热力学统计物理课程阶段测试题要.doc

一、 大纲的基本内容及学时分配绪论（1学时） 热力学与统计物理学的对象和任务，及其发展简史。第一章 热力学的基本规律（14学时） 本章在复习热力学的基本概念和热力学过程所满足的规律的基础上，加深对这些规律的认识。基本内容：平衡态的条件和热力学过程；热力学的基本定律（热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律）；热力学函数第二章 均匀物质的热力学性质（12学时） 本章介绍热力学的一个重要方面，即如何从热力学基本微分方程出发，通过数学推演出系统各种平衡性质的相互关系。基本内容：（1）麦克斯韦关系及应用（2）特性函数（3）具有单项功的一般系统的热力学关系（4）平衡辐射场的热力学性质第三章 单元系的相变（6学时）本章对平衡态的概念和趋向平衡的问题进行较为深入的分析，进而研究单元复相系的平衡条件。基本内容：1）热动平衡判据2）开系的热力学基本方程3）单元复相系的复相平衡条件和平衡性质4）液滴的形成第四章 多元系的复相平衡和化学平衡（6学时）本章讨论多元系热力学函数的一般性质和多元系的热力学方程，了解多元系的化学平衡条件。基本内容：（1）多元系的热力学方程及复相平衡条件（2）吉布斯相律（3）混合理想气体的性质（4）热力学第三定律（5）多元系的化学平衡条件多元系的化学平衡条件第五章 不可逆过程热力学简介（2学时）基本内容：（1）居域熵产生率（2）昂萨格关系（3）温差电现象第六章 近独立粒子的最概然分布（9学时）本章对如何描述系统的微观运动状态作简单的介绍，并在等概然原理的基础上导出波耳兹曼分 布、玻色分布和费米分布。基本内容：（1）系统微观状态的描述（2）等概然原理（3）波耳兹曼分布、玻色分布和费米分布第七章 玻耳兹曼统计（12学时）本章介绍近独立粒子系的经典统计理论，在玻耳兹曼分布基础上导出经典系统平衡态热力学量的 统计表达式。作为最简单的应用，求理想气体的热力学函数。基本内容：（1）配分函数（2）热力学量的统计表达式（3）麦克斯韦速度分布率（4）能均分定律（5）理想气体的热力学性质（6）固体的爱因斯坦理论第八章 玻色统计和费米统计（12学时） 本章介绍近独立粒子系的量子统计理论，在玻色分布和费米分布基础上导出量子系统平衡态时热 力学量的统计表达式，作为最简单的应用，求光子气体，金属中的电子气体的热力学函数。基本内容：1）巨配分函数2）热力学量的统计表达式3）弱简并气体4）光子气体5）金属中的电子气体第九章 系综理论（12学时） 系综理论可以应用于有相互作用粒子组成的系统。本章介绍系综理论的基本概念，以及微正则系 综、正则系综和巨正则系综。基本内容：（1）相空间（2）刘维定理（3）微正则系综（4）正则系综（5）巨正则系综（6）实际气体的物态方程第十章 涨落理论（4学时）本章主要介绍涨落的准热力学理论，讨论热力学量具有各种涨落值的几率分布。基本内容：（1）涨落的准热力学理论（2）布朗运动理论第十一章 非平衡态的统计理论（8+2学时）本章将导出非平衡状态的分布函数所满足的方程式，其中对分子间相互作用的过程只作现象性讨论，然后再详细分析分子碰撞对分布函数的影响，得到玻耳兹曼积分微分方程。基本内容：1）波耳兹曼方程2）H定理（3）细致平衡原理（4）气体的粘滞现象（5）金属电导率课程教学的基本要求1、 所讨论的热力学是平衡系统的热力学，基本上不涉及非平衡系统。要求着重了解熵增加原理的物理意义，并掌握热力学处理问题的方法，认识热力学理论的普适性及简便可靠的特点，和热力学方法的局限性。2、 过学习理解统计规律性与动力学规律性的区别，以及统计方法对研究大量微观粒子所组成的系统的宏观性质的重要性，要求掌握用最可几法求平衡态的分布函数的主要步骤及物理意义，以及统计分布律的意义及应用。3、 课程所涉及的非平衡问题是在接近平衡态的情况，包括输运现象、布朗运动和涨落。在学时不够的情况下，这部分可不讲。热力学与统计物理课程学习方法 首先要认识到热力学与统计物理是为物理学专业学生开设的一门重要基础理论课，是物理学专业主要骨干课程即理论物理学的四大分支之一，在教学计划中列为专业主干必修课程（平台课）。通过本课程的学习，能对热学理论的认识进一步深化。特别是建立在微观理论上的统计物理学，将帮助学生了解大量粒子所构成的系统的统计规律性，并掌握分析这类系统的有效方法。为今后从事有关热现象的科学研究和技术工作打下坚实的基础。针对这门课程的学习，提出指导性的建议：1 学者最好参照课程的顺序和学时安排进行学习活动热力学与统计物理是一门逻辑性强且各部分内容渗透交叉的课程，因此参照课程教材顺序进行学习，逐步加深，夯实基础是非常必要的，我们的经验告诉我们，一些有一定物理基础的初学者常常轻视前面几章内容的学习，但是很快他们就觉得问题成堆，无从下手。当然对于有较好基础的读者，如学过物理化学等课程的学生，可以在恰当的部位切入。2 复加深对概念理解热力学.统计物理的一些概念，如焓、熵，较抽象，不易理解，还有一些，比较容易的一些概念混淆，希望通过参照几本参考书、与同学、老师讨论等反复钻研加深理解。3 学习过程中主动思考由于热力学与统计物理内容抽象、概念多，理论性强，逻辑严密，各部分内容渗透交叉，所以在学习过程的每一个环节中都应主动多问为什么，如果，在每一阶段可以做一些总结、归纳，这些不仅可以帮助学好热力学，更可以培养良好的学习习惯而终身受益。4独立完成作业，在可能的情况下多做一些习题并作适当的归纳习题是学习的重要环节，本课程提供了一定数量的习题，课程进度表中列出的习题是学好课程的下限，如果您每学时的课后复习及做习题的时间少于2小时，建议从参考书上选做一些习题。我们提倡学习过程中同学之间相互帮助，但希望大家能基本独立完成习题，而且每次完成习题后不是仅与其他同学核对答案，而是整理一下自己的解题思路，逐步掌握热力学.