初中数学-二次函数和一元二次方程-习题及解析

2010 年 默认标题 2011 年 8 月 3 日 2011 菁优网 菁优网 Http 2010 箐优网 一 选择题 共 15 小题 1 2011 山西 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 对称轴为直线 x 1 则下列结 论正确的是 A ac 0 B 方程 ax2 bx c 0 的两根是 x1 1 x 2 3 C 2a b 0 D 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 2 2010 梧州 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 那么下列判断不正确的是 A ac 0 B a b c 0 C b 4a D 关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的根是 x1 1 x 2 5 3 2001 湖州 已知抛物线 y ax2 bx c 中 4a b 0 a b c 0 抛物线与 x 轴有两个不同 的交点 且这两个交点之间的距离小于 2 则下列判断错误的是 A abc 0 B c 0 C 4a c D a b c 0 4 抛物线 y ax2 bx c 在 x 轴的下方 则所要满足的条件是 A a 0 b 2 4ac 0 B a 0 b 2 4ac 0 C a 0 b2 4ac 0 D a 0 b 2 4ac 0 5 如图所示 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过点 1 2 且与 x 轴交点的横坐标 分别为 x1 x 2 其中 2 x 1 1 0 x 2 1 下列结论 abc 0 4a 2b c 0 菁优网 Http 2010 箐优网 2a b 0 b2 8a 4ac 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 已知 a b c 且 a b c 0 则二次函数 y ax2 bx c 的图象可能是下列图象中的 A B C D 7 已知 y1 a1x2 b1x c1 y 2 a2x2 b2x c2 且满 足 则称抛物线 y1 y 2 互为 友好抛物线 则下 1 2 1 2 1 2 0 1 列关于 友好抛物线 的说法不正确的是 A y 1 y 2 开口方向 开口大小不一定相同 B 因为 y1 y 2 的对称轴相同 C 如果 y2 的最值为 m 则 y1 的最值为 km D 如果 y2 与 x 轴的两交点间距离 为 d 则 y1 与 x 轴的两交点间距离为 k d 8 已知二次函数的 y ax2 bx c 图象是由 的图象经过平移而得到 若图象与 x 轴 12 2 交于 A C 1 0 两点 与 y 轴交于 D 0 顶点为 B 则四边形 ABCD 的面积为 52 A 9 B 10 C 11 D 12 9 2005 浙江 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 一个解的范围是 x 3 23 3 24 3 25 3 26 菁优网 Http 2010 箐优网 ax2 bx c 0 06 0 02 0 03 0 09 A 3 x 3 23 B 3 23 x 3 24 C 3 24 x 3 25 D 3 25 x 3 26 10 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解 x 的范围是 A 8 x 9 B 9 x 10 C 10 x 11 D 11 x 12 11 如图 已知二次函数 y ax2 bx c 的部分图象 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 1 6 x 2 A 1 6 B 3 2 C 4 4 D 以上都不对 12 2011 无锡 如图 抛物线 y x2 1 与双曲线 y 的交点 A 的横坐标是 1 则关于 x 的 不等式 x2 1 0 的解集是 A x 1 B x 1 C 0 x 1 D 1 x 0 13 2005 中原区 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则关于 x 的不等式 bx a 0 的解集是 菁优网 Http 2010 箐优网 A x B x C x D x 14 方程 7x2 k 13 x k 2 k 2 0 k 是实数 有两个实根 且 0 1 1 2 那 么 k 的取值范围是 A 3 k 4 B 2 k 1 C 3 k 4 或 2 k 1 D 无解 15 对于整式 x2 和 2x 3 请你判断下列说法正确的是 A 对于任意实数 x 不等式 x2 2x 3 都成立 B 对于任意实数 x 不等式 x2 2x 3 都成立 C x 3 时 不等式 x2 2x 3 成立 D x 3 时 不等式 x2 2x 3 成立 二 解答题 共 7 小题 16 已知抛物线 y x2 2px 2p 2 的顶点为 M 1 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点 2 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A