计算机销售的最高利润.doc

计算机销售的最高利润姓名学号班级袁少伟20098511袁少伟摘 要随着科学的发展，社会越来越进步，计算机已经成为人们生活中不可缺少的一种工具，在这种情况下，计算机制造厂商也越来越多，为了获得高利润，这就需要生产商从各方面着手，以最少的成本获得最大的利润。本题就是针对一家计算机制造厂商通过调整计算机的批发价格和广告预算费用来获得最大利润的问题；题中批发价格和广告预算费用是两个相对独立有限制的变量，所以该题我们采用有约束的多变量最优化模型求解。问题一是求使利润最高是的销售价格和广告预算。通过分析，销售价格和广告预算是两个相对独立的变量，所以我们利用有约束的优化模型建立模型，拉格朗日乘子法求解，结果为：要获得最大利润，广告费用增加50000美元/月，计算机批发价格15美元/台，获得最大利润2661250美元。问题二是讨论决策变量（批发价格和广告预算费用）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏度。模型中的参数价格弹性系数是通过估计、预测的，需考虑其灵敏性，在分析时将此参数设为变量，进行计算。本题中我们用微分方程对价格弹性系数作为特定参数进行灵敏性分析，结果为：如果价格弹性系数在50%的基础上提升1%，计算机批发价格就应当在935美元的基础上降低7.33%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。问题三是讨论决策变量关于每增加10000美元/月的广告费，多销售的计算机200台这一数据的灵敏性。方法同样是用微分学进行灵敏性分析，结果为：当每增加10000美元/月广告费时可多销售200台基础上增加1%，计算机批发价格应在935美元基础上降低0.67%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。问题四是分析说明拉格朗日乘子数（也就是影子价格）的实际意义，再利用其说服公司最高管理层提高广告费用的最高限额。关键词：有约束的多变量最优化模型；灵敏性分析；拉格朗日乘子；影子价格；一、问题提出一家个人计算机制造厂商现在每个月售出10000台基本机型的计算机。生产成本为700美元/台。批发价为950美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位试验的市场将价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%。公司在全国为其产品做广告的费用为每个月50000美元。广告代理商宣称若将广告预算每个月提高10000美元，会使每个月的销售额增加200台。管理部门同意考虑提高广告预算到最高不超过100000美元/月。（1）利用有约束最优化模型和拉格朗日乘子发求使利润达到最高的价格和广告预算。（2）讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。（3）讨论据决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来说服最高管理层提高广告费用的最高限额？二、基本假设假设1： 批发价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%。假设2：将广告预算每个月提高10000美元，会使每个月的销售额增加200台。三、符号说明符号意义单位备注s计算机的销售数量台y每个月提高的广告预算量美元50000x计算机市场价格降低量美元z计算机市场销售价格美元C生产计算机的总成本美元R计算机销售的总收入美元P计算机销售的净利润美元m计算机的初始销售数量台常量n计算机的初始销售价格美元常量d计算机的初始广告费美元常量D每月广告预算费的最大值美元常量a价格的弹性系数常量b广告预算增加每10000美元，销售数量的增加量台常量表格1四、问题分析计算机的销售价格为： （此处n=950美元）计算机的销售数量为： （此处m=10000台，a=50%,b=200台）因此，计算机总的销售收入为： 生产总成本为： (此处d=50000美元) 生产净利润为： P=R-C因此，原问题转化为求0x250美元和0y50000美元，使得P取得最大值五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析由于计算机的销售利润受两个独立变量销售价格和广告费用的共同影响，这是一个多变量有约束的条件求解极值的问题，我们采用采用拉格朗日乘子法求解。5.1.2 问题一模型的建立由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下： x.y 其中 a=0.55.1.3 问题一模型的求解求解方法-Lagrange乘子法这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange乘子法求解。第1步：确定目标函数P(x,y)的可行域S 目标函数P(x,y)的可行域S（见图1）为：图1第2步：计算在可行域S的内部，因此，最大值一定在边界上达到。第3步：计算边界上的极大值由于可行域由4条直线围成，因此需要分别计算P(x,y)在每一条边界线段上的极大值，下面分别计算， 其Lagrange乘子方程为，即约束条件为：由于要获得利润，销售价格必须大于成本价，即所以所得结果如下表格2所示：xyP01248004294920024.9603.52481249.9215500003.72661250表格2由上表可知，当x=0时，y=12480050000，不符合题意，所以，当x=15，y=50000时，可获得最大利润2661250美元。5.1.4 问题一结果的分析及验证有上面计算可知，这家计算机制造商将销售价格降低15美元，每月的广告预算费用提高50000美元，可获得最大利润2661250美元。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析由于在模型中我们假设降低100美元的价格弹性系数a=0.5，所以应该研究它的微小变化对模型结果的影响。而模型主要求的是销售价格和广告预算费，所以我们只考虑a的微小变化对这两个的影响。5.2.2 问题二模型的建立在模型中我们假设a=0.5，将其带入前面的公式中，我们得到：5.2.3 问题二模型的求解令P关于x，y的偏导数为零，则：约束方程为：y=50000联立求解得 计算机批发价格降低量x关于价格弹性系数n的曲线图如图2所示：图2可以用相对改变辆衡量结果对参数的敏感程度，x对a的敏感度记作S（x，a），定义为当a=0.5，x=15时，5.2.4 问题二结果的分析及验证如果价格弹性系数在50%的基础上提升1%，计算机批发价格就应当在935美元的基础上降低7.33%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三的分析由于在模型中我们假设提高10000美元/月，销售量增加的量b是由估算得到的，所以应该研究它的微小变化对模型结果的影响，讨论决策变量（价格和广告费）关于m这一数据的灵敏性。5.3.2 问题三模型的建立在模型中我们假设b=200台，将其带入前面的公式中，我们得到：5.3.3 问题三模型的求解令P关于x，y的偏导数为零，则：约束方程为：y=50000联立求解得 计算机批发价格降低量x关于台数m的曲线图如图3所示：图3同理，可以用相对改变辆衡量结果对参数的敏感程度，x对a的敏感度记作S（x，b），定义为当x=15，b=200时，5.3.4 问题三分析和验证当每增加10000美元/月广告费时可多销售200台基础上增加1%，计算机批发价格应在935美元基础上降低0.67%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。5.4问题四模型的建立与求解在问题一中求出来的乘子的值为；其意义为广告费用的限额每增加1个单位，则利润增加额为万美元，这就是影子价格。它代表了对这个公司来讲某种资源（广告费用）的价值。如果公司有意提高自己的广告费用（这是最关键的约束），它会愿意付出每单位不超过3.7美元的价格来增加自己的广告费用。六、模型的评价与推广6 模型的评价本题我们利用有约束最优化模型求解，前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性，决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性，以及决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性都做了灵敏性分析，结果不稳定因素对它们的影响都很小，可以忽略不计。前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性；现在我们来看看其他类型的假设。它们可能来自于数学处理的方便和简化的目的，在回答问题之后，应该考察这些假设是否过于特殊，以致使结果无效。 在前面的假设中，极为重要的假设就是：计算机的销售数量是销售价格降低量的线性函数、计算机的销售数量是广告费用提高量的的线性函数，这样做显然过于简单化，不可能严格满足。 因此，一个更实际的模型应该既考虑这些函数的非线性性，并且考虑到随着时间推进的不确定性的增加。如果假设是错的，模型又怎能给出正确的答案呢？虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的，一个更确切的说法数学模型力求接近完美。一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但足够近似从而可以在实际问题中应用。