2016届湖南省永州市高考一模试卷(理科)数学(解析版).doc

2015年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z=1+2i，则z的模为（）ABCD【考点】复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的模的求法求解即可【解答】解：复数z=1+2i，则z的模为： =故选：D【点评】本题考查复数的模的求法是基础题2已知集合A=y|y=x2+2，xR，B=y|y=4x，xR，则AB=（）A3，6B2，1Cy|y2DR【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算即可【解答】解：A=y|y=x2+2，xR=y|y2，B=y|y=4x，xR=R，则AB=y|y2，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础3cosxdx=（）A0B1C2D3【考点】定积分【专题】导数的概念及应用【分析】直接利用定积分的运算法则求法求解即可【解答】解： cosxdx=sinx=10=1故选：B【点评】本题考查定积分的运算，基本知识的考查4命题“x2，1，x2a0”为真命题的一个必要不充分条件是（）Aa4Ba1Ca4Da1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若命题“x2，1，x2a0”为真命题，则a（x2）max=4，则a1是a4的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键5已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题中，真命题是（）AlmBlmClmDlm【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例【解答】解：l，lm，m，又m，故A为真命题若，l，则l或l，又m，l与m可能平行也可能相交，也可能异面，故B为假命题若lm，l，则m或m，又由m，则与可能平行，可能相交，位置不确定，故C为假命题；若lm，l，则m或m，又由m，则与可能平行，可能相交，位置不确定，故D为假命题故选A【点评】本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题6已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）A1B1C5D5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（2）+（2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（2）的值【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，f（2）=1，g（2）=f（2）+2=1+2=3，函数g（x）=f（x）+x是偶函数，g（2）=3=f（2）+（2），解得f（2）=5故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题7定义运算ab为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A4B3C2D1【考点】程序框图【专题】三角函数的求值【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案【解答】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值a=1，b=2S=2（1+1）=4故选A【点评】本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键8一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，三种视图如下所示，则这张桌子上碟子的个数为（）A11B12C13D14【考点】简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个，故选：B【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关键9已知两定点A（1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到【解答】解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，P在直线l：y=x+2上移动，2a=|PA|+|PB|过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（2，1），则此时2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C【点评】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题10定义在区间0，1上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0）、B（1，f（1）、C（x，f（x）为顶点的ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S（x）的大致图象为（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】导数的综合应用【分析】连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求【解答】解：如图，ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属基础题二、填空题（本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，满分10分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）11极坐标系中，圆2+2sin=3的圆心到直线sin+cos1=0的距离是【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：圆2+2sin=3化为x2+y2+2y=3，配方为x2+（y+1）2=4，可得圆心C（0，1）直线sin+cos1=0化为x+y1=0，圆心到直线sin+cos1=0的距离d=故答案为：【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题12如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段DE的长度为2【考点】与圆有关的比例线段【专题】立体几何【分析】连接BE，OC，OCBE=F，证明四边形EFCD是矩形，OBC是等边三角形，即可得出结论【解答】解：连接BE，OC，OCBE=F，则OCl，ADl，ADOC，AB是圆O的直径，ADBE，ADl，lBE，四边形EFCD是矩形，DE=CF，圆O的直径AB=8，BC=4，OBC是等边三角形，CF=2，DE=2，故答案为：2【点评】本题考查圆的切线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题13若a，b，cR+，且，则a+b+2c的最小值为16【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】a，b，cR+，且，可得a+b+2c=（a+b+2c），展开利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a，b，cR+，且，a+b+2c=（a+b+2c）=6+6+2+2+2=16，当且仅当a=b=c=4时取等号a+b+2c的最小值为16故答案为：16【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题（二）、必做题（共3小题，每小题5分）14已知函数f（x）=ln（x）+2，则f（lg3）+f（lg）=4【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用f（x）+f（x）=+4=4，即可得出【解答】解：f（x）+f（x）=+4=ln1+4=4，f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（lg3）=4故答案为：4【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题15设实数x，y满足，向量=（2xy，m），=（1，1），若，则实数m的最小值为2【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】根据向量平行的等价条件得到即m=2xy，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数m=2xy的最小值【解答】解：向量=（2xy，m），=（1，1），若，即m=2x+y，由m=2x+y，得y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x+m，由平移可知当直线y=2x+m，经过点B时，直线y=2x+m的截距最小，此时m取得最小值，由，解得，即B（2，2）将B（2，2）坐标代入m=2x+y得z=4+2=2，即目标函数m=2x+y的最小值为2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16若x0是函数f（x）=2xx3的零点，则x0（表示不超过x0的最大整数）的值为3或2【考点】函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题，画出图象判断，利用零点存在性定理，f（3）f（2）=（1）0，f（2）f（3）=（1）（2）=20，得出x0（3，2）或x0（2，3），在判断即可【解答】解：函数f（x）=2xx3的零点，可