B 求实数 p 的值使 ABM 面积达到最小 17 已知 二次函数 y 2m 1 x 2 5m 3 x 3m 5 1 m 为何值时 此抛物线必与 x 轴相交于两个不同的点 2 m 为何值时 这两个交点在原点的左右两边 3 m 为何值时 此抛物线的对称轴是 y 轴 4 m 为何值时 这个二次函数有最大值 54 18 已知下表 1 求 a b c 的值 并在表内空格处填入正确的数 2 请你根据上面的结果判断 是否存在实数 x 使二次三项式 ax2 bx c 的值为 0 若存在 求出这个实数值 若不存 在 请说明理由 画出函数 y ax2 bx c 的图象示意图 由图象确定 当 x 取什么实数时 ax 2 bx c 0 19 2005 滨州 请将下表补充完整 菁优网 Http 2010 箐优网 利用你在填上表时获得的结论 解不等式 x 2 2x 3 0 利用你在填上表时获得的结论 试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式 试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 时的解 题步骤 20 已知二次函数 y ax2 bx c a b c 均为实数且 a 0 满足条件 对任意实数 x 都有 y 2x 且当 0 x 2 时 总有 y 成立 12 1 2 1 求 a b c 的值 2 求 a b c 的取值范围 21 2007 贵阳 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 2 写出不等式 ax2 bx c 0 的解集 3 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 4 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 菁优网 Http 2010 箐优网 22 阅读材料 解答问题 例 用图象法解一元二次不等式 x 2 2x 3 0 解 设 y x2 2x 3 则 y 是 x 的二次函数 a 1 0 抛物线开口向上 又 当 y 0 时 x 2 2x 3 0 解得 x1 1 x 2 3 由此得抛物线 y x2 2x 3 的大致图象如图所 示 观察函数图象可知 当 x 1 或 x 3 时 y 0 x 2 2x 3 0 的解集是 x 1 或 x 3 1 观察图象 直接写出一元二次不等式 x 2 2x 3 0 的解集是 2 仿照上例 用图象法解一元二次不等式 x 2 5x 6 0 画出大致图象 三 填空题 共 4 小题 23 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 x 1 x 2 2 写出不等式 ax2 bx c 0 的解集 3 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 4 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 菁优网 Http 2010 箐优网 24 2010 日照 如图是抛物线 y ax2 bx c 的一部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴 一交点为 B 3 0 则由图象可知 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 25 二次函数 y ax2 bx c 和一次函数 y mx n 的图象如图所示 则 ax2 bx c mx n 时 x 的 取值范围是 26 如图 已知函数 y ax2 bx c 与 y 的图象交于 A 4 1 B 2 2 C 1 4 三 点 根据图象可求得关于 x 的不等式 ax2 bx c 的解集为 菁优网 Http 2010 箐优网 答案与评分标准 一 选择题 共 15 小题 1 2011 山西 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 对称轴为直线 x 1 则下列结 论正确的是 A ac 0 B 方程 ax2 bx c 0 的两根是 x1 1 x 2 3 C 2a b 0 D 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 专题 计算题 分析 根据抛物线的开口方向 对称轴 与 x 轴 y 轴的交点 逐一判断 解答 解 A 抛物线开口向下 与 y 轴交于正半轴 a 0 c 0 ac 0 故本选项错 误 B 抛物线对称轴是 x 1 与 x 轴交于 3 0 抛物线与 x 轴另一交点为 1 0 即方 程 ax2 bx c 0 的两根是 x1 1 x 2 3 故本选项正确 C 抛物线对称轴为 x 1 2a b 0 故本选项错误 2 D 抛物线对称轴为 x 1 开口向下 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 故本选项错误 故选 B 点评 本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系 关键是会利用对称轴的值求 2a 与 b 的关系 