智爱高中数学椭圆焦半径公式及应用.doc

智愛高中數學 椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。思路1：由椭圆的定义有：故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。由题意知， 两式相减得联立、解得：点评：在与中，前的符号不表示正、负，真正的正、负由确定。思路2：设焦点则，即另有得：、联立解得：点评：把、两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。思路3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。由点M在椭圆上，易知则由，知 故同理点评：上述思路体现了先消元转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与，容易推出（时取得），（时取得）。思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。如图，作椭圆的左准线，作MH于H点则 即同理可求得：点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆上任一点的两条焦半径（）。 一、椭圆焦半径公式P是椭圆1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式例1 已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF1|= (1)从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|= (-axa) 同理有 |PF2|= (-axa)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. （二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2 P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】 问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】 依题意，有方程组-得代于并整理得r1-r2= 联立，得 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1： x=-为准线的椭圆上任意一点.PDl1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性. 例3 P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1l交l于D1. 求证：.【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex. 对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+. 故有.【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0）与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0e 0) ，左支双曲线焦半径：R左 = - (x e + a)，R右 = - (x e- a) ( x 0, b 0) 右支上的一点，F1, F2是其左右焦点 则有 左准线方程为 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 ; 由 |PF1|- |PF2| =2a，得 |PF2| = |PF2| - 2a = ex0 - a( |PF2|亦可由第二定义求得)例1 已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足 |PF1| = e | PF2 |，则e的值为 ( )解法1 设F1(- c, 0 )，F2(c , 0)，P(x0 , y0)，于是，抛物线的方程为 y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l：x =- 3 c，椭圆的准线 m：，设点P到两条准线的距离分别为d1 , d2于是，由抛物线定义，得 d1 = | PF2 | ,又由椭圆的定义得 |PF1| = ed2，而 |PF1| = e | PF2 |，由得 d2 = | PF2 |, 故 d1 = d2，从而两条准线重合 故选 (C)解法2 由椭圆定义得 |PF1| + | PF2 | = 2a，又 |PF1| = e | PF2 |， | PF2 | (1+ e) = 2a，又由抛物线定义得 | PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 3c，由椭圆定义得 | PF2 | = a- ex0 , 由 得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec，即 | PF2 | (1+ e ) = a + 3ec， 由得 2a = a + 3ec，解得 ，故选 (C)点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想例2 设椭圆E：b2x2 + a2y2 = a2b2 (a b 0)，的左、右焦点分别为 F1, F2，右顶点为A, 如果点M为椭圆E上的任意一点，且 |MF1|MF2| 的最小值为(1) 求椭圆的离心率e；(2) 设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P，试问是否存在常数( 0)，使得PAF1 =PF1A成立？