函数解析式求法小结.doc

函数解析式求法小结1、直接法：如例1、在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水,浓度变a,b0,a,b不相等），则x与y的函数关系是_.解析：由题意可得， ，所求函数的解析式为： 。小结：此法常用于与函数有关的应用题。2、待定系数法：如例2、已知f (x)是二次函数且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,则f (x)=_.解：由题意可设：f(x)=ax2+bx+c,则f(x-1)+f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4对xR恒成立，从而有 。小结：当已知函数的类型时，常用此法。3、换元法：如例3、已知f ,则f(x)=_.解：设u= 1，则 ，则 =，f(x) .4、凑配法：如例4（同例3）解：f = ，f(x) 。小结：当已知函数的一个复合函数的解析式时，常用换元法或凑配法。5、方程组法：如例5、已知f(x)+2 ,求f(x). 解： 以 代替式中x的得 - 2得： ，即 。小结：当已知x与 或x与-x的函数值的一个方程时，可考虑用此法。 6、相关点法：如例6、已知函数f(x)=2x+1与函数y=g(x)的图象关于直线x=2成轴对称图形，试求函数y=g(x)的解析式。 解：设 在所求函数的图象上，点 是M关于直线x=2的对称点，则 又 即g(x)=9-2x.小结：当以函数图象的对称性为已知条件时，可考虑用此法。7、叠加法：如例7、已知函数f(x)对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)+1,且f(1)=1,若xN,试求f(x)的解析式。解：令x=y=0，则有f(0)=f(0)+f(0)+0,f(0)=0，再令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+x,，令中x=1,2,3,n-1,得f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3,f(4)=f(3)+4,f(n-1)=f(n-2)+(n-1),f(n)=f(n-1)+n,以上各式左右两边分别相加得：f(n)=f(1)+2+3+n=1+2+3+(n-1)= ,当n=0时，f(0)=0成立。故f(x)的表达式为f(x)= ,xN.小结：此法只适用于定义域为整数集（或它的子集）的函数，关键是可求得f(n)-f(n-1).