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题画出图象判断，利用零点存在性定理f（3）f（2）=（1）0，f（2）f（3）=（1）（2）=20，x0（3，2）或x0（2，3），x0的值为3或2，故答案为；3或2【点评】本题考查了函数的图象的运用，零点的存在性定理，属于中档题，关键是估计区间三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（ab+c）=3ac（I）求B（）若f（x）=sinx2sin2的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，求f（A）的值域【考点】余弦定理；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】解三角形【分析】（1）根据已知等式求得cosB，进而求得B（2）利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得，得到函数解析式，根据A的范围确定f（A）的范围【解答】解：（1）（a+b+c）（ab+c）=3ac=，cosB=，B=（2）f（x）=sinx2sin2=sinx2=2cos（x+），由题意知函数f（x）的周期为4，=，f（x）=2cos（+），f（A）=2cos（+），0A，+，0cos（+），0f（A），f（A）的值域为（0，）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质考查了学生综合运用三角函数知识的能力182014年9月4日国务院新闻办公室举行关于深化考试招生制度改革的实施意见情况发布会，宣告新的高考制度改革正式拉开帷幕该实施意见提出了“两依据、一参考”，其中一个依据是高考成绩，另一个依据是高中学业水平考试成绩强调了把高中学业水平考试作为考察学生学业完成情况的一个重要方式近日，某调研机构在某地区对“在这种情况下学生的课业负担是否会加重？”这一问题随机选择3600人进行问卷调查调查结果统计如下：会不会不知道在校学生2100120y社会人士600xz已知在全体被调查者中随机抽取一人，抽到持“不会”意见的人的概率为0.05（） 求x和y+z的值；（） 在持“不会”意见的被调查者中，用分层抽样的方法抽取6个人，然后把他们随机分成两组，每组3人，进行深入交流，求第一组中社会人士人数的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，由此能求出x和y+z的值（）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，第一组中社会人士人数的所有可能值为：0，1，2分别求出相应的概率，由此能求出第一组中社会人士人数的分布列及数学期望【解答】解：（）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，x=60y+z=36002100600180=720（）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，则把他们平均分成两组的所有可能的情况总数为：则第一组中社会人士人数的所有可能值为：0，1，2，随机变量的分布列为012p随机变量的期望值为【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题19如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，P=45，B=90，PCB=105，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC平面ABC（如图乙），D，E分别是棱PB和PC的中点（）求证：BC平面PAB；（）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）由已知得PAAC，PA平面ABC，从而PABC，又由图甲知BCBA，由此能证明BC平面PAB（）法一：以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值法二：以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，利用向量法能求出二面角的余弦值【解答】解：（）证明：平面PAC平面ABC，并交于AC，PAAC，有PA平面ABC，故PABC，又由图甲知BCBA，PAAB=A，所以BC平面PAB；（）解法一：如图所示，以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（，0，0），P（，0，2），C（0，1，0），D（，0，1），E（，1），设平面ADE的法向量为，则，y=0，令x=2，则，平面ABC的法向量，故所求二面角的余弦值为解法二：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，0），C（2，0，0），D（，1），E（1，0，1），设平面ADE的法向量为，则，令x=1，则z=1，故，平面ABC的法向量，故所求锐二面角的余弦值为【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20如图，椭圆：，动直线l1：x=x1（2x0），点A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，l1与椭圆相交于A，B两点（点A在第二象限）（）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（）设动直线l2：x=x2（2x2，x1x2）与椭圆相交于C，D两点，OAB与OCD的面积相等证明：|OA|2+|OD|2为定值【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出直线A1A的方程、直线A2B的方程，联立，结合点A（x1，y1）在椭圆上，即可求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（）设C（x2，y2），由OAB与OCD的面积相等，得，结合点A，C均在椭圆上，即可证明结论【解答】（）解：设A（x1，y1），B（x1，y1），又A1（2，0），A2（2，0），则直线A1A的方程为：直线A2B的方程为：由得：由点A（x1，y1）在椭圆上，故可得，代入得：（）证明：设C（x2，y2），由OAB与OCD的面积相等，得，因为点A，C均在椭圆上，由x1x2，所以，|OA|2+|OD|2=7为定值【点评】本题考查椭圆方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题21正项等比数列an中，a1=2，且a2，a1+a2，a3成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 设（nN*），若a0，2，求数列bn的最小项【考点】数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（） 通过a2，S2，a3成等差，求出q推出通项公式即可（）方法一：通过，利用二次函数的对称轴，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项方法二：通过bn+1bn比较大小，判断函数的单调性，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项【解答】解：（） 由a2，S2，a3成等差，有2S2=a2+a3，2（a1+a2）=a2+a3，a3=2a1+a2， =2a1+a1q，q2q2=0，q=1，q=2，由an0，q=2故（）方法一：，令，则=4t2+（a4）t+a+1，对称轴，当0a1时，对称轴，数列bn单调递增，最小项为；当a=1时，对称轴=，恰好位于与的中间，则b1=b2，故n1时，数列bn单调递增，最小项为；当1a2时，对称轴，位于与之间而靠近于，故n1时，数列bn单调递增，b1b2，最小项为方法二：由=，则，=，由，当，得，函数单调递增，即af（1）=1，bn+1bn0，数列bn单调递增，最小项为；当a=1时，b2b1=0，n1，bn+1bn0，故n1时，数列bn单调递增，最小项为； 由，求得，则当时，b1b2，n1，得bn+1bn0，故n1时，数列bn单调递增，最小项为【点评】本题考查数列的通项公式的求法，老师的函数特征，数列与不等式相结合，求解数列的最小值，考查分析问题解决问题的能力22已知函数f（x）=lnxax2，a为常数（）讨论f（x）的单调性；（）若函数f（x）有两个零点x1、x2，试证明：x1x2e【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明【专题】导数的综合应用【分析】（）求出函数的定义域，函数的导数，通过a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；a0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性（）设x1x2，求出，利用分析法证明x1x2e，转化为证明：（x1x20），通过令，则t1，构造设（t1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可【解答】（本小题满分13分） 解：（）定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增； 当a0时，由f（x）=0，得，当时，f（x）0，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减（）证明：设x1x2，则，欲证明x1x2e，即证lnx1+lnx21，因为，即证，原命题等价于证明，即证：（x1x20），令，则t1，设（t1），g（t）在（1，+）单调递增，又因为g（1）=0，g（t）g（1）=0，所以x1x2e【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最小值以及函数的单调性的应用，构造法分析法证明不等式，考查分析问题解决问题的能力