统计物理习题的解题规律。5 多看几本参考书热力学与统计物理是成熟的经典学科，读几本参考书可以帮助从不同角度加深对课程教学内容的理解。我们的经验是多阅读参考书可以帮助理解。6 学习几个具体注意点（1）热力学部分重点是特性函数及其基本微分方程和麦克斯韦关系；开系的热力学基本方程、单元系的复相平衡条件和平衡性质；是多元系的热力学函数和热力学方程、吉布斯相律。（2）统计物理部分重点是分布和微观状态的关系、玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布；热力学量的统计表达式、玻耳兹曼统计处理问题的方法；玻色-爱因斯坦凝聚、金属中的自由电子气体的问题；正则分布、巨正则分布的热力学公式；实际气体的物态方程及固体的热容量。热力学.统计物理课程阶段测试题一、第二章测试题及解答 1已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加.解：由题意得：因V不变,T、p升高,故k(V)0据麦氏关系(2.2.3)式得: = =(V) (k(V)0)由于k(V)0, 当V升高时(或V0V,VV0),于是T不变时,S随V的升高而升高.2求证:() 0解证: 由式(2.1.2) 等H过程: （）H=-0; T0)由基本方程 ;（）U=0.3 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 提示:证明-0解证：联立（1），（2）式得：-=据： 熵不变时，（dS=0）, =-= 原题得证4 实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能U都只是温度的函数, 即pv=f(T); U=U(T) 试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：由式（2.2.7）及=0=；=p即：；5 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.解证：范氏气体由式(2.2.7) =T-p=T= ；与v无关。二、第三章测试题及解答1 试证明，相变潜热随温度的变化率为-如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为：证明：显然属于一级相变; ; 其中，在pT相平衡曲线上.其中：又有：；由麦氏关系(2.2.4): 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：-若相是气相，相是凝聚相；0；0；相按理想气体处理。pV=RT2蒸汽与液相达到平衡。以表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为解：由式(3.4.6)克拉珀珑方程。并注意到0.方程近似为 ， V气相摩尔比容。 气相作理想气体。pV=RT 联立式，并消去p;P得：；3 将范氏气体在不同的温度下的等温线的极大点N与极小点J联起来，可以得到一条曲线NCJ,如图3.17所示。试证明这条曲线的方程为并说明这条曲线分出来的三条区域的含义。解证：范氏气体：； 等温线上极值点极值点组成的曲线：；由4 证明爱伦费斯公式：证明：对二级相变 ；即-=0 ；即-=0 -; 将代入得。 由式(3.2.6)得：； 结合式(3.7.2)即为：代入得：类似地，利用可证第二式三、第四章测试题及解答1 理想溶液中各组元的化学势为：(1) 假设溶质是非挥发性的。试证明，当溶液与溶剂的蒸发达到平衡时，相平衡条件为其中是蒸汽的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数。(2) 求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为(3) 将上式积分，得其中p0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸汽压。该公式称为拉乌定律。解：(1) 设“1”为溶剂,(2)由 ；v蒸汽相摩尔热容 v凝聚相摩尔热容 故有v-vv,又有pv=RT代入 积分(2)式得拉乌定律2 绝热容器中有隔板隔开，一边装有n1 mol的理想气体，温度为T，压强为P1；另一边装有n2 mol的理想气体，温度为T，压强为P2。今将隔板抽去，（1） 试求气体混合后的压强；（2） 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变；（3） 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。解：（1）（2）根据 （3）如果两种气体是相同的，混合后的熵变 3试证明，在NH3分解为N2和H2的反应中平衡常量可表为 如果反应方程写作 平衡常量如何？证明：设NH3原来有n0 mol, 分解了n0 mol，未分解(1-)n0 mol, 生成 mol N2和 mol H2，共有摩尔数(1+)n0 平衡常量如果反应方程写作 设NH3原来有2n0 mol, 分解了2n0 mol，未分解2(1-)n0 mol, 生成 mol N2和 mol H2，共有摩尔数2(1+)n0 平衡常量4 n0v1 mol 的气体A1和n0v2 mol 的气体A2的混合物在温度T和压强p下所占体积为V0, 当发生化学变化并在同样的温度和压强下达到平衡时，其体积为Ve。