复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 一 复数的概念 1 复数的概念 是实数 zxiy Re Imxzyz 21i 注 一般两个复数不比较大小 但其模 为实数 有大小 2 复数的表示 1 模 2zxy 2 幅角 在 时 矢量与 轴正向的夹角 记为 多值0 x Argz 函数 主值 是位于 中的幅角 argz 3 与 之间的关系如下 argzctnyx 当 0 x ra 当 grctn 0 ayyzx 4 三角表示 其中 注 中间一定是 cosinz argz 号 5 指数表示 其中 ize arz 二 复数的运算 1 加减法 若 则1122 zxiyzxiy 121212zxiy 2 乘除法 1 若 则1122 zxiyzxiy 21 121 1212122xiyizi xyxyi 2 若 则121 iiez 1 1212ize 121ize 3 乘幂与方根 1 若 则 cosin izze cosin nnizze 2 若 则i 有 个相异的值 122cossin 0 12 nkkz n 三 复变函数 1 复变函数 在几何上可以看作把 平面上的一 wfz z 个点集 变到 平面上的一个点集 的映射 DG 2 复初等函数 1 指数函数 在 平面处处可导 处处解析 cosinzxey z 且 zze 注 是以 为周期的周期函数 注意与实函数不同 z2i 3 对数函数 多值函数 ln arg2 Lzizk 0 12 主值 单值函数 l 的每一个主值分支 在除去原点及负实轴的 平面内处处Lnzlz z 解析 且 1lz 注 负复数也有对数存在 与实函数不同 3 乘幂与幂函数 0 bLnae 0 bLnze 注 在除去原点及负实轴的 平面内处处解析 且 z 1bz 4 三角函数 sincossin cos t 22ciiziizieezgt 2 在 平面内解析 且sin cozz sincos sinzzz 注 有界性 不再成立 与实函数不同 i1 cos 4 双曲函数 22zzeehh 奇函数 是偶函数 在 平面内解析 且shzcz szc hs 四 解析函数的概念 1 复变函数的导数 1 点可导 0fz 00limzfzf 2 区域可导 在区域内点点可导 f 2 解析函数的概念 1 点解析 在 及其 的邻域内可导 称 在 点解析 fz00z fz0 2 区域解析 在区域内每一点解析 称 在区域内解析 3 若 在 点不解析 称 为 的奇点 fz00z f 3 解析函数的运算法则 解析函数的和 差 积 商 除分母 为零的点 仍为解析函数 解析函数的复合函数仍为解析函数 五 函数可导与解析的充要条件 1 函数可导的充要条件 在 可导 fzuxyiv zxiy 和 在 可微 且在 处满足 条件 uxy v xy CD 3 此时 有 uvfzix 2 函数解析的充要条件 在区域内解析 fzuxyiv 和 在 在 内可微 且满足 条件 uxy v yDCD ux 此时 vfzi 注意 若 在区域 具有一阶连续偏导数 则 uxyvD 在区域 内是可微的 因此在使用充要条件证明时 uxyvD 只要能说明 具有一阶连续偏导且满足 条件时 函数CR 一定是可导或解析的 fziv 3 函数可导与解析的判别方法 1 利用定义 题目要求用定义 如第二章习题 1 2 利用充要条件 函数以 形式给出 如第 fzuxyiv 二章习题 2 3 利用可导或解析函数的四则运算定理 函数 是以 的形 fz 式给出 如第二章习题 3 六 复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念 是光滑曲线 1limnkckfzdfz c 注 复变函数的积分实际是复平面上的线积分 2 复变函数积分的性质 4 1 与 的方向相反 1ccfzdfzd 1c 2 是常数 ccgfzgzd 3 若曲线 由 与 连接而成 则 12 12ccffzdfz 3 复变函数积分的一般计算法 1 化为线积分 常用于理论证明 cccfzduxvdyixuy 2 参数方法 设曲线 其中 对应曲线 的起 ztt c 点 对应曲线 的终点 则 c cfdzftzdt 七 关于复变函数积分的重要定理与结论 1 柯西 古萨基本定理 设 在单连域 内解析 为 内任 fzBcB 一闭曲线 则 0cfzd A 2 复合闭路定理 设 在多连域 内解析 为 内任意一fDcD 条简单闭曲线 是 内的简单闭曲线 它们互不包含互12 n c 不相交 并且以 为边界的区域全含于 内 则c 其中 与 均取正向 cfzd A 1 kncfzd ck 其中 由 及 所组成的复合闭路 0f 1 2 n 3 闭路变形原理 一个在区域 内的解析函数 沿闭曲线D fz 的积分 不因 在 内作连续变形而改变它的值 只要在变形ccD 过程中 不经过使 不解析的奇点 fz 4 解析函数沿非闭曲线的积分 设 在单连域 内解析 fzB 为 在 内的一个原函数 则 GzfB 5 212112 zfdGzzB 说明 解析函数 沿非闭曲线的积分与积分路径无关 计算f 时只要求出原函数即可 5 柯西积分公式 