试证明你的结论分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率而PF1A显然是一锐角，又易知PAF1是(0, 120o) 内的角，且90o是斜率不存在的角于是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将PF1A变为PNF1，使PAF1变成PNA的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查PF1A与PAF1的图形位置，直接解三角形PAF1，可得到解法6(1) 解 设M(x0, y0), 由椭圆的焦半径定义得|MF1| = a + ex0，|MF2| = a- ex0，|MF1|MF2| = (a + ex0)(a- ex0) = a2- e2x02, |MF1|MF2| 的最小值为, 且 |x0|a， a2- e2x02 a2- e2a2 =，解得 (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c, 故 设双曲线Q的方程为 ，假设存在适合题意的常数( 0)， 考虑特殊情形的值当PAx轴时，点P的横坐标为2c，从而点P的纵坐标为y = 3c，而 |AF1| = 3c, PAF1是等腰直角三角形，即 PAF1 = , PF1A =, 从而可得 = 2 PA不与x轴垂直时，则要证PAF1 = 2PF1A成立即可由于点P(x1, y1)在第一象限内，故PF1 , PA的斜率均存在，从而，有, ，且有 , 又，将代入得, 由此可得 tan2PF1A = tanPA F1， P在第一象限，A(2c, 0), , 又 PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2PF1A =PA F1综合上述得，当= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有PAF1 = 2PF1A成立解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c, 故 设双曲线Q的方程为 ，由于点P(x1, y1)在第一象限内，故PF1 , PA的斜率均存在且PF1A为锐角又 , 设PF1A =，则 设PAF1=, 90o时, 则 tan(), 而 tan(-) tan(-) = tan PF1A =为锐角，又 P A F1 =, tan(-) = tan 0, 故-是锐角，由正切函数的单调性得 = 2显然，当= 90o时亦成立故存在= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2PF1A =PA F1成立解法3 由上述，得= 2，设P 是射线PA上的一点, 其横坐标为x0 ( x0 c)，在x轴上取一点N (2 x0 +c , 0)，使PF1N为等腰三角形，P F1N =P NF1故当P AF1 = 2P F1A时，有P AF1 = 2P NA，PF1F2yxONDAH从而AP N =P NA, 则 |AN| = |AP |，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP | = 2x0-c 过P 作P H垂直于准线l 于H，如图9-5则 |P H| = x0- 故 = 2 = e 图9-5故 点P 是双曲线上的点，且与P重合由x0 c的任意性得，当= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2PF1A =PAF1成立解法4 由题意得，设点P(x1 , y1)， 点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c, 0)是一焦点， |AP| = 2x1- c，|AF1| = 3c，设AD为F1AP的平分线， 由角平分线性质及定比分点公式，得 ，由此可得，点D在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF1的中垂线，故AF1D为等腰三角形，且PF1A =DAF1，又由得 PAF1 = 2PAD =2DAF1， PA F1 = 2PF1A，故2解法5 由题意得，设点P(x1 , y1)，因为点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c, 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x1- c，|AF1| = 3c， | PF1| 2 = (x1 + c)2 + y12 = x12 + 2 x1c+ c2 + 3 x12- 3 c2 = 4 x12 + 2 x1c- 2 c2,在APF1中有 ，于是，有 2()2- 1 =, 即 2(cosF1)2- 1 = cos 2F1 = cosA, A、F1是APF1中的内角，且F1是锐角，故有 2F1 =A, 即 PA F1 = 2PNF1，所以= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 PA F1 = 2PF1A解法6 设点P(x1 , y1)是双曲线第一象限的点 A(2c, 0)，F1(- c, 0)，连AP，F1P，如图 9-5由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x1- c,又设点N是点F1关于直线x = x1的对称点，则有 |PF1| = |PN|, 且N (2x1+ c , 0)，从而 PF1N =PNF1又 |AN| = 2x1 + c- 2c = 2x1- c = |AP| , APN =PNF1由此可得 F1AP = 2PNF1 ，即 F1AP = 2PNF1 = 2PF1N，所以 = 2故存在= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2PF1A =PA F1成立点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把PF1N变为PNF1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道的值是2，它具有探索性而解法3是先知道的值，后推证P点在双曲线上，它是具有目的的推证解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法例3 已知抛物线 y2 = 2Px的焦点弦AB被焦点分成长度为m、n的两段，求证：证明 设A、B在该抛物线的准线上的射影为C、D，连AD交x轴与E，如图9-6由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m, |BD| = |BF| = n,yxlOABDNCMHF由相似三角形性质知 ， ，同理 ，故 |EF| = |EH|, 即 E与O重合故A、O、D三点共线同理B、O、C三点共线 |EF| + |EH| = P =, 故 图9-6点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD由此还可发现许多有用的结论：CFD = 90o; CAB的平分线与DBA的平分线交于一点N，则NA、NB为抛物线的切线，且ANB= 90o；在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；若M为AB中点，则N M被抛物线平分；若A(x1 , y1), B(x2, y2)，则 |AB| =，当ABx轴时, |AB| = 2 P; 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；NFAB; y1y2 = - P2;