北师大版九年级上册相似总结相似模型1

1 相似模型 一 讲义 课前预习 1 请证明以下结论 如图 1 在 ABC 中 DE BC 求证 ADE ABC 如图 2 在 ABC 中 B AED 求证 AED ABC 如图 3 在 ABC 中 B ACD 求证 ACD ABC 如图 4 直线 AB CD 相交于点 O 连接 AC BD 且 AC BD 求证 AOC BOD 如图 5 直线 AB CD 相交于点 O 连接 AC BD B C 求 证 AOC DOB 如图 6 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 于点 D 求证 ADB CDA ADB CAB CBCBB CDEA DAEDA 图 1 图 2 图 3 ADB CODBAC CAODB 图 4 图 5 图 6 2 AD 是 Rt ABC 斜边上的高 知识点睛 1 六种相似基本模型 CBCBB CDEA DAEDA DE BC B AED B ACD A 型 ADB CODBACCAODB 1 相似 角相等 比例线段间的关系 比 的 传 递 转 移列 方 程 或 表 达 边 比 例 线 段角 相 等性 质相 似判 定比 例 线 段角 相 等 相似往往与 等信息组合搭配起来使用 多个相似之间 一般会通过 来转移条件 一般碰到不熟悉的线段 间关系时 常需要还原成 来观察和分析 X 型 母子型 B CAC BD 当两个三角形相似且有公共边时 借助对应边成比例往往可以得到 a2 bc 形 式的关系 例如 母子型 中 ABD CBA AB 2 BC BD ACD BCA ADB CDA 3 2 影子上墙 是影子上墙时的 三种常见处理方式 它们的实质是构造三角形相似 精讲精 练 1 如图 在 ABC 中 EF DC AFE B AE 6 ED 3 AF 8 则 AC CDB FED CBA 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2 如图 AB CD 线段 BC AD 相交于点 F 点 E 是线段 AF 上一点且 满足 BEF C 其中 AF 6 DF 3 CF 2 则 AE 3 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D BD 2 AD 8 则 CD AC BC 4 如图 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起 A 为公共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC 固定不动 AFG 绕点 A 旋转 AF AG 与边 BC 的交点分别为 D E 点 D 不与点 B 重合 点 E 不与 DEH ABC DHG ABC HEF ABC CBAGFED HGFEDDEFGHHGFED A BDC BCDEFA 4 点 C 重合 请写出图中所有的相似三角形 若 BD 则 CE 12 4 如图 M 为线段 AB 上一点 AE 与 BD 交于点 C DME A B 且 DM 交 AE 于点 F ME 交 BD 于点 G 1 写出图中的三对相似三角形 2 连接 FG 当 AM MB 时 求证 MFG BMG G A B CD E F M GFED CBA 5 5 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O E 为 AD 的中 点 连接 BE 交 AC 于点 F 连接 FD 若 BFA 90 给出以下三对 三角 形 BEA 与 ACD FED 与 DEB CFD 与 ABO 其 中相 似的有 填写序号 6 如图 在 ABC 中 ACB 90 CE AB 于点 E D 在 AB 的延长线 上 且 DCB A BD CD 1 2 则 BCD 的面积是 45A A B C D 1353323 DBECA 7 如图 在 Rt ABD 中 过点 D 作 CD BD 垂足为 D 连接 BC 交 AD 于点 E 过点 E 作 EF BD 于点 F 若 AB 15 CD 10 则 BF FD FEB CDA NME DCBA 第 8 题图 第 9 题图 8 如图 在 ABCD 中 E 为 BC 的中点 连接 AE AC 分别交 BD 于 M N 则 BM DN OFED CBA 6 9 如图 直线 l1 l 2 若 AF FB 2 3 BC CD 2 1 则 CE AE GFE DCBA l1l2 A B CDEFG 第 10 题图 第 11 题图 10 如图 在 ABCD 中 E 是 BA 延长线上一点 CE 分别与 AD BD 交 于点 G F 则下列结论 其中EAC F CGD 2FGE 正确的是 11 如图所示 AB CD AD BC 相交于点 E 过 E 作 EF AB 交 BD 于 点 F 则下列结论 EFD ABD BC 其中正确的有1EDBFABC 1ADF FEDCBA 图1 FEDCBA图212 如图 在 ABC 中 CD AB 于点 D 正方形 EFGH 的四个顶点都在 ABC 的边上 求证 1ACE HGFEDCBA 7 13 数学兴趣小组想测量一棵树的高度 在阳光下 一名同学测得一根长 为 1 米的竹竿的影长为 0 8 米 同时另一名同学测量一棵树的高度时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分影子落在教学楼的墙壁上 如图 这部分影长为 1 2 米 落在地面上的影长为 2 4 米 则树高 为 ABCD 第 14 题图 第 15 题图 14 小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上 量得 CD 8 米 BC 20 米 CD 与地面成 30 角 且此时测得 1 米杆的影长 为 2 米 则电线杆的高度为 A 9 米 B 28 米 C 米 D 米 73 1423 15 如图 在斜坡的顶部有一铁塔 AB B 是 CD 的中点 CD 是水平的 在阳光的照射下 塔影 DE 留在坡面上 若铁塔底座宽 CD 12 m 塔 影长 DE 18 m 小明和小华的身高都是 1 6 m 同一时刻小明站在点 E 处 影子在坡面上 小华站在平地上 影子也在平地上 两人的影长分别为 2 m 和 1 m 则塔高 AB 为 A 24 m B 22 m C 20 m D 18 m 8 BA DCGFEDBCA 15 题图 16 题图 16 如图 在 ABC 中 D 为 AC 边的中点 AE BC ED 交 AB 于点 G 交 BC 的延长线于点 F 若 BG GA 3 1 BC 10 则 AE 17 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC 8 B 30 P 为底边 BC 上 一点 且 BP D 为 AC 上一点 若 APD 30 则3 AD 18 如图 在 ABCD 中 E 是 AD 延长线上一点 BE 分别与 AC CD 交 于点 G F 求证 ACFB G F ED CB A CA EDB 30 PDCB A 9 19 如图 在 ABC 中 延长 BC 至点 D 使 CD BC 取 AB 的中点 F 连 接 FD 交 AC 于点 E 求 的值 ACFE DCBA 10 参考答案 知识点睛 1 角相等 比例线段 比例的传递与整合 比例形式 2 推墙法 抬高地面法 砍树法 框内答案 框 1 2ACBD 2ACB 精讲精练 1 12 34 2 10 3 4 52 4 ABE DAE DAC DEA ABE DCA ABC GAF 3 5 1 AMF BGM AME MFE BMD MGD 2 证明略 6 7 A 8 3 2 9 2 3 10 1 2 11 11 12 13 证明略 14 4 2 米 15 D 16 A