设 在区域 内解析 为 内任一正向简 fzDcD 单闭曲线 的内部完全属于 为 内任意一点 则c0z 002cfzdifz A 6 高阶导数公式 解析函数 的导数仍为解析函数 它的 阶 fz n 导数为 0102 1 2 nncfzidfz A 其中 为 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线 c fzD0 而且它的内部完全属于 7 重要结论 是包含 的任意正向简单闭曲12 0 ncindza Aca 线 8 复变函数积分的计算方法 1 若 在区域 内处处不解析 用一般积分法 fzD cdtzdt 2 设 在区域 内解析 fz 是 内一条正向简单闭曲线 则由柯西 古萨定理 D 0cfzd A 是 内的一条非闭曲线 对应曲线 的起点和终点 则有12 zc 6 2121zcfdfFz 3 设 在区域 内不解析D 曲线 内仅有一个奇点 在 内解c 000102 c nncfzdifzffz A fzc 析 曲线 内有多于一个奇点 内只有一个c cfzd A 1kncfzd ic 奇点 kz 或 留数基本定理 12Re nkkcfdzisfz A 若被积函数不能表示成 则须改用第五章留数定理来 1 nofz 计算 八 解析函数与调和函数的关系 1 调和函数的概念 若二元实函数 在 内有二阶连续偏导 xy D 数且满足 20 xy 为 内的调和函数 xyD 2 解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚部 都是调和函数 并称虚部 fzuiv uv 为实部 的共轭调和函数 v 两个调和函数 与 构成的函数 不一定是解析函数 v fzuiv 但是若 如果满足柯西 uv 黎曼方程 则 一定是解析函数 iv 7 3 已知解析函数 的实部或虚部 求解析函数 的方 fz fzuiv 法 1 偏微分法 若已知实部 利用 条件 得 uxy CR vxy 对 两边积分 得 vuyx vdg 再对 式两边对 求偏导 得 x vudygxx 由 条件 得 可求出 CR uvy uy gx 代入 式 可求得 虚部 uvdygx 2 线积分法 若已知实部 利用 条件可得 uxyCR vudxdyxdy 故虚部为 0 xyc 由于该积分与路径无关 可选取简单路径 如折线 计算它 其 中 与 是解析区域中的两点 0 xy 3 不定积分法 若已知实部 根据解析函数的导数公式 uxy 和 条件得知 CR vfziixy 将此式右端表示成 的函数 由于 仍为解析函数 故 Uz fz 为实常数 fzdc c 注 若已知虚部 也可用类似方法求出实部v u 8 九 复数项级数 1 复数列的极限 1 复数列 收敛于复数 的充要条件 nnaib 1 2 abi 为 同时成立 lim linnb 2 复数列 收敛 实数列 同时收敛 n a 2 复数项级数 1 复数项级数 收敛的充要条件是级数 与 同0 nnaib 0na 0nb 时收敛 2 级数收敛的必要条件是 lim0n 注 复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问 题的讨论 十 幂级数的敛散性 1 幂级数的概念 表达式 或 为幂级数 00 nncz 0ncz 2 幂级数的敛散性 1 幂级数的收敛定理 阿贝尔定理 Abel 如果幂级数 在0ncz 处收敛 那么对满足 的一切 该级数绝对收敛 0z 0z z 如果在 处发散 那么对满足 的一切 级数必发散 0 2 幂级数的收敛域 圆域 幂级数在收敛圆域内 绝对收敛 在圆域外 发散 在收敛圆 的圆周上可能收敛 也可能发散 9 3 收敛半径的求法 收敛圆的半径称收敛半径 比值法 如果 则收敛半径 1lim0nc 1R 根值法 则收敛半径 lin 如果 则 说明在整个复平面上处处收敛 0 R 如果 则 说明仅在 或 点收敛 0 0z 注 若幂级数有缺项时 不能直接套用公式求收敛半径 如 20ncz 3 幂级数的性质 1 代数性质 设 的收敛半径分别为 与 记00 nnazb 1R2 12min R 则当 时 有z 线性运算 000 nnnnabazbz 乘积运算 01000 nn nnz a 2 复合性质 设当 时 当 时 解析r 0nf zR gz 且 gzr 则当 时 R 0 nnfgzagz 3 分析运算性质 设幂级数 的收敛半径为 则0n 0R 其和函数 是收敛圆内的解析函数 0nfza 10 在收敛圆内可逐项求导 收敛半径不变 且 10nfzaz zR 在收敛圆内可逐项求积 收敛半径不变 100z nnafdz z 十一 幂函数的泰勒展开 1 泰勒展开 设函数 在圆域 内解析 则在此圆域内 fz0zR 可以展开成幂级数 并且此展开式是唯 fz 00 nnff 一的 注 若 在 解析 则 在 的泰勒展开式成立的圆域的收敛 fz0 fz0 半径 0Ra 其中 为从 到 的距 最近一个奇点 之间的距离 0z f0za 2 常用函数在 的泰勒展开式 1 2301 nznzze z 2 20nnzz 1 3 3521 210 si n nn zz z 4 242 