奥赛 鸡兔同笼问题.doc

鸡兔同笼一、基本问题“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只.答：有兔子34只，鸡54只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚288=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.308比1916或1116要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数1910+116=256.比280少24.24（19-11）=3，就知道设想6只“鸡”，要少3只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打306=5（份），乙每小时打3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-37）（5-3）=4.5，“鸡”数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.答：甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（254-86）（4-3）=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14）4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁）.这是2003年.答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？解：对2道、3道、4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（2+3）2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对4道题的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做对4道题的有31人.二、“两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.（680-840）（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70（张）.答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是420+860=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是（680-420-860）（4+8）=10（张）.因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）= 7（天）.雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.答：这项工程17天完成.请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是（100+282）（2+1）=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只.当然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只数是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法.解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是450-250=100，比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字）.每首字数相差74-54=8（字）.因此，七言绝句有28（28-20）=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首.解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中“少20字”相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-840）（8+4）=30（张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是（1004-28）（4+2）=62（只）.10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验24题全对，得524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是86-2（15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分519-1（24- 9）=90.第二次得分811-2（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分.解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答错题数是（69+10）（6+10）=4（题）第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5（24-5）-15=90（分）.第二次得分 8（15-4）-24=80（分）.三、从“三”到“二”“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（0.604+2.7）5=1.02（元）.现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是（300-1.02232）（6.3-1.02）=12（支）.铅笔和圆珠笔共23212220（支）.其中圆珠笔220（4+1）=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.例14 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是（1.52+13）（2+3）=1.2（元）.从公式可算出，大球个数是（120-1.255）（3-1.2）=30（个）.买中、小球钱数各是（120-303）2=15（元）.可买10个中球，15个小球.答：买大球30个、中球10个、小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离所用时间去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）2=4.5千米.例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？解：把来回路程452=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是（90-421）（5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是62=3（小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是45-53=30（千米）.又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是（67-30）（6-3）=4（小时）.行走路程是34=12（千米）.下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是63=18（千米）.答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？解：如果每次都考16题，1624=384，比426少42道题.每次考25道题，就要多25-16=9（道）.每次考20道题，就要多20-16=4（道）.就有9考25题的次数+4考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由96=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.答：其中考25题有2次.例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车，110-1.230=74（元）.还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.240=62（元）.还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62610）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍.现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：总头数 50-35=15，总脚数 110-1.235=68.因此，乘小巴前往的人数是（615-68）（6-4）=11.答：乘小巴前往的同学有11位.在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.