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单元检测卷四图形初步与三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知线段AB=16 cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=()A.10 cmB.6 cmC.8 cmD.9 cm解析:M是AO的中点,N是BO的中点,MN=MO+ON=AO+OB=AB=8 cm.答案:C2.已知1=130,2=118,则1与2的数量关系为()A.1=2B.1-2=12C.1-2=22D.2-1=12解析:1-2=130-118=12.答案:B3.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4l1,若1=124,2=88,则3的度数为()A.26B.36C.46D.56解析:1=2+4,1=124,2=88,4=36.l1l2,3=4=36.故选B.答案:B4.现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:四条木棒的所有组合:3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B.答案:B5.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为()A.5B.6C.7D.8答案:A6.如图,在四边形ABCD中,BAD=ADC=90,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为()A.2B.3C.4D.5解析:过点A作AEBD于点E,过点C作CFBD于点F,BAD=ADC=90,AB=AD=2,CD=,ABD=ADB=45.CDF=90-ADB=45.sin ABD=,AE=ABsin ABD=2sin 45=2=2,在AB和AD边上符合P到BD的距离为的点有2个.答案:A7.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断ACD与下列哪一个三角形全等?()A.ACFB.AEDC.ABCD.BCF解析:根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,ACDAED.答案:B8.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的仰角=30,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1 200 mB.1 200 mC.1 200 mD.2 400 m解析:ABC=30,AB=2 400(m).答案:D9.如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:根据勾股定理计算出BC2,AB2,AC2,再根据勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形.答案:A10.如图,点A,C都在直线l上,AEAB且AE=AB,BCCD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,计算图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是()A.50B.62C.65D.68解析:如图,过点E,B,D分别作EFl,BGl,DHl,点F,G,H分别为垂足.易得EFAAGB,BGCCHD,从而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,则所求面积为(6+4)16-34-63=50.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件,使得ABOCDO.解析:由题意可知AOB=COD,AB=CD,AB是AOB的对边,CD是COD的对边,只能添加角相等,故可添加A=C或B=D或ABCD.答案:A=C (或ABCD 或B=D)12.如图,在RtABC中,C=90,BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是.解析:由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD,也是2.答案:213.如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为.解析:如图,分三种情况讨论:(1)(2)(3)图(1)中,APB=90,AO=BO,APB=90,PO=AO=BO=2,又AOC=60,APO是等边三角形,AP=2.图(2)中,APB=90,AO=BO,APB=90,PO=AO=BO=2,又AOC=60,BAP=30,在RtABP中,AP=cos 304=2.图(3)中,ABP=90,BO=AO=2 ,BOP=AOC=60,PB=2.AP=2.答案:2,2或214.已知ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以RtABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰RtACD,再以RtACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtADE,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.解析:反复运用勾股定理,得AC=,AD=()2,AE=()3,所以第n个等腰直角三角形的斜边长是()n.答案:()n三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)15.如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为ABC的角平分线,l与m相交于P点.若A=60,ACP=24,求ABP的度数.解:直线m为ABC的角平分线,ABP=CBP.直线l为BC的中垂线,BP=CP,CBP=BCP,ABP=CBP=BCP,在ABC中,3ABP+A+ACP=180,即3ABP+60+24=180,解得ABP=32.16.如图所示,在直角梯形ABCD中,ABC=90,ADBC,AB=BC,E是AB的中点,CEBD.(1)求证:BE=AD.