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立方根 一、复习1平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？2算数平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？3开平方与平方的关系是什么？4平方根有什么样的性质？被开方数平方根算数平方根正数零负数 二、设计情境，导入新课问题1：要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？你是怎么知道的？设这种包装箱的棱长为,则=27.这就是求一个数，使它的立方等于27. 因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m.思考：本题是已知一个数的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数问题：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？ 概念归纳 ：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根因此，在问题1中，因为，所以3是27的立方根，所以该种包装箱的棱长是3dm。类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。因此，我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根。三、创设问题，探究新知 知识点1、立方根的性质问题2： 探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以的立方根是（ ） 因为，所以的立方根是（ ） 因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以的立方根是（ ） 因为，所以的立方根是（ ）总结：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。被开方数平方根立方根正数两个，是互为相反数有一个，是正数零为零为零负数无有一个，是负数知识点2、立方根符号问题3：根据探究的计算我们会发现，这样表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示出来呢？类似于平方根，一个数是被开方数，3是根指数（radical exponent）.现在我们学习了立方根的符号表示，就可以将探究中的数值用立方根的符号来表示出来： 因为，所以 因为，所以 因为，所以 因为，所以 因为，所以 因为，所以 因为，所以注意：问题4：学习了立方根的符号后，可能会有疑问，立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢？如果有，它的根指数是多少？答：算术平方根的也有根指数，且为2,因此也可以读作“二次根号”，但是这里的根指数可以省略。问题5：我们已经学过算术平方根的符号中的必需是非负数，那么立方根的符号中的取值有什么限制吗？答：立方根符号中的没有限制，可以取任何数。总结：任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有非负数才有平方根。探究：因为所以 因为，所以 问题6：计算上式，看看你能得出什么结论来？总结： 。利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。（互为相反数的立方根也互为相反数）四、例题讲解：例：求下列各式的值：解：五、随堂练习：知识点3、计算器计算立方根并寻找规律实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。例如等都是无限不循环小数。我们可以通过计算器来计算出它们的近似值。现在我们就来学习如何用计算器来计算一个数的立方根。一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）.例如用计算器求1845的近似值（保留四位有效数字）依次按键 1845 ，显示：.这样就得到的近似值.或者依次按键 shift 1845 = ，显示12.264 940 82练习：请同学们计算出的值。注意：在运用计算器是要记得加上括号。依次按键 shift （ 27 8 ） =，显示1.51、 探究：用计算器计算，你能发现什么规律呢？0.060.6660总结出：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根也扩大（缩小）10倍。问题7：用计算器计算出（精确到0.001），利用发现的规律你能求出的近似值吗？计算出=4.642，然后根据规律可分别得到的近似值。六、变式练习：比较3、4、的大小。规律：当 分析：可以将3和4写与之相等的立方根形式，即，由，所以，故问题8：如果本课小结 （1）立方根和开立方的定义 （2）正数、0、负数的立方根的特征 （3）立方根与平方根的异同
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