对称轴与开口方向确定增减性 以及二次函数与方程之间的转换 2 2010 梧州 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 那么下列判断不正确的是 A ac 0 B a b c 0 C b 4a D 关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的根是 x1 1 x 2 5 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 菁优网 Http 2010 箐优网 分析 由抛物线的开口方向判断 a 的符号 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号 然后根 据抛物线与 x 轴交点及 x 1 时二次函数的值的情况进行推理 进而对所得结论进行判断 解答 解 A 该二次函数开口向下 则 a 0 抛物线交 y 轴于正半轴 则 c 0 所以 ac 0 正确 B 由于抛物线过 1 0 则有 a b c 0 错误 C 由图象知 抛物线的对称轴为 x 2 即 b 4a 正确 2 D 抛物线与 x 轴的交点为 1 0 5 0 故方程 ax2 bx c 0 的根是 x1 1 x 2 5 正 确 故选 B 点评 由图象找出有关 a b c 的相关信息以及抛物线的交点坐标 会利用特殊值代入法 求得特殊的式子 如 y a b c y a b c 然后根据图象判断其值 3 2001 湖州 已知抛物线 y ax2 bx c 中 4a b 0 a b c 0 抛物线与 x 轴有两个不同 的交点 且这两个交点之间的距离小于 2 则下列判断错误的是 A abc 0 B c 0 C 4a c D a b c 0 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 分析 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而对所得结论进行判断 解答 解 4a b 0 抛物线的对称轴为 x 2 2 a b c 0 当 x 1 时 y 0 抛物线与 x 轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于 2 抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标位于 3 与 1 之间 b 2 4ac 0 16a2 4ac 4a 4a c 0 据条件得图象 菁优网 Http 2010 箐优网 a 0 b 0 c 0 abc 0 4a c 0 4a c 当 x 1 时 y a b c 0 故选 A 点评 此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系 解题的关键是注意数形结合思想的 应用 4 抛物线 y ax2 bx c 在 x 轴的下方 则所要满足的条件是 A a 0 b 2 4ac 0 B a 0 b 2 4ac 0 C a 0 b2 4ac 0 D a 0 b 2 4ac 0 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 分析 抛物线在 x 轴下方 即可知开口向下 a 0 且与 x 轴没有交点 0 解答 解 抛物线 y ax2 bx c 在 x 轴的下方 由二次函数图象与系数关系知 a 0 且与 x 轴没有交点 即所对应二次方程没有解 b2 4ac 0 故选 A 点评 本题考查了二次函数图象与系数关系 即与一元二次方程关系 5 如图所示 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过点 1 2 且与 x 轴交点的横坐标 分别为 x1 x 2 其中 2 x 1 1 0 x 2 1 下列结论 abc 0 4a 2b c 0 2a b 0 b2 8a 4ac 其中正确的有 菁优网 Http 2010 箐优网 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 分析 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而对所得结论进行判断 解答 解 当 x 2 时 y 4a 2b c 0 正确 根据题意得 对称轴 1 x 0 2a b 0 正确 2 根据题意知 1 a b c 2 2 4a 2b c 0 3 a b c 0 由 1 2 消去 b 可得 4 2a c 4 由 1 3 消去 b 可得 5 a c 1 4 5 消去 c 可得 3a 3 所以 a 1 正确 2 a 0 4 24 4ac b2 8a 即 b2 8a 4ac 正确 故选 D 点评 本题考查二次函数 y ax2 bx c 系数符号的确定由抛物线开口方向 对称轴 抛物线 与 y 轴的交点 抛物线与 x 轴交点的个数确定 6 已知 a b c 且 a b c 0 则二次函数 y ax2 bx c 的图象可能是下列图象中的 A B 菁优网 Http 2010 箐优网 C D 考点 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象上点的坐标特征 抛物线与 x 轴的交点 专题 