(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线.(3)DBC是等腰三角形吗?并说明理由.(1)证明:ABC=90,BDEC,1与3互余,2与3互余.1=2.ABC=DAB=90,AB=BC,BADCBE(ASA).AD=BE.(2)证明:E是AB中点,EB=EA.由(1)AD=BE得AE=AD.ADBC,7=ACB=45.6=45,6=7.由等腰三角形的性质,得EM=MD,AMDE.AC是线段ED的垂直平分线.(3)解:DBC是等腰三角形(CD=BD).理由:由(2),得CD=CE.由(1),得CE=BD.CD=BD.DBC是等腰三角形.四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)17.如图,已知DAB+D=180,AC平分A,且CAD=25,B=95.(1)求DCA的度数;(2)求ACE的度数.解:(1)DAB+D=180,ABCD.CAD=CAB=25,DCA=CAB=25.(2)CAD=CAB=25,B=95,ACE是ABC的外角,ACE=B+CAB=95+25=120.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,ABC和ABC关于AC所在的直线对称,AD和BC相交于点O,连接BB.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);(2)求证:ABOCDO.(1)解:ABB,AOC和BBC;(2)证明:在ABCD中,AB=DC,ABC=D,由轴对称知AB=AB,ABC=ABC,AB=CD,ABO=D.在ABO和CDO中,ABOCDO.五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)19.2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20 km.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A,B,AB相距2 m,探测线与该面的夹角分别是30和45(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据1.41,1.73)解:过点C作CDAB,设CD=x m,ABE=45,CBD=45,DB=CD=x m,CAD=30,AD=CD=x m.AB相距2米,x-x=2,解得x=.答:生命所在点C与探测面的距离是 m.20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,BAC=90,CED=45,DCE=30,DE=,BE=2.(1)求CD的长;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)如图,过点D作DHAC,CED=45,DHEC,DE=,EH=DH,EH2+DH2=ED2,EH2=1,EH=DH=1.又DCE=30,DC=2.(2)由(1)知HC=,AEB=45,BAC=90,BE=2,AB=AE=2,AC=2+1+=3+,2(3+)+1(3+)=.六、(本题满分12分)21.如图,AB=AC,CDAB于D,BEAC于E,BE与CD相交于点O.(1)求证:AD=AE;(2)连接BC,DE,试判断BC与DE的位置关系,并说明理由.证明:(1)在ACD与ABE中,A=A,ADC=AEB=90,AB=AC,ACDABE.AD=AE.(2)互相平行.在ADE与ABC中,AD=AE,AB=AC,ADE=AED,ABC=ACB,且ADE=ABC.DEBC.七、(本题满分12分)22.如图,在ABC中,AD是BAC的角平分线,且B=ADB,过点C作CM垂直于AD的延长线,垂足为M.(1)若DCM=,试用表示BAD;(2)求证:AB+AC=2AM.解:(1)CMAM,DCM=,CDM=ADB=B=90-,BAD=180-2ABD=180-2(90-)=2.(2)证明:如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则有AC=CF.AD平分CAB,CAF=BAF=F.CFAB.FCD=ABD=ADB=CDF.CF=DF.AD+DF=2MA,AB+AC=2MA.八、(本题满分14分)23.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是ABC的中线,AFBE ,垂足为P.像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如图1,当ABE=45,c=2时,a= ,b=;如图2,当ABE=30,c=4时,a=,b=;图1图2图3归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式;拓展应用(3)如图4,在ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BEEG,AD=2,AB=3,求AF的长.图4解:(1)如图1,连接EF,则EF是ABC的中位线,EF=AB=.ABE=45,AFBE,ABP是等腰直角三角形.EFAB ,EFP也是等腰直角三角形.AP=BP=2 ,EP=FP=1.AE=BF=.a=b=2.图1图2图3图4如图2,连接EF,则EF是ABC的中位线.ABE=30,AFBE,AB=4,AP=2,BP=2.EFAB,PE=,PF=1.AE=,BF=.a=2 ,b=2.(2)a2+b2=5c2.如图3,连接EF,设AP=m ,BP=n,则c2=AB2=m2+n2,EFAB,PE=BP=n,PF=AP=m.AE2=m2+n2,BF2=n2+m2.b2=AC2=4AE2=4m2+n2,a2=BC2=4BF2=4n2+m2.a2+b2=5(m2+n2)=5c2.(3)如图4,延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD.E,G分别是AD,CD的中点,EDGQCGEAM,CQ=DE=,DG=AM=1.5,BM=4.5.,.BP=9.M是BP的中点.ADFQ,四边形ADQF是平行四边形.AFPQ.E,F分别是AD,BC的中点,AEBF.四边形ABFE是平行四边形,OA=OF.由AFPQ得:,.PN=QN.N是PQ的中点.BQP是“中垂三角形”,PQ2=5BQ2-BP2=5(3)2-92=144,PQ=12.AF=PQ=4.
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