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第十章排列、组合和二项式定理101分类计数原理和分步计数原理1七名男同学和九名女同学，组成乒乓球混双代表队，可以组成不同的代表队共（ ）A7队 B8队 C15队 D63队2张掖市的电话号码由七位数字组成，最多可以安装的电话数为(0不能打头)（ ） A97 B79 C106 D3有3本不同的书，一人去借，至少借一本的不同方法有（ ）A3种 B6种 C7种 D9种4 由数字2，3，4，5可组成数字不重复的 个三位数5 5名高中应届毕业生报考3所重点大学，每人报一所学校，有 种不同的报名法6 有不同的红球9个，有不同的白球10个，有不同的黄球2个从中选出不同颜色的两个球，有多少种不同选法？7某班有30名男同学和20名女同学： （1）选举一人当班长，有多少种不同的选法？ （2）男生和女生各选一人参加学生代表会，有多少种不同的选法？ （3）选派3人参加知识竞赛，其中一人为组长，男女生各一人为组员，有多少种不同的选法？8设椭圆的焦点在x轴上，m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,这样的椭圆有多少个？102 排 列题型一 排列数公式的应用1求值： （1） (2) 2解方程：（1） （2）题型二 直接法1从2、3、5、7、11这五个数中任取两个不同的数组成分数，则不同的分数值共有多少个？2已知集合,表示平面上的点问：（1）P可表示平面上多少个不同的点？（2）P可表示平面上多少个第二象限的点？（3）P可表示平面上多少个不在直线上的点？题型三 不相邻问题插空法1数列共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列共有（ ）A30个 B31个 C60个 D61个2在数字1、2、3与符号“+”、“-”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是（ ）A6 B12 C18 D2437名学生站成一排，甲、乙互不相邻有多少种不同的排法？44名男生，4名女生站一排，男生之间不相邻，女生之间也不相邻，共有多少种不同的排法？题型四 相邻问题捆绑法17人站一排，求甲、乙、丙连排的排法种数？2有8本不同的书：其中数学3本，外语2本，其他学科3本，若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，让外语书也排在一起，共有多少种不同的排法？3用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数 要求1与2相邻、2与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻，这样的8位数共有（ ）个题型五 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑1六人站一排 求： （1）甲不在排头，乙在排尾； （2）甲不在排头，乙不再排尾2用0、2、3、4、5五个数字，组成没有重复数字的三位数，共有 个31名老师和4名获奖学生排成一排照相，若老师不排在两端，则有多少种不同的排法？题型六：分组法1三行三列共9个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？26人排一排，求甲在乙的前面共有多少种不同的排法？题型七：分组法1某班的联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法有（ ）种A42 B30 C20 D12题型八：顺序固定用“除法”16人排队 甲、乙、丙按“甲乙丙”的顺序的排队方法有多少种？24个男生和3个女生，高矮各不相等，现将他们排成一行，要求从左到右女生按从矮到高排列，有多少中排法？综合问题17人站队：（1）某人在排头的排法有多少种？在排尾呢？排中呢？在任一指定的位置上呢？（2）某人不在排头、排尾、排中、指定位置上的不同排有多少种？（3）某人既不在排头又不在排尾，也不在排中的排法有多少种？（4）甲当排头，乙当排尾的排法有多少种？（5）甲当排头，乙不当排尾的排法有多少种？（6）甲乙在两端的排法有多少种？（7）甲乙排一起的排法有多少种？（8）甲乙不排一起的排法有多少种？（9）如果某3人排一起，另外4人排一起的排法有多少种？10.3组 合第一课时 组合及组合数公式类型一 关于组合定义的理解1判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次）这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠，亚军获得者有多少种可能？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (6 )从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？2写出从这个元素中每次取出3个的所有不同的组合.类型二 有关组合数公式的应用1计算（1） （2）(3 ) （4）2已知，求的值.第二课时 组合数的两个性质类型一 性质的应用1计算 2解方程 3若，则的值为 ；4已知，则的值为 类型二性质的应用计算(1) (2)2化简： 3解方程：得 4求证：（）5求证：第三、四课时 组合的应用类型一无限制条件的组合1 设集合，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？2 从6名男生5名女生中选5名学生参加科技比赛，不同的选法共有多少种？类型二有条件限制的组合（一）直接法（含与不含）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有多少种？从5名男医生，4名女生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男，女医生都有，则不同的组队方案共有多少？（二）特殊元素和特殊位置优先1由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五奇数.（三）相邻元素捆绑1某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为？ 2停车场划出一排10个停车位，今有6辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空位连在一起，则不同的停车方式有_.（四）不相邻问题插空1某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数是_.2走廊中有编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八只灯。为节约用电，又不影响照明，要求熄灭3只灯，但又不能同时熄灭相邻的2只灯，熄灯的方法共有_.（五）重排问题求幂1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法.2某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法.（六）排列组合混合问题先选后排1. 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有几种？（七）元素相同问题隔板策略1有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 210个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ （八）正难则反总体淘汰1从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？2我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?（九）平均分组问题除法策略16本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？2将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？.310名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法. 4某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_.（十） 合理分类与分步策略1在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法？