试证明反应度为证明：未发生化学变化时，有 （4.10.1） 当发生化学变化时，原来有n0v1 mol 的气体A1，反应了n0v1 mol，未反应(1-) n0v1 mol, n0v2 mol 的气体A2，反应了n0v2 mol，未反应(1-) n0v2 mol, 生成n0v3 mol A3和n0v4 mol A4，有 (4.10.2) 由式（4.10.1）比式（4.10.2）可得 (4.10.3) 解(4.10.3)式得 5根据第三定律证明，在T0时。表面张力系数与温度无关。即.解证：表面膜系统。 ; ;而实际上与A无关，即T0时，根据热力学第三定律；于是得：；原式得证。四、第六章测试题及解答1 试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到的能量范围内，量子态数为：证明：一维自由粒子，附近的量子态为；于是。而 Px对应同一能量，于是：2 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为 和 其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证： 粒子A能级，粒子数分布：al简并度 粒子B能级，粒子数分布：al简并度 由 即使最大， 达到最大。 （注：与在此情况下独立） 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证明 同一，原题得证。这也是满足热平衡的要求。3 根据玻色系统的微观状态数 ,在,和的条件下,导出玻色分布.解：对玻色系统，若粒子总数和总能量为常数，则有约束条件 ， .由拉格朗日未定乘子法,可对微观状态数的对数求有约束条件的变分极值,从而得到最可几分布,即 .其中,和为未定乘子,分别由两个约束条件为常数来确定.应用斯特林公式,有 ,则 ,由于所有的独立,所以 ,整理可得 ,即欲求的玻色分布.五、第七章测试题及解答1当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为，以表示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。 解证：配分函数. 以内能U为例，对Z1: 对Z1*:2 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，,对粒子的所有量子态求和。证明：出现某状态几率为Ps 设S1,S2,Sk状态对应的能级 设Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级 类似则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ；显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，。于是代表处于S状态下的粒子数。例如，对于能级个粒子在上的K个微观状态的概率为： 类似写出：等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。一微观状态数 ，（基于等概率原理）将带入3 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N 表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时n(设nN )其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。解证：,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量；,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数 ;利用利用自由能判据 。4气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为 解证：设能级这样构成：同一中，P相同，而P与P在变化，于是有： ()参照教材玻耳兹曼分布证明;有 -,其中由(1)知: 将代入 并配方得: = 其中对比page238式（7.2.4）得： 于是，整个体积内，分布在 内分子数为： 由条件（3）知计算得 = =代入得出分布： 其中,5 气柱的高度为，截面为，在重力场中。试证明此气柱的内能和热容量解证：配分函数 设 6 试求双原子理想气体的振动熵解证：振动配分函数 代入式（7.6.1） 代入熵计算式六、第八章测试题及解答1在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为,其中为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.解: 在体积V中,e 到e + de 的能量范围内电子的量子态数为 .绝对零度时,费米函数为 .总电子数满足 ,可求出费米能量 .电子气的内能 .气体的简并压 .2 试根普郎克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程：（）这个方程的数值解为。因此，温度增加向短波方向移动解证： 代入普郎可公式得： 求；只要令即可，（略）3 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。解证：费米分布 令则：从而 将代入得出：4 假设自由电子在二维平面上运动，密度为。试求0K时二维电子气体的费米气体的费米能量，内能和简并度。解证：； 已考虑了自旋，得 根据电子费米分布： 令 （2）由于均匀，故每电子 （3） 于是， 5 试根据热力学公式及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。