推理填空题 分析 由 a b c 且 a b c 0 确定 a 0 c 0 与 x 轴交点一个是 1 0 采取排除 法即可选出所选答案 解答 解 A 由图知 a 0 1 c o 即 b 0 2 已知 a b c 故本选项错误 B 由图知 a 0 而已知 a b c 且 a b c 0 必须 a 0 故本选项错误 C 图 C 中条件满足 b c 且 a b c 0 故本选项正确 D a b c 0 即当 x 1 时 a b c 0 与图中与 X 轴的交点不符 故本选项错误 故选 C 点评 本题主要考查了二次函数的性质 点的坐标特点等知识点 灵活运用性质进行说理 是解此题的关键 题型较好 7 已知 y1 a1x2 b1x c1 y 2 a2x2 b2x c2 且满 足 则称抛物线 y1 y 2 互为 友好抛物线 则下 1 2 1 2 1 2 0 1 列关于 友好抛物线 的说法不正确的是 A y 1 y 2 开口方向 开口大小不一定相同 B 因为 y1 y 2 的对称轴相同 C 如果 y2 的最值为 m 则 y1 的最值为 km D 如果 y2 与 x 轴的两交点间距离 为 d 则 y1 与 x 轴的两交点间距离为 k d 考点 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数的最值 抛物线与 x 轴的交点 专题 推理填空题 新定义 分析 根据友好抛物线的条件 a 1 a 2 的符号不一定相同 即可得到开口方向 开口大小 不一定相同 代入对称轴 和 即可判断 B C 根据根与系数的关系求出与 X 轴的 2 4 24 两交点的距离 g e 和 d m 即可判断 D 解答 解 由已知可知 a 1 ka2 b 1 kb2 c 1 kc2 A 根据友好抛物线的条件 a 1 a 2 的符号不一定相同 所以开口方向 开口大小不一定相 同 故本选项错误 B 因为 k 代入 得到对称轴相同 故本选项错误 1 2 1 2 2 菁优网 Http 2010 箐优网 C 因为如果 y2 的最值是 m 则 y1 的最值是 k km 故本选项错误 4 1 1 124 1 4 2 2 224 2 D 因为设直线 y1 于 X 轴的交点坐标是 e f g h 则 e g eg 直线 y2 于 X 1 1 1 1 轴的交点坐标是 m n d p 则 m d md 可求得 g e d m 所以这种 2 2 2 2 说法不对 故本选项正确 故选 D 点评 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征 抛物线于 X 轴的交点 二次函数的 最值等知识点解此题的关键是能根据友好抛物线的条件进行判断 8 已知二次函数的 y ax2 bx c 图象是由 的图象经过平移而得到 若图象与 x 轴 12 2 交于 A C 1 0 两点 与 y 轴交于 D 0 顶点为 B 则四边形 ABCD 的面积为 52 A 9 B 10 C 11 D 12 考点 待定系数法求二次函数解析式 抛物线与 x 轴的交点 专题 综合题 分析 由题意先得 a 然后把 C 1 0 D 0 代入解析式得到 b 3 则 y x2 3x 12 52 12 令 y 0 得 x2 3x 0 得点坐标为 5 0 AC 1 5 4 计算 52 12 52 3 2 得到顶点 B 的坐标为 3 2 所以 S 四边形 ABCD S ACB S ACD 2 4 24 即可得到四边形 ABCD 的面积 解答 解 由题意得 a 12 y x2 bx c 12 又 抛物线过 C 1 0 D 0 52 b c 0 c 12 52 b 3 y x2 3x 12 52 则 3 2 所以顶点 B 的坐标为 3 2 2 4 24 菁优网 Http 2010 箐优网 令 y 0 得 x2 3x 0 解得 x1 1 x 2 5 则 A 点坐标为 5 0 AC 1 5 4 12 52 如图 S 四边形 ABCD S ACB S ACD 4 2 4 9 12 12 52 故选 A 点评 本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式 二次函数的一般式 y ax2 bx c a 0 同时考查了求抛物线与 x 轴交点坐标的方法以及顶点的坐标 考查了在 坐标系中求几何图形面积的方法 9 2005 浙江 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 一个解的范围是 x 3 23 3 24 3 25 3 26 ax2 bx c 0 06 0 02 0 03 0 09 A 3 x 3 23 B 3 23 x 3 24 C 3 24 x 3 25 D 3 25 x 3 26 考点 图象法求一元二次方程的近似根 分析 根据函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2 bx c 0 的根 再根据函数的 增减性即可判断方程 ax2 bx c 0 一个解的范围 解答 解 函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2 bx c 0 的根 函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0 由表中数据可知 y 0 