.在RtQMN中，QM=1，MN=MDsinMDN=1. tanMNQ=.二面角QPDA为arctan.3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.【解答】 （）e=，a2=3b2，即a=b.过A（0,-b），B (a,0)的直线为.把a=b代入，即x-y-b=0,又由已知，解得b=1，a=.()设C(x1，y1)，D（x2，y2）.由消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.必须 1+3k20且=（12k）2-36(1+3k2)0 k1 要存在k满足且使, 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. y1=kx1+2，y2=kx2+2式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 x1+x2=，代入得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.k=满足式.存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是.4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：.化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则x1+x2=，x1x2=，x0=即y0=x0+b=+b，代入x+y=0，得b=-2.从而x1+x2=2，x1x2=弦长|AB|=解得e=2符合题意,所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.
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