2015届南通市高三一模考试试卷和答案.doc

南通市2015届高三第一次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合A=，B=，2，3，则 【答案】2 已知复数满足（为虚数单位），则的模为 【答案】3 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 Y开始结束x1，y1y 50输出xx2x+yNy2x+y（第5题） 【答案】934 函数的定义域为 【答案】5 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 【答案】596 同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 【答案】7 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 【答案】8 在平面直角坐标系xOy中，以直线为渐近线，且经过抛物线焦点的双曲线的方程为 【答案】9 在平面直角坐标系xOy中，记曲线在处的切线为直线若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则的值为 【答案】或 10已知函数若是偶函数，则 【答案】11在等差数列中，已知首项，公差若，则的最大值为 【答案】2003Oxy（第12题）1Px（第13题）12已知函数的图象经过点，如下图所示，则的最小值为 【答案】13如上图，圆O内接ABC中，M是BC的中点，AC=3若，则AB= 【答案】14已知是定义在上的函数，且 则函数在区间上零点的个数为 【答案】11二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求A的大小；（2）若，求ABC的面积【解】（1）解法一：在ABC中，由正弦定理，及，得， 3分即，因为，所以，所以，6分所以. 8分 解法二：在ABC中，由余弦定理，及，得，3分所以， 所以， 6分因为，所以.8分（2）由，得，11分所以ABC的面积为. 14分16(本小题满分14分)C（第16题）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC1= 4，是棱CC1上的一点（1）求证：BCAM ； （2）若N是AB的中点，且CN平面，求CM的长【解】（1）因为是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以 2分因为，平面，所以平面 4分C图1因为平面，所以 6分 （2）证法一：如图1，取的中点，连结，因为是的中点，所以， 8分 因为，所以，所以与共面 10分 因为平面，平面平面，所以12分所以四边形为平行四边形，C图2所以 14分证法二：如图2，设与确定的平面交于点，连结，因为平面，平面， 平面平面，所以 8分 因为，平面，平面，所以平面 10分又平面，平面平面，所以，QC图3所以，所以四边形为平行四边形12分因为是的中点，所以 14分证法三：如图3，取的中点，连结，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面 8分因为CN平面，平面，所以平面平面 10分因为平面平面，平面平面，所以 12分因为，所以四边形是平行四边形，所以 14分C图4证法四：如图4，分别延长，设交点为S，连结AC因为平面，平面，平面平面，所以AS 10分由于AN=NB，所以BC=CS又因为，同理可得， 所以 14分17(本小题满分14分)BF1CA（第17题）F2如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），且BF1F2是边长为2的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点，记ABF2，BCF2的面积分别为S1，S2 若S12S2，求直线l的斜率【解】（1）由题意，得a=2c=2，b2=a2c2=3，所求椭圆的方程为 4分（2）设B到直线AC的距离为h，由于S12S2，所以，即， 6分所以，解法一：设，又，则,即 8分由解得， 12分所以，直线的斜率为 14分解法二：由（1）知，8分设点A到椭圆右准线的距离为d，则，所以，同理， 由得，即 10分所以，（以下同解法一）12分解法三：椭圆的右准线为直线，分别过作准线的垂线，垂足分别为，BF1CA（第17题）F2H过C作CH，垂足为H（如图）由于，10分又，在RTCAH中，所以，所以12分根据椭圆的对称性知，所求直线斜率为 14分18(本小题满分16分)在长为20 m，宽为16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C），展厅入口位于长方形的长边的中间在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)（1）若圆盘半径为 m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60，求圆盘半径的最大值16 m（第18题）CB20 m入口AE（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角）【解】（1）解法一：如图，过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连结CA，CE，CB，则，则摄像水平视角为ABE时，水平摄像视角最小在中，2分在中，4分所以，所以最小摄像视角的正切值为 8分 解法二：过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连结CA，CE，CB，则，16 m（第18题）CB20 m入口E则摄像视角为ABE时，摄像视角最小在平面ABC内，以B为原点，BA为x轴建立直角坐标系，则， 设直线BE的方程为，由圆C与直线BE相切得， 4分解得，（其中不合题意，舍去）答：所以最小摄像视角的正切值为 8分（2）解法一：当=时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大. 