初中勾股定理习题

1 已知 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 CD AD AD 2 CD2 2AB2 1 求证 AB BC 2 当 BE AD 于 E 时 试证明 BE AE CD 2 如图 在等腰直角三角形 ABC 中 ABC 90 D 为 AC 边上中点 过 D 点 DE 丄 DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 长 3 已知 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 CD AB 交 AB 于点 E 且 CD AC DF BC 分别与 AB AC 交于点 G F 1 求证 GE GF 2 若 BD 1 求 DF 的长 4 如图所示 ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D 为 AB 边 上一点 1 求证 ACE BCD 2 若 AD 5 BD 12 求 DE 的长 5 公园里有一块形如四边形 ABCD 的草地 测得 BC CD 10 米 B C 120 A 45 度 请你求出这块草地的面积 6 如图 把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠 使点 B 落在边 AD 上的点 B 处 点 A 落在点 A 处 1 求证 B E BF 2 设 AE a AB b BF c 试猜想 a b c 之间的一种关系 并给予证明 7 我们给出如下定义 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方 则 称这个四边形为勾股四边形 这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 1 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形 长方形 直角 梯形 任选两个均可 2 如图 1 已知格点 小正方形的顶点 O 0 0 A 3 0 B 0 4 请你画出 以格点为顶点 OA OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB 3 如图 2 将 ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60 得到 DBE 连接 AD DC DCB 30 度 求证 DC 2 BC2 AC2 即四边形 ABCD 是勾股四边形 7 ABC 中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 1 根据勾股定理 则 a2 b2 c2 若 ABC 不是直角三角形 如图 2 和图 3 请你类比勾股定理 试猜想 a2 b2 与 c2 的关系 并证明你的结论 8 如图 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第 二个正方形 ACEF 再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH 如此下 去 1 记正方形 ABCD 的边长为 a1 1 依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2 a 3 a 4 a n 求出 a2 a 3 a 4 的值 2 根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式 8 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 对折 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 求 CD 的长 9 如图所示 折叠长方形的一边 AD 使点 D 落在边 BC 的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长为多少 10 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC D 为 AB 的中点 DE 交 AC 于点 E DF 交 BC 于点 F 且 DE DF 过 A 作 AG BC 交 FD 的延长线于点 G 1 求证 AG BF 2 若 AE 9 BF 18 求线段 EF 的长 11 如图 将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠 顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处 已知 CE 3cm AB 8cm 求图中阴影部分的面积 12 如图 一长方体 底面长 3cm 宽 4cm 高 12cm 求上下两底面的对 角线 MN 的长 13 阅读下面材料 并解决问题 1 如图 1 等边 ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A B C 的距离分别为 3 4 5 则 APB 由于 PA PB 不在一个三角形中 为了解决本题我们可以将 ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP 处 此时 ACP 这样 就可以利用全等三角形知识 将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出 APB 的度数 2 请你利用第 1 题的解答思想方法 解答下面问题 已知如图 2 ABC 中 CAB 90 AB AC E F 为 BC 上的点且 EAF 45 求证 EF 2 BE2 FC2 15 如图 在 ABC 中 AB AC 5 P 为 BC 上任意一点 求证 AP 2 PB PC 25 16 如图 Rt ABC 中 C 90 AM 是 BC 边上的中线 MN AB 于 N 求证 AC 2 BN2 AN2 18 