在 y 0 02 与 y 0 03 之间 对应的 x 的值在 3 24 与 3 25 之间即 3 24 x 3 25 故选 C 点评 掌握函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点与方程 ax2 bx c 0 的根的关系是解决此题 的关键所在 10 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解 x 的范围是 A 8 x 9 B 9 x 10 C 10 x 11 D 11 x 12 考点 图象法求一元二次方程的近似根 分析 根据表格知道 8 x 12 y 随 x 的增大而增大 而 0 38 0 1 2 由此即可推出方 程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解 x 的范围 解答 解 依题意得当 8 x 12 y 随 x 的增大而增大 菁优网 Http 2010 箐优网 而 0 38 0 1 2 方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解 x 的范围是 10 x 11 故选 C 点评 此题主要考查了抛物线的增减性 利用抛物线的增减来确定抛物线与 x 轴交点的坐 标的可能位置 11 如图 已知二次函数 y ax2 bx c 的部分图象 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 1 6 x 2 A 1 6 B 3 2 C 4 4 D 以上都不对 考点 图象法求一元二次方程的近似根 分析 根据图象知道抛物线的对称轴为 x 3 根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求 出 x2 解答 解 由抛物线图象可知其对称轴为 x 3 又抛物线是轴对称图象 抛物线与 x 轴的两个交点关于 x 3 对称 而关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 x 2 那么两根满足 2 3 x1 x2 而 x1 1 6 x2 4 4 故选 C 点评 此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与 x 轴交点坐标 此题还要利 用中点公式 12 2011 无锡 如图 抛物线 y x2 1 与双曲线 y 的交点 A 的横坐标是 1 则关于 x 的 不等式 x2 1 0 的解集是 A x 1 B x 1 C 0 x 1 D 1 x 0 菁优网 Http 2010 箐优网 考点 二次函数与不等式 组 专题 数形结合 分析 根据图形双曲线 y 与抛物线 y x2 1 的交点 A 的横坐标是 1 即可得出关于 x 的不 等式 x2 1 0 的解集 解答 解 抛物线 y x2 1 与双曲线 y 的交点 A 的横坐标是 1 关于 x 的不等式 x2 1 0 的解集是 1 x 0 故选 D 点评 本题主要考查了二次函数与不等式 解答此题时 利用了图象上的点的坐标特征来 解双曲线与二次函数的解析式 13 2005 中原区 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则关于 x 的不等式 bx a 0 的解集是 A x B x C x D x 考点 二次函数与不等式 组 分析 由已知图象开口方向向下可以知道 a 0 对称轴 x 0 进一步得到 b 0 从 2 而可以确定不等式 bx a 0 的解集 解答 解 二次函数 y ax2 bx c 的图象开口方向向下 a 0 而对称轴 x 0 2 b 0 故不等式 bx a 0 的解集是 x 故选 A 点评 解答此题的关键是求出对称轴 判断开口方向 然后结合图象判断字母的符号 求 不等式的解集 本题锻炼了学生数形结合的思想方法 14 方程 7x2 k 13 x k 2 k 2 0 k 是实数 有两个实根 且 0 1 1 2 那 么 k 的取值范围是 A 3 k 4 B 2 k 1 菁优网 Http 2010 箐优网 C 3 k 4 或 2 k 1 D 无解 考点 二次函数与不等式 组 专题 计算题 分析 记 f x 7x 2 k 13 x k2 k 2 由题意可得 f 0 0 f 1 0 f 2 0 解之即可得出答案 解答 解 记 f x 7x 2 k 13 x k 2 k 2 由题意得 0 2 2 0 1 2 2 8 0 2 2 3 0 3 4或 2 1 k 的取值范围是 3 k 4 或 2 k 1 故选 C 点评 本题考查了二次函数与不等式组 难度适中 关键是根据已知条件列出不等式组进 行求解 15 对于整式 x2 和 2x 3 请你判断下列说法正确的是 A 对于任意实数 x 不等式 x2 2x 3 都成立 B 对于任意实数 x 不等式 x2 2x 3 都成立 C x 3 时 不等式 x2 2x 3 成立 D x 3 时 不等式 x2 2x 3 成立 考点 二次函数与不等式 组 专题 证明题 分析 根据 x2 2x 3 可化为 x 1 2 4 当 x 1 2 4 0 时 可得出 x 1 或 3 根据 x 的范围 可得出 x2 与 2x 3 的大小关系 解答 解 x 2 2x 3 x 1 2 4 当 x 1 2 4 0 时 