2从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种. 10.4二项式定理题型一 利用的二项展开式解题1求展开式的前四项.2. 求的展开式.3 化简题型二 利用通项公式解题（一）二项式系数与项的系数问题的展开式中第项的二项式系数为 的展开式中，求含有项的系数.已知展开式中的系数为-280,求的值.求的展开式中，含有项的系数.求的展开式中项的系数.（二）求常数项问题求的展开式中的常数项.如果在展开式中,第四项与第六项的系数相等,求的值,并求展开式中的常数项.在的展开式中,求常数项,并指出它是第几项.若在的展开式中,第4项是常数项,求.已知在的展开式中,第6项是常数项,求含的项的系数.若的展开式的二项式系数之和为64，求展开式的常数项 （三）求有理项问题求的展开式中的有理项.题型三 利用二项式系数的性质解题. 的展开式中,各二项式系数之和为 ，各项系数之和为 ,二项式系数最大的项为 . 已知在的展开式中,第3项是常数,求中间项. 在的展开式中,如果第项和第项的二项式系数相等.（1）求的值.（2）写出展开式中的第项和第项. 在的展开式中,求二项式系数最大的项. 在的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.第十一章概率11.1 随机事件的概率题型一：概念辨析1在一定的条件下 事件叫做必然事件；在一定的条件下 事件叫做不可能事件；在一定的条件下， 事件叫做随机事件2概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是 ，必然事件的概率是 ，不可能事件的概率是 3等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是 如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率： 4下列事件中，随机事件是（）A物体在重力的作用下自由下落 B为实数， C在某一天内电话收到呼叫次数为0 D今天下雨或不下雨5下列事件中，必然事件是（）A掷一枚硬币出现正面 B掷一枚硬币出现反面C掷一枚硬币，或者出现正面，或者出现反面 D掷一枚硬币，出现正面和反面6向区间（0，2）内投点，点落入区间（0，1）内属于（）A必然事件 B不可能事件 C随机事件 D无法确定题型二：随机事件概率的求解1从1，2，9共九个数字中任取一个数字，取出数字为偶数的概率为（）A0 B1 C D 2一个口袋中装有15个大小相同且质量密度也相同的球，其中10个白球，5个黑球，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是（）A B C D 3袋中有白球5只，黑球6只，连续摸出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为（）A B C D 4某小组有成员3人每人在一个星期中参加一天劳动如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（）A B C D 5从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（）A B C D 6十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率为（）A B C D 7停车场可把12辆车停放在一排上，现有8辆车停放，而恰有4个空位连在一起，这样的事件发生的概率是（）A B C D 8在研究概率的 历史上，英国人蒲丰、皮尔逊就先后做过掷硬币实验，他们的实验数据如表所列实验人蒲丰皮尔逊皮尔逊投掷次数40401200024000出现正面次数2048601912012出现正面频率 （1）计算表中出现正面的各个频率（2）随机掷一枚硬币，出现正面的概率约是多少？出现反面的概率呢？9一个口袋里装有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，求：（1）取得2个球颜色相同概率；（2）取得2个球中至少有一个白球的概率10外型相同的电子管100只，其中 类40只， 类30只， 类30只，在运输过程中损坏了3只，如果这些电子管中每只被损坏的可能性是一样的，试求在这3只中每类恰有一只的概率11（1）一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率； (2) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则（ ）A B CP100DP10P112甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.变式训练1：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ）AB CD13在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？变式训练1：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？11.2 互斥事件有一个发生的概率题型一等可能事件的概率样题1 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（1）求3个景区都有部门选择的概率；（2）求恰有2个景区有部门选择的概率.变式题1 从数字0、1、2、3、4、5中任取三个，组成没有重复数字的三位数，求：（1）这个三位数是奇数的概率；（2）这个三位数小于450的概率.题型二 互斥事件有一个发生的概率样题2 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.变式题2 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中两张写有数字0，三张写有数字1，三张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2.如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？题型三 相互独立事件同时发生的概率样题3 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 变式题3 在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？题型四 独立重复试验样题4 甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.变式题4 甲、乙两队在一场五局三胜制的排球比赛中,规定先胜三场的队获胜, 并且比赛就此结束. 现已知甲、乙两队每比赛一场甲队取胜的概率是0.6，乙队取胜的概率是0.4, 且每场比赛的胜负是相互独立的. 问:(1)甲队以3 : 2获胜的概率是多少？(2) 乙队获胜的概率是多少?113相互独立事件同时发生的概率类型一：概念辨析1坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则和是（ ）A互斥事件 B相互独立事件 C对立事件 D不相互独立事件类型二：相互独立事件相关问题2甲、乙两人独立解同一个题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么恰好有一人解决这个问题的概率是（ ）A B C D 3在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是 4如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且是互相独立的，求灯亮的概率5从甲、乙、丙三种零件中各取1件组成某产品，所用三零件必须是正品，所得产品才是合格品已知三种零件的次品率分别为2，3，5，则产品的次品率是_类型三：独立重复试验相关问题6流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（ ）A B C D 7某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为 ，则他及格的概率是（ ）ABCD 8任意说出四个日期，则其中至少有两个是星期日的概率是多少？ 9一个工人看管8部同一类型的机器，在一小时内四部机器需要工人照看的概率等于 ，求下列事件的概率（1）一小时内，8部机器中有4部需要工人照看；（2）一小时内，需要工人照看的机器不多于6部
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