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC 10 CD 是射线 BCF 60 点 D 在 AB 上 AF BE 分别垂直于 CD 或延长线 于 F E 求 EF 的长 19 如图 四边形 ABCD 中 BC DC 对角线 AC 平分 BAD 且 AB 21 AD 9 BC DC 10 求 AC 的长 20 已知 如图 1 在 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D E 分别为线段 BC 上 两动点 若 DAE 45 探究线段 BD DE EC 三条线段之间的数量关系 小明的思路是 把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABE 连接 E D 使问题得到解决 请你参考小 明的思路探究并解决下列问题 1 猜想 BD DE EC 三条线段之间存在的数量关系式 直接写出你的猜想 2 当动点 E 在线段 BC 上 动点 D 运动在线段 CB 延长线上时 如图 2 其它条件不 变 1 中探究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明 3 已知 如图 3 等边三角形 ABC 中 点 D E 在边 AB 上 且 DCE 30 请你 找出一个条件 使线段 DE AD EB 能构成一个等腰三角形 并求出此时等腰三角形顶 角的度数 21 已知四边形 ABCD 中 BC DC 对角线 AC 平分 BAD 1 作 CE AB CF AD E F 分别为垂足 求证 BCE DCF 2 如果 AB 21 AD 9 BC DC 10 求对角线 AC 的长 22 已知 如图 将长方形纸片沿着 CE 所在直线对折 B 点落在点 B 处 CD 与 E B 交于点 F 如果 AB 10cm AD 6cm AE 2cm 求 EF 的长 23 如图平面直角坐标系 xoy 中 A 1 0 B 0 1 ABO 的平分线交 x 轴于一点 D 1 求 D 点的坐标 2 如图所示 A B 两点在 x 轴 y 轴上的位置不变 在线段 AB 上有两动点 M N 满足 MON 45 下列结论 1 BM AN MN 2 BM 2 AN2 MN2 其中有且只有一 个结论成立 请你判断哪一个结论成立 并证明成立的结论 25 已知 D 是 Rt ABC 斜边 BC 上的中点 E F 分别在 AB AC 上 且 ED DF 延 长 FD 到 Q 使 FD DQ 连接 BQ 1 试说明 AB BQ 的理由 2 探究 BE2 CF 2 与 EF2 有何等量关系 26 探究下列几何题 1 如图 1 所示 在 ABC 中 CP AB 于点 P 求证 AC 2 BC2 AP2 BP2 2 如图 2 所示 在四边形 ABCD 中 AC BD 于点 P 猜一猜 AB BC CD DA 之间有何数量关系 并用式子表示出来 不用证明 3 如图 3 所示 在矩形 ABCD 中 P 是其内部任意一点 试猜想 AP BP CP DP 之间的数量关系 并给出证明 30 如图 在直角三角形 ABC 中 C 90 AC 4 BC 3 在直角三角形 ABC 外部拼 接一个合适的直角三角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 见图示 请在四个备用图 中分别画出与示例图不同的拼接方法 并在图中标明拼接的直角三角形的三边长 31 已知 如图所示 Rt ABC 中 C 90 ABC 60 DC 11 D 点到 AB 的距 离为 2 求 BD 的长 32 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC ADC BCD 90 且 DC 2AB 分别以 DA AB BC 为边向梯形外作正方形 其面积分别为 S1 S 2 S 3 请你探索 S1 S 2 S 3 之 间的关系并说明理由 33 已知 如图 1 Rt ABC 中 ACB 90 D 为 AB 中点 DE DF 分别交 AC 于 E 交 BC 于 F 且 DE DF 1 如果 CA CB 求证 AE 2 BF2 EF2 2 如图 2 如果 CA CB 1 中 结论 AE2 BF2 EF2 还能成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 35 如果 已知 D 为 ABC 边 AB 上一点 且 AC AD 2 DB 1 ADC 60 6 求 BCD 的度数 36 已知 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 CD AB 交 AB 于点 E 且 CD AC DF BC 分别与 AB AC 交于点 G F 1 求证 GE GF 2 若 BD 1 求 DF 的长 38 如图 a EBF 90 请按下列要求准确画图 1 在射线 BE BF 上分别取点 A C 使 BC AB 2BC 连接 AC 得直角 ABC 2 在 AB 边上取一点 M 使 AM BC 在射线 CB 边上取一点 N 使 CN BM 直线 AN CM 相交于点 P 1 请用量角器度量 APM 的度数为 精确到 1 2 请用说理的方法求出 APM 的度数 3 若将 中的条件 BC AB 2BC 改为 AB 2BC 其他条件不变 你能自己在 图 b 中画出图形 求出 APM 的度数吗 39 如图 1 Rt ABC 中 ABC 90 BC AB 2BC 在 AB 边上取一点 M 使 AM BC 过点 A 作 AE AB 且 AE BM 连接 EC 再过点 A 作 AN EC 交直线 CM CB 于点 F N 1 证明 AFM 45 2 若将题中的条件 BC AB 2BC 改为 AB 2BC 其他条件不变 请你在图 2 的位置上画出图形 1 中的结论是否仍然成立 如果成立 请说明理由 如果不成立 请猜想 AFM 的度数 并说明理由 40 若 ABC 的三边长为 a b c 根据下列条件判断 ABC 的形状 1 a 2 b2 c2 200 12a 16b 20c 2 a 3 a2b ab2 ac2 bc2 b3 0