x 1 或 3 x 3 时假设 x 2 则不等式 x2 2x 3 不成立 故选 D 点评 本题考查了二次函数与不等式组 解决问题的关键是将二次三项式配方 二 解答题 共 7 小题 16 已知抛物线 y x2 2px 2p 2 的顶点为 M 1 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点 2 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A B 求实数 p 的值使 ABM 面积达到最小 考点 抛物线与 x 轴的交点 专题 探究型 分析 1 先判断出 的符号即可得出结论 菁优网 Http 2010 箐优网 2 设 A x 1 0 B x 2 0 利用两点间的距离公式即可得出 AB 的表达式 设顶点 M a b 再把原式化为顶点式的形式 即可得到 b p 1 2 1 根据二次函数的最值及 三角形的面积公式即可解答 解答 解 1 4p2 8p 8 4 p 1 2 4 0 抛物线与 x 轴必有两个不同交点 2 设 A x 1 0 B x 2 0 则 AB 2 x2 x1 2 x 1 x2 2 4x1x2 2 4p2 8p 8 2 4 p 1 2 4 2 AB 2 1 2 1 又设顶点 M a b 由 y x p 2 p 1 2 1 得 b p 1 2 1 当 p 1 时 b 及 AB 均取最小 此时 S ABM AB b 取最小值 1 12 点评 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题 涉及到的知识点为 根的判别式 两点间 的距离公式 二次函数的顶点式及三角形的面积 熟知以上知识是解答此题的关键 17 已知 二次函数 y 2m 1 x 2 5m 3 x 3m 5 1 m 为何值时 此抛物线必与 x 轴相交于两个不同的点 2 m 为何值时 这两个交点在原点的左右两边 3 m 为何值时 此抛物线的对称轴是 y 轴 4 m 为何值时 这个二次函数有最大值 54 考点 抛物线与 x 轴的交点 二次函数的最值 专题 计算题 分析 1 若抛物线必与 x 轴相交于两个不同的点 则 0 且 2m 1 0 2 若抛物线与 x 轴的两个交点在原点的左右两边 则需 0 即可 3 若抛物线的对称轴是 y 轴 则 b 0 4 根据 a 0 时 二次函数的最大值是 进行求解 4 24 解答 解 1 5m 3 2 4 2m 1 3m 5 m 2 2m 29 0 当 时 此抛物线必与 x 轴相交于两个不同的点 12 菁优网 Http 2010 箐优网 2 根据题意 得 0 3 52 1 则 35 12 3 根据题意 得 3m 5 0 则 35 4 根据题意 得 2 2 29 4 2 1 54 化简 得 m2 8m 34 0 此方程无实数根 则不存在 点评 此题考查了二次函数的图象与一元二次方程之间的联系 同时要熟悉抛物线的顶点 坐标公式 18 已知下表 1 求 a b c 的值 并在表内空格处填入正确的数 2 请你根据上面的结果判断 是否存在实数 x 使二次三项式 ax2 bx c 的值为 0 若存在 求出这个实数值 若不存 在 请说明理由 画出函数 y ax2 bx c 的图象示意图 由图象确定 当 x 取什么实数时 ax 2 bx c 0 考点 二次函数与不等式 组 专题 图表型 分析 1 设函数的解析式为 y ax2 bx c 由图中表格知 当 x 0 时 y 3 当 x 2 时 y 3 函数对抽为 x 1 根据待定系数法求出函数的解析式 从而求解 2 根据方程的 与 0 的关系来判断是否存在 根据五点作图法画出二次函数的图象 从 而求解 解答 解 1 由表知 当 x 0 时 ax 2 bx c 3 当 x 1 时 ax 2 1 当 x 2 时 ax2 bx c 3 菁优网 Http 2010 箐优网 3 1 4 2 3 1 2 3 a 1 b 2 c 3 函数解析式为 y x 2 2x 3 表格中的空格填 0 4 2 2 在 x2 2x 3 0 中 2 2 4 1 3 8 0 不存在实数 x 能使 ax2 bx c 0 函数 y x2 2x 3 的图象示意图如答图所示 观察图象得出 无论 x 取什么实数总有 ax2 bx c 0 点评 1 第一问主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式 2 第二问主要考查一元二次方程与函数的关系及二次函数的图象 函数与 x 轴的交点的 横坐标就是方程的根 若方程无根说明函数与 x 轴无交点 其图象在 x 轴上方或下方 两 者互相转化 要充分运用这一点来解题 19 2005 滨州 请将下表补充完整 菁优网 Http 2010 箐优网 利用你在填上表时获得的结论 解不等式 x 2 2x 3 0 利用你在填上表时获得的结论 试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式 试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 时的解 题步骤 考点 二次函数与不等式 组 专题 开放型 分析 解一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 实质上就是求抛物线图象在 