解证：根据式（8.5.19） 七、第九章测试题及解答1 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵解证：一般认为较小2 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为其中为液体的面积，为两分子的互作用势解证：二维气体其中定义变量代换据式（9.5.3）3 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量解证：一维线形原子链共有个振动，存在最大频率令高温近似低温近似其中4 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。解证：二维：面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为 横波按频率分布为 纵波按频率分布为 令低温近似 高温近似 计算略5 利用德拜频谱求固体在高温和低温下的配分函数的对数，从而求内能和熵。解证：式（3.9.4）德拜频谱 对于振动 计算略高温近似， ， （计算略）6 设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡。被吸附的分子可以在吸附面上作二维运动，其能量为，束缚能是大于零的常数。试根据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。解证：；由于玻耳兹曼系，粒子可分辨，从而为简单起见，考虑无简并（有简并情况完全可类似处理） 于是： 即对无简并情况 对有简并者，类似处理可得 （略） 简并度一. 填空题（本题共 7 题，每空 3 分，总共 21 分）1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1准静态变为10，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。二. 简答题(本题共 3 题，总共 30 分) 1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。 (10分)答：（1）热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力学理论可以证明，它的吉布斯函数为0。（2）从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。（2分）（3）光子是玻色子，满足玻色分布。在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子就应该为零，因为，故化学势为零（4分）（4）化学势即为摩尔吉布斯函数（或者单个光子的吉布斯函数），光子气体的吉布斯函数等于摩尔数（或者平均分子数）乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。（2分）2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。 (10分) 答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态数。（2）玻耳兹曼系统是这样的一个系统，它的各个粒子是可以分辨的，因此，要确定玻耳兹曼的微观状态，就需要确定每一个粒子的微观状态，给出玻耳兹曼系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数，但是这些粒子是哪一些粒子并没有确定。（3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻耳兹曼系统的最概然分布就是玻耳兹曼分布。3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。 (10分) 答：（1）作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征，例如对于一个孤立系统，可以用粒子数N、体积V 和能量E 来表征系统的平衡态，状态参量给定之后，处于平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。（2分）（2）系统的微观状态是指构成系统的每一个粒子的力学运动状态，显然，在确定的宏观状态之下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生及其复杂的变化，例如，对于一个没有相互作用的系统中，总能量是由N 个单粒子能量的简单求和得到的，因此，将会有大量不同的方式选择个别粒子的能量使其总和等于总能量。（2分）（3）等概率原理认为：在任意时刻，该系统处于各个微观态中的任意一个状态都是同等可能的，也就是概率是一样的。对于一个孤立系统，数学表述就是：设所有可能的微观状态的数目是粒子数N、体积V 和能量E的函数：，则每一个微观状态的概率为。（3分）（4）统计物理认为，宏观物理量是相应的微观物理量的系综平均值，要求系综平均值，就必须知道系统在各个微观状态出现的概率。等概率原理给出了孤立系统的各个微观状态出现的概率，因此，只要知道总的微观状态数，就可以计算各种宏观物理量。这样，等概率原理在连接宏观物理量和相对应的微观物理量之间建立了一个可以计算的桥梁。当然，实际上，对给定的孤立系统，计算总的微观状态数一般是很困难的，但是它是分析其他问题（如分析正则分布和巨正则分布）的基础，等概率原理也称为微正则分布。（3分）三. 计算题(本题共 4 题，总共 49 分) 1. 