高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用

三角函数线及其应用【知识梳理】1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线【常考题型】题型一、三角函数线的作法【例1】作出的正弦线、余弦线和正切线解角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.【对点训练】作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.题型二、利用三角函数线比较大小【例2】分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小解在直角坐标系中作单位圆如图所示以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PMOx，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sinMP，cosOM，tanAT.同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sinMP，cosOM，tanAT.由图形可知，MPMP，符号相同，则sinsin；OMOM，符号相同，则coscos；ATAT，符号相同，则tantan.【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负【对点训练】设，试比较角的正弦线、余弦线和正切线的长度如果，上述长度关系又如何？解：如图所示，当MPOM；当MPOM.题型三、利用三角函数线解不等式【例3】利用三角函数线，求满足下列条件的的范围(1)sin .解(1)如图，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P两点，则sinxOPsinxOP，xOP，xOP，故的范围是.(2)如图，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P两点，则cosxOPcosxOP，xOP，xOP，故的范围是.【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin xb，cos xa(或sin xb，cos xa)，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan xc(或tan xc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得【对点训练】利用三角函数线求满足tan 的角的范围解：如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT，过点O，T作直线，则当角的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan .由三角函数线可知，在0，360)内，tan ，有3090或210270，故满足tan ，有k18030k18090，kZ.【练习反馈】1已知角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则的终边在()A第一象限的角平分线上B第四象限的角平分线上C第二、四象限的角平分线上D第一、三象限的角平分线上解析：选C由条件知sin cos ，的终边应在第二、四象限的角平分线上2如果MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()AMPOM0MPCOMMP0OM解析：选D如右图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图像，可知：MP0，OM0，故OM0OM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 15在单位圆中画出满足sin 的角的终边解：所给函数是正弦函数，故作直线y交单位圆于点P，Q，连接OP，OQ，则射线OP，OQ即为角的终边