x 轴上方时 自 变量的取值范围 抛物线开口方向及与 x 轴的交点情况就决定了函数值什么情况下大于 0 即 ax2 bx c 0 解答 解 菁优网 Http 2010 箐优网 由原不等式 得 x2 2x 3 0 4 12 0 解方程 x2 2x 3 0 得不相等的两个实数根分别为 x1 3 x2 1 a 1 0 原不等式的解集为 x 3 或 x 1 若画出函数 y x2 2x 3 的图象 并标出与 x 轴的交点坐标而得解集的 同样可以 如 x2 x 1 0 等 只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可 1 先把二次项系数化为正数 2 求判别式的值 3 求方程 ax2 bx c 0 的实数根 4 写出一元二次不等式的解集 点评 主要考查了二次函数的性质与一元二次不等式之间的关系 以及图象与 x 轴的位置 关系 这些性质和规律要求掌握 20 已知二次函数 y ax2 bx c a b c 均为实数且 a 0 满足条件 对任意实数 x 都有 y 2x 且当 0 x 2 时 总有 y 成立 12 1 2 1 求 a b c 的值 2 求 a b c 的取值范围 菁优网 Http 2010 箐优网 考点 二次函数与不等式 组 专题 综合题 分析 1 由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点 就可 以求出答案 2 在已知条件下令 x 1 就能求出取值范围 解答 解 1 由题意可知对任意实数 x 都有 y 2x 当 x 1 时 y 2 且当 0 x 2 时 总 有 y 成立 12 1 2 故当 x 1 y 2 当 x 1 时 y 2 故二次函数 y ax2 bx c 经过 1 2 点 a b c 2 2 二次函数 y ax2 bx c 对任意实数 x 都有 y 2x 当 x 1 时 a b c 2 故 a b c 2 点评 本题主要考查一元二次函数的性质 以及函数的图象问题 这是一道思维性很强的 题 有很多同学思考不到位 21 2007 贵阳 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 2 写出不等式 ax2 bx c 0 的解集 3 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 4 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 考点 抛物线与 x 轴的交点 二次函数与不等式 组 分析 1 看二次函数与 x 轴交点的横坐标即可 2 看 x 轴上方的二次函数的图象相对应的 x 的范围即可 3 在对称轴的右侧即为 y 随 x 的增大而减小 4 得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可 解答 解 1 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 可得 x1 1 x 2 3 2 分 2 依题意因为 ax2 bx c 0 得出 x 的取值范围为 1 x 3 2 分 3 如图可知 当 y 随 x 的增大而减小 自变量 x 的取值范围为 x 2 2 分 4 由顶点 2 2 设方程为 a x 2 2 2 0 菁优网 Http 2010 箐优网 二次函数与 x 轴的 2 个交点为 1 0 3 0 a 2 抛物线方程为 y 2 x 2 2 2 y 2 x 2 2 2 k 实际上是原曲线下移 k 个单位 有图形知 当 k 2 时 曲线与 x 轴有两个交点 故 k 2 4 分 点评 本题考查的是二次函数的图象与实际应用的综合题 采用数形结合的方法可使问题 简化 22 阅读材料 解答问题 例 用图象法解一元二次不等式 x 2 2x 3 0 解 设 y x2 2x 3 则 y 是 x 的二次函数 a 1 0 抛物线开口向上 又 当 y 0 时 x 2 2x 3 0 解得 x1 1 x 2 3 由此得抛物线 y x2 2x 3 的大致图象如图所 示 观察函数图象可知 当 x 1 或 x 3 时 y 0 x 2 2x 3 0 的解集是 x 1 或 x 3 1 观察图象 直接写出一元二次不等式 x 2 2x 3 0 的解集是 1 x 3 2 仿照上例 用图象法解一元二次不等式 x 2 5x 6 0 画出大致图象 考点 二次函数与不等式 组 专题 计算题 分析 1 观察图象即可写出一元二次不等式 x2 2x 3 0 的解集 2 先设函数解析式 根据 a 的值确定抛物线的开口向上 再找出抛物线与 x 轴相交的两 点 就可以画出抛物线 根据 y 0 确定一元二次不等式 x2 2x 3 0 的解集 解答 解 1 观察图象 可得一元二次不等式 x2 2x 3 0 的解集是 菁优网 Http 2010 箐优网 1 x 3 2 设 y x2 5x 6 则 y 是 x 的二次函数 a 1 0 抛物线开口向上 又 当 y 0 时 x 2 5x 6 0 解得 x1 2 x 2 3 由此得抛物线 y x2 5x 6 的大致图象如图所示 观察函数图象可知 当 2 x 3 时 y 0 x2 5x 6 0 的解集是 2 x 3 点评 本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式 