一均匀杆的长度为，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为 ，右端温度为，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。（你可能要用到的积分公式为。）(10分)答：设杆的初始状态是左端温度为 ，右端为，从左到右端，位于到的初始温度为，达到平衡后温度为，这一小段的熵增加值为：（4分） 根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为（6分）2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。(10分)证明：以作为自变量，则熵的全微分为：（3分）利用热力学基本微分方程，有：因此有：（3分）由麦氏关系代入上式，可以得到：利用物态方程可以知：故有：（4分）得证。3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算：（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二维气体分子的最概然速率。(4分)答：玻耳兹曼分布的经典表达式是（2分）在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为在面积内，分子质心平动动量在范围内的状态数为因此，在面积内，分子质心平动动量在范围内的分子数为参数由总分子数为的条件定出积分出，得 因此，质心动量在范围内的分子数为用速度作为变量，上式化为： 这就是在面积内，分子在范围内的分子数。用表示单位面积内的分子数，则在单位面积内，速度在范围内的分子数为（5分）这就是二维情况下的速度分布律。归一化条件为：化为极坐标，并对角度进行积分，可得二维情况下的速率分布律（2分）最概然速率满足条件：由此得到：（4分）在这个速率附近，分子数最多。4.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：这里，是面积。这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。（8分）（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为，试求 0 K 时电子气体的费米能量、内能和简并压强。(8分)答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为，根据周期性边界条件，二维自由粒子在和方向的动量分量的可能取值为：因此对于非相对论的自由粒子，能量为：以单一指标代替，上式可以记为：因此当有个粒子存在时，产生的压强为：（8分） （2）在面积内，在内，自由粒子的量子态的数目为：由于电子自旋为，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系，得到在内，自由电子的量子态的数目为：根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：在面积内，在内，自由电子的数目为：黄山学院信息工程学院热力学与统计物理试卷(6)一、单选题（每小题4分，共46=24分）。1、近独立子系统组成的复合系统的配分函数 （A）、是子系统配分函数的和； （B）、是子系统配分函数的差 （C）、是子系统配分函数的积； （D）、不能确定2、气体的非简并条件是 （A）、气体分子的质量极大于；（B）、气体分子动量极大于 （C）、气体分子间平均距离极大于它的热波长 （D）、气体分子间平均距离极大于它的尺度3、基本热力学涨落的几率分布是 ( )（A）、泊松分布； （B）、正则分布；（C）、二项式分布； （D）、高斯分布4、玻尔兹曼方程讨论 ( )（A）、平衡态统计物理问题； （B）、非平衡态统计物理问题（C）、热力学极限统计物理问题； （D）、有限系统统计物理问题5、由热力学基本方程dG=-SdT+Vdp可得麦克斯韦关系 ( )（A）、 （B）、（C）、 （D）、 6、一级相变和二级相变的特点 ( )（A）、所有物理性质都发生突变 （B）、化学势一阶偏导数发生突变为一级相变，二阶偏导数发生突变为二级相变 （C）、只有比容发生突变的为一级相变，比热发生突变为二级相变（D）、只有比热发生突变的为一级相变，比容发生突变为二级相变得分评卷人二、简答题（每小题7分，共73=21分）1、什么是统计系综？常用的系综有哪几种？它们描写什么样的系统？相应平衡态分布如何？2、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）。3、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？三、计算题（每小题15分，共152=30分）。1、温度维持为25，压强在0至1000 之间，测得水的实验数据如下：若在25 的恒温下，将水从1 加压至1000 ，求水的熵增和从外界吸收的热量。2、银的导电电子数密度为。试求时电子气体的费米能级、费米速率和简并压。在时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势）： （4分）面积内，在内，自由电子的能量为：在时，对上式积分，得到自由电子的内能为：（2分）在时的简并压强为：（2分）四、证明题（第1小题12分，第1小题13分，共25分）1、试证明在相变中物质摩尔内能的变化为: 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。2、试根据公式证明，对于极端相对论粒子， 有，上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。