20 1 co nnnzz 3 解析函数展开成泰勒级数的方法 1 直接法 直接求出 于是 01 nncfz 00nnfzcz 2 间接法 利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算 11 复合运算和逐项求导 逐项求积等方法将函数展开 十二 幂函数的洛朗展开 1 洛朗级数 的概念 含正幂项和负幂项 0nncz 2 洛朗展开定理 设函数 在圆环域 内处处解析 f102Rz 为圆环域内绕 的任意一条正向简单闭曲线 则在此在c0z 圆环域内 有 且展开式唯一 0nnfcz 3 解析函数的洛朗展开法 洛朗级数一般只能用间接法展开 4 利用洛朗级数求围线积分 设 在 内解析 为 fz0rzR c 内的任何一条正向简单闭曲线 则 其0rzR 12cfdzi A 中 为 在 内洛朗展开式中 的系数 1c f0rzR 01z 说明 围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 的系10 z 数 十三 孤立奇点的概念与分类 1 孤立奇点的定义 在 点不解析 但在 的 内 fz0 0z0z 解析 2 孤立奇点的类型 1 可去奇点 展开式中不含 的负幂项 0z 201020fzczcz 2 极点 展开式中含有限项 的负幂项 0z 1 210102000 mmccfz zczz 0 mgz 其中 在 解析 1 100mmgz 0 12 且 0 10mgzc 3 本性奇点 展开式中含无穷多项 的负幂项 0z 101000 mmccfz czzz 十四 孤立奇点的判别方法 1 可去奇点 常数 00lizfc 2 极点 0mz 3 本性奇点 不存在且不为 0lizf 4 零点与极点的关系 1 零点的概念 不恒为零的解析函数 如果能表示成 fz 0 mfzz 其中 在 解析 为正整数 称 为 的 级零点 0 zm 0z fm 2 零点级数判别的充要条件 是 的 级零点0z fm 0 1 2 nmfzn 3 零点与极点的关系 是 的 级零点 是 的 级极0z f 0z 1fm 点 4 重要结论 若 分别是 与 的 级与 级零点 则za z mn 是 的 级零点 An 当 时 是 的 级零点 mn za z 当 时 是 的 z 级极点 nm 13 当 时 是 的可去奇点 mn za z 当 时 是 的 级零点 lmin l 当 时 是 的 级零点 其中n za z l 十五 留数的概念 1 留数 的定义 设 为 的孤立奇点 在 的去心邻域0z f fz0 内解析 为该域内包含 的任一正向简单闭曲线 则0z c0z 称积分 为 在 的留数 或残留 记作 2cfzdi A fz0 0Re sfz 1cfi 2 留数的计算方法 若 是 的孤立奇点 则 其中 为0z f 0Re sfz 1c 1c 在 的去心邻域内洛朗展开式中 的系数 fz 1 1 可去奇点处的留数 若 是 的可去奇点 则0z f 0Re sfz 2 级极点处的留数m 法则 I 若 是 的 级极点 则0z fm 0Re sf 010li mzdzfz 特别地 若 是 的一级极点 则0 f 0Re sfz 0lim zfz 注 如果极点的实际级数比 低 上述规则仍然有效 法则 II 设 在 解析 PzfQ z0 0 Pz 则00 z 00Re sQzz 十六 留数基本定理 14 设 在区域 内除有限个孤立奇点 外处处解析 fzD12 nz 为 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 则cD 12Re ncnfzdisfz A 说明 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数 在 内各孤立奇点处留数的局部问题 fzc 积分变换复习提纲 一 傅里叶变换的概念 jwtFftfedF 12jtft 二 几个常用函数的傅里叶变换 1 Fetj utj 1Ft 2 三 傅里叶变换的性质 15 位移性 时域 00 jwtFfte Ff 位移性 频域 00 jwt w 位移性推论 0 01 sin 2tfj 位移性推论 000co FtfF 微分性 时域 jw tft nnFftjw 1 ntft 微分性 频域 nnFjtFjtfFw 相似性 1 fat 0 a 四 拉普拉斯变换的概念 0 stLftfedF 五 几个常用函数的拉普拉斯变换 1 ktes 是自然数 11 mmLts 2 uts 1L 2 2 sin cos ktLkt hh 设 则 是以 为周期的周 ftTft 01 Tsftftde ftT 期函数 六 拉普拉斯变换的性质 微分性 时域 2 0 0 LftsFfLftsFf 16 微分性 频域 LtfFs nnLtfFs 积分性 时域 0tfd 积分性 频域 收敛 sftLF 位移性 时域 atefa 位移性 频域 st 0 0tft 相似性 1 sLfatF 0 七 卷积及卷积定理 1212 ftftd FftFw 1212 Lfts 八 几个积分公式 0 ftdf t 16000 ftLfsFds kt skfedt