可作图利用交点直观求 解集 三 填空题 共 4 小题 23 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 x 1 1 x 2 3 2 写出不等式 ax2 bx c 0 的解集 1 x 3 3 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 x 2 4 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 k 2 考点 抛物线与 x 轴的交点 二次函数与不等式 组 分析 1 看与 y 轴的交点即可 2 看 y 轴上方的函数图象相对应的 x 的值即可 3 看对称轴右侧的函数图象相对应的 x 的范围即可 菁优网 Http 2010 箐优网 4 先移项 整理为一元二次方程 让根的判别式大于 0 求值即可 解答 解 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点为 1 0 3 0 方程 ax2 bx c 0 的两个根 x1 1 x 2 3 2 由二次函数 y ax2 bx c 的图象可知 1 x 3 时 二次函数 y ax2 bx c 的值大于 0 不等式 ax2 bx c 0 的解集为 1 x 3 3 由图象可知 二次函数 y ax2 bx c 的对称轴为 x 2 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 x 2 4 由图象可知 二次函数 y ax2 bx c 的顶点坐标为 2 2 2 即 b2 4ac 8a 4 24 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 b2 4a c k b2 4ac 4ak 8a 4ak 0 抛物线开口向下 a 0 8a 4ak 0 k 2 点评 本题主要考查数形结合法 二次函数中当 b2 4ac 0 时 二次函数 y ax2 bx c 的图 象与 x 轴有两个交点 24 2010 日照 如图是抛物线 y ax2 bx c 的一部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴 一交点为 B 3 0 则由图象可知 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 1 或 x 3 考点 二次函数与不等式 组 分析 由抛物线与 x 轴的一个交点 3 0 和对称轴 x 1 可以确定另一交点坐标为 1 0 又 y ax2 bx c 0 时 图象在 x 轴上方 由此可以求出 x 的取值范围 解答 解 抛物线与 x 轴的一个交点 3 0 而对称轴 x 1 抛物线与 x 轴的另一交点 1 0 当 y ax2 bx c 0 时 图象在 x 轴上方 此时 x 1 或 x 3 菁优网 Http 2010 箐优网 故填空答案 x 1 或 x 3 点评 解答此题的关键是求出图象与 x 轴的交点 然后由图象找出当 y 0 时 自变量 x 的 范围 本题锻炼了学生数形结合的思想方法 25 二次函数 y ax2 bx c 和一次函数 y mx n 的图象如图所示 则 ax2 bx c mx n 时 x 的 取值范围是 2 x 1 考点 二次函数与不等式 组 分析 求关于 x 的不等式 ax2 bx c mx n 的解集 实质上就是根据图象找出函数 y ax2 bx c 的值小于或等于 y mx n 的值时 x 的取值范围 由两个函数图象的交点及图象的 位置 可求范围 解答 解 依题意得求关于 x 的不等式 ax2 bx c mx n 的解集 实质上就是根据图象找出函数 y ax2 bx c 的值小于或等于 y mx n 的值时 x 的取值范围 由两个函数图象的交点及图象的位置可以得到此时 x 的取值范围是 2 x 1 故填空答案 2 x 1 点评 解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题 然后结合两个 函数图象的交点坐标解答 本题锻炼了学生数形结合的思想方法 26 如图 已知函数 y ax2 bx c 与 y 的图象交于 A 4 1 B 2 2 C 1 4 三 点 根据图象可求得关于 x 的不等式 ax2 bx c 的解集为 4 x 0 或 1 x 2 考点 二次函数与不等式 组 分析 求关于 x 的不等式 ax2 bx c 的解集 实质上就是根据图象找出函数 y ax2 bx c 的值小于 y 的值时 x 的取值范围 由两个函数图象的交点及图象的位置 可求范围 解答 解 依题意得关于 x 的不等式 ax2 bx c 的解集 菁优网 Http 2010 箐优网 实质上就是根据图象找出函数 y ax2 bx c 的值小于 y 的值时 x 的取值范围 由两个函数图象的交点及图象的位置可以得到 x 的取值是范围 4 x 0 或 1 x 2 故填空答案 4 x 0 或 1 x 2 点评 解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题 然后结合两个 函数图象的交点坐标解答 本题锻炼了学生数形结合的思想方法 菁优网 版权所有 仅限于学习使用 不得用于任何商业用途