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www.ks5u.com北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2015.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2设命题：平面向量和，则为（ ） （A）平面向量和，（B）平面向量和， （C）平面向量和，（D）平面向量和，3在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，则（ ）（A）（B）（C）（D）a=2，x=3开始 x=x+1输出x结束否是4执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ） （A）（B）（C）（D）5设函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件侧(左)视图正(主)视图俯视图22111116一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为 （B）最长棱的棱长为（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）8. 设D为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D内的任一点，都有成立，则的最大值等于（ ）（A）2（B）1（C）0（D）3第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 复数，则 _10设为双曲线C：的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果，那么双曲线C的方程为_；离心率为_.3a11在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么_ EFCBA 12 如图，在中，以为直径的半圆分别交，于点，且，那么_； _13现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是_. （用数字作答）14. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_条. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数, xR的部分图象如图所示.（）求函数的最小正周期和单调递增区间；（） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求的值. AxBOy16（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概 率 （2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概 率 （）当时，求q的值； （）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围； （）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由17（本小题满分14分）B CD A B1 C1 E F A1 D1如图，在四棱柱中，底面，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.（）证明：平面；（）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值；（）求三棱锥的体积的最大值.18（本小题满分13分） 已知函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.（）若点P的坐标为，求的值；（）已知，求切点P的坐标.19（本小题满分14分） 已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点满足条件.（）求m的值；（）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记和的面积分别为，求证：.20（本小题满分13分） 设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，是十位数字，），定义变换：. 并规定记， ，（）若，求；（）当时，证明：对于任意的位自然数均有； （）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1C 2D 3A 4C 5C 6D 7B 8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 2分=， 4分所以 .故函数的最小正周期为. 6分由题意，得，解得，AxO CBy所以函数的单调递增区间为. 9分（）解：如图过点作线段垂直于轴于点.由题意，得， 所以. 13分 16（本小题满分13分）（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以+=1. 2分 又因为， 所以= 3分 （）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事 件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 4分 则，且A，B独立. 由上表可知， ，. 所以 5分 . 6分 因为， 所以. 7分 又因为， 所以. 所以. 8分（）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：40 9分 则. 10 分 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：Y20 11分 则. 12分 因为， 所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为是棱柱，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以. 2分又因为平面，平面，所以平面. 4分（）解：因为底面，B CA1 D1D A B1 C1 E F xyzM 所以，两两垂直，以A为原点，以，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系. 5分则，所以 ,.设平面的法向量为由，, 得令,得. 7分又因为平面的法向量为， 8分所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分（）解：过点F作于点,因为平面平面，平面,所以平面,所以 12分.因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. 14分18.（本小题满分13分）（）解：由题意，得， 1分 且， 3分 由已知，得，即， 解得，. 5分（）解：若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ， 6分 由，得 ，其中， 代入，得 . （*） 7分 因为 ，且， 所以 . 8分 设函数 ， 则 . 9分 令 ，解得或(舍). 10分 当变化时，与的变化情况如下表所示，10 12分 所以当时，取到最大值，且当时. 因此，当且仅当时. 所以方程（*）有且仅有一解. 于是 ， 因此切点P的坐标为. 13分19（本小题满分14分）（）解：因为椭圆C的方程为 ，所以 , 2分则 ，. 3分因为 ，所以 . 5分（）解：若直线l的斜率不存在， 则有 ，符合题意. 6分若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，.由 得 ， 7分 可知 恒成立，且 ，. 8分 因为 10分 ， 所以 . 12分 因为和的面积分别为， ， 13分 所以 . 14分20（本小题满分13分）（）解：， 所以 3分（）证明：因为函数， 所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值） 4分 因为 ， 所以 6分 令 ，则 当时， 所以 ，函数，（，且）单调递增 故 ，即 所以当时，对于任意的位自然数均有. 9分（）答：的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38 14分
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