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第二十章 曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：10学时 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2. 曲线的质量: 3. 第一型线 积分的定义: 定义及记法. 线积分 ,. 4. 第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1. 第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线 , . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199若曲线方程为 : , 则 .的方程为 时有类似的公式. 例1 设 是半圆周 , . . P200例1 例2 设 是曲线 上从点 到点 的一段. 计算第一型曲线积分 . P200例2 空间曲线 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数 连续可导, 则对 上的连续函数 , 有 .例3 计算积分 , 其中 是球面 被平面 截得的圆周 . P201例3解 由对称性知 , , = . ( 注意 是大圆 ) 2 第二型曲线积分 一. 第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 , 即 . 2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场 . 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点 处的切向量为 , ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量 . ,因此 , .由 , 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场 沿平面曲线 从点A到点B所作的功为 . 流速场 在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场 沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 . 4. 第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. 二. 第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .A , B ; 函数 和 在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有. (证略) 例1 计算积分 , L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为 直线段AB 抛物线 ; A( 1, 1 ) D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . P205例1例2 计算积分 , 这里L : 沿抛物线 从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 ); 沿直线 从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 ); 沿折线闭合路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1 例3 计算第二型曲线积分 I = , 其中L是螺旋线, 从 到 的一段 . P207例3 例4 求在力场 作用下, 质点由点A 沿螺旋线到点B 所作的功, 其中 L : , . 质点由点A 沿直线L 到点B 所作的功 P207例4
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