在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，所以直线BE方程为：， 12分所以，则圆C的最大半径为 m16分解法二：设圆盘的最大半径为r，当=时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大在中，在中， 10分由得， 12分即， 所以，即所以， 15分答：圆C的最大半径为 m 16分19(本小题满分16分)若函数在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数的极值点已知函数 （1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围 （注：是自然对数的底数）【解】（1）当时，所以 2分令，得， 当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递减增4分 所以，当时，有极小值 6分 （2）解法一：设， 由题意，在上且只有一个零点，且两侧异号 当时，在上单调递增，且，所以在上无零点； 8分 当时，在上考察：，令，得在上单调递增，在上单调递减 10分（i）当，即，即时， 在上有且只有一个零点，且在两侧异号13分（ii）令，得，不可能（iii）令，得，所以， ，又因为， 所以在上有且只有一个零点，且两侧异号 综上所述，实数的取值范围是 16分 解法二：令，得 8分 设，由，令，得， 当，所以在上为减函数； 当，所以在上为增函数， 所以为的极大值点 11分 又，所以或，即或 13分当时，设，则，令，得当，所以在上为增函数；当，所以在上为减函数所以，即在恒成立，所以在上单调递减所以当时，在上不存在极值点所以实数的取值范围是 16分20(本小题满分16分)设数列an的前n项和为Sn若，则称an是“紧密数列”（1）若数列an的前n项和，证明：an是“紧密数列”；（2）设数列an是公比为q的等比数列若数列an与Sn都是“紧密数列”， 求q的取值范围【解】（1）由数列an的前n项和， 得ann+ ()2分 所以，1+， 4分 因为对任意nN*，0 ，即11+， 所以，11+， 所以，2，即an是“紧密数列” 6分 （2）解法一：由数列an是公比为q的等比数列，得q， 因为an是“紧密数列”，所以q2 8分 当q1时，Sn=na1，=1+， 所以，1=1+2， 故q1时，数列Sn为“紧密数列”，故q1满足题意 10分 当q1时，Sn，则= 因为数列Sn为“紧密数列”， 所以，=2对于任意恒成立 （i）当q1时，(1qn)1qn+12(1qn)即对于任 意恒成立 因为0qnq1，02q11，q21， 所以 qn(2q1)q1， qn(q2)q(q2)()1， 所以，当q1时，对于任意恒成立13分 （ii）当1q2时，(qn1)qn+112(qn1)，即对于 任意恒成立 因为qnq1，2q11，1q20 所以，解得q=1，又1q2，此时q不存在 综上所述， q的取值范围是 16分 解法二：因为an是“紧密数列”，所以q28分 当q1时，Sn=na1，=1+， 所以，1=1+2， 故q1时，数列Sn为“紧密数列”，故q1满足题意 10分 当q1时，Sn，则= 因为数列Sn为“紧密数列”， 所以，=2对于任意恒成立 （i）当q1时，(1qn)1qn+12(1qn)，即对于任意恒成立 所以解得q1 13分 （ii）当q1时，同理可得无解综上所述， q的取值范围是 16分数学（附加题）参考答案及评分建议 21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）（第21-A题）AACyxOABMONNDC如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为O上一点，AN=AC，证明：MDN=2OCA【解】连结ON，因为AN=AC，ON=OC，OA是公共边，（第21-A题）AACyxOABMONNDC所以ANOACO，故OAC=OAN3分又OAC=OCA，所以NAC=OAC+OAN=OCA +OAC=2OCA因为A，C，D，N四点共圆，所以MDN=NAC，所以，MDN=2OCA 10分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵的逆矩阵，求实数，【解】由 ， 5分所以，解得 10分C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线：相交于A，B两点，求线段AB的长【解】解法一：将曲线C的参数方程化为普通方程为，3分方程组 解得或 6分所以，所以10分解法二：将曲线C的参数方程为 代入直线，得，解得， 3分可得， 6分所以10分D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数求证： 【解】因为a，b，c都是为正数，所以3分同理可得 ， 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22CBADE第22题图 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，90（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值【解】设BE的中点为O，连结AO，DO，由于AB=AE，BO=OE，所以AOBE，同理又因为平面ABE平面BCDE，平面平面BCDE=BE，所以AO平面BCDE，由题意，所以解法一：（1）不妨设，以O为坐标原点，CBADE第22题图OxEyEzE建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则 ， 3分所以，因为，所以与的夹角为120，所以异面直线AB与DE所成角为605分（2）设平面ACE的法向量为，因为，所以，所以，且，取，得，所以，又平面的法向量为，设二面角的平面角为，由，因此，二面角的余弦值为 10分解法二：（1）不妨设，以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系B-xyz，CBADE第22题图OxEyEzE则，则，3分则，因为，所以与的夹角为120，所以异面直线AB与DE所成角为60 5分（2）设平面ACE的法向量为，所以， ，解得设平面的法向量为，所以， ，解得设二面角的平面角为，则，因此，二面角的余弦值为 10分23设an是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n ()，且每数位上的数字只能是1或2（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）求证：a5n1()是5的倍数【解】（1）当n=1时，只有自然数1满足题设条件，所以a1=1；当n=2时，有11，2两个自然数满足题设条件，所以a2=2；当n=3时，有111，21，12三个自然数满足题设条件，所以a3=3；当时n=4，有1111，112，121，211，22五个自然数满足题设条件，所以a4=5综上所述，a1=1，a2=2，a3=3，a4=5； 4分（2）证明：设自然数X的各位数字之和为n+2，由题设可知，X的首位为1或2两种情形当X的首位为1时，则其余各位数字之和为n+1，故首位为1的各位数字之和为n+2的自然数的个数为an+1；当X的首位为2时，则其余的各位数字之和为n，故首位为2的各位数字之和为n+2的自然数的个数为an，所以各位数字之和为n+2的自然数为an+1+an，即an+2an+1+an7分下面用数归纳法证明：a5n1是5的倍数证明：（i）当n=1时，a4=5，所以a4是5的倍数，命题成立；（ii）假设n=k时，命题成立，即a5k1是5的倍数则a5k+4a5k+3+ a5k+22a5k+2+ a5k+12(a5k+1+ a5k)+ a5k+13a5k+1+ 2a5k3(a5k+ a5k-1 )+2a5k5a5k +3a5k-1因为5a5k是5的倍数，a5k1是5的倍数，所以5a5k+ 3a5k1是5的倍数，即a5k+4是5的倍数所以n=k+1时，命题成立由（i）（ii）可知，a5n1()是5的倍数10分