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执信中学2012届高三模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分1已知集合则（ ） A B C D2复数等于（ ）A B C D3与直线l1：垂直于点P（2，1）的直线l2的方程为（ ）A B C D4函数的图象的大致形状是（ ）5个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（ ）A B C D6有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）A240种B192种C96种D48种7下列四个判断：某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）已知服从正态分布,，且，则 其中正确的个数有：（ ）A个 B 个 C 个 D个8设实数满足：，则的最小值是（ ）A B C1 D8 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9不等式的解集是 10的展开式中常数项是_.(用数字作答） 11公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于_.12已知向量与，且与的夹角为，则 . 13由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为，每一个中所有元素的积为，则 . （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与（）的交点的极坐标为 15（几何证明选讲选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则 三、解答题：16(本题满分12分) 已知函数.（）求函数的值域；（）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.17(本题满分12分) 李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线（如图），路线上有、三个路口，各路口遇到红HCA1A2B1B2L1L2A3灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18（本题满分14分）如图（1），矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图（2）（）求证：；（）求与平面所成角的正弦值.19（本题满分14分）已知正数数列的前项和为，满足；（I）求证：数列为等差数列，并求出通项公式；（II）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围。20（本题满分14分）OxyF1F2M如图，已知、分别为椭圆的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点M是与在第二象限的交点，且（I）求椭圆的方程；（II）已知点和圆，过点P的动直线与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（且），求证：点Q总在某条定直线上。21（本题满分14分）已知函数，当时，函数取得极大值.（）求实数的值；（）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得。试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.参考答案一、选择题：ABDDCBCB二、填空题：9、； 10、； 11、60； 12、； 13、14、； 15、16、解：（1） 3分， 4分 5分函数的值域为 6分（2）， 7分，而， . 8分在中，9分， 得 10分解得 11分， . 12分17、解：（）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 1分则， 3分所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为. 4分（）依题意，的可能取值为0，1，2. 5分，. 8分随机变量的分布列为：012所以. 10分（）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以.因为，所以选择路线上班最好. 12分18、解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以AMD 是平面与平面的平面角，依题意，所以AMD=60o，分由AM=DM，可知MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BODO 5分解（）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD, OFCD, 所以，CD面OEF, 又BO=OD，所以BD, 面ABCD, 面, 平面BOD平面ABCD过A作AHBD，由面面垂直的性质定理,可得AH平面BOD，连结OH ， 8分ABDCMNOH所以OH是AO在平面BOD的投影，所以AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。11分AH是RTABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，所以sinAOH=（14分）方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系， Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，2），O（0，1）ABDCMNOPQ所以（，1），（0，所以0，即BODO（5分）（2）设平面BOD的法向量是，可得+=0=0，令可得所以又（，设AO与平面BOD所成角为=（14分）19.（本题满分14分）解：（I）由，得，两式相减得，因为，所以 3分所以，两式相减得，所以.又，且a10，所以a1=1，所以，所以由a20，得a2=2，所以，数列为等差数列，通项公式an=n. 7分（注：猜对通项公式an=n，给4分）（II）法一：令，当时，即时，g(t)在上为减函数，且，所以当时，即时，从而，不合题意.所以实数a的取值范围为. 14分法二：所以，即对任意成立所以实数a的取值范围为. 14分20、（1）解法一：令M为，因为M在抛物线上，故，又，则 由解得，椭圆的两个焦点为，点M在椭圆上，由椭圆定义，得，又，椭圆的方程为解法二： 同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即又，即，解得椭圆的方程为（2）证明：设，由，可得即 由，可得即得， 得两式相加，得又点A，B在圆上，且即，故点Q总在直线上方法二：由，可得，所以由，可得，所以所以，所以（*）当斜率不存在时，由特殊情况得到当斜率存在时，设直线为代入（*）得，而，消去，得而满足方程，所以Q在直线上21(本题满分14分)解：（）. 由，得，此时.当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故.3分（）令，4分则.函数在上可导，存在，使得.，当时，单调递增，；当时，单调递减，；故对任意，都有.8分（）用数学归纳法证明.当时，且，由（）得，即，当时，结论成立. 9分假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令， 则，且. 13分当时，结论也成立.综上由，对任意，结论恒成立. 14分
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