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一、 数列的概念及表示法(一) 定义1. 概念：按照一定顺序排列的数叫做数列，简称，n为序号。数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项为首项，最后一项为末项。2. 数列中项性质：有序性、可重复性、确定性(二) 分类1. 按个数分为：有穷数列和无穷数列2. 按项的变化趋势分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列(三) 数列与函数 数列是一种特殊的函数，数列是定义域为正整数集的数列，是一系列孤立的点。(四) 表示法1. 列表法2. 图像法：一系列孤立的点3. 通项公式法（并不是所有的数列都有通项公式） 将数列用一个数学式子表现出来的方法叫做通项公式法。4. 递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫数列的递推公式。(五) 数列的性质1. 单调性 如果对所有的n,都有那么数列为递增数列，否则为递减数列，如果相等为常数列。2. 周期性 如果对所有的都有（k为正整数），那么称数列为以k为周期的周期数列3. 有界性 如果对所有的都有，那么就称数列为有界数列，否则为无界数列。(六) 数列的前n项和数列前n项的和。(七) 题型1. 数列的概念及分类例1：1，0，-1,0是什么数列？摆动数列、周期数列、无穷数列例2已知数列的，且，则 （ ）（A）-3 （B）3 （C）-6 （D）6解：，且，数列是以6为周期的周期数列，故选A2. 观察法求通项公式（1）9，99,999,9999（2）-1,0，-1,0（3）-1，7，-13，19， （4） （5）， 解：（1）（2）（3） （4）3. 数列的通项公式及数列中的项例：已知数列的通项公式为（1）求这个数列的第10项； （2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由解：（1）令，得第10项（2）令，得此方程无自然数解，不是该数列中的项（3），又，（4）令，则，当且仅当时，不等式才成立，故在区间内仅有一项为4. 通项公式求最值解：若数列中，则此数列中的最大项为 （ ）（A）第7项 （B）第8项 （C）第9项 （D）第8项，或第9项二、 求通项公式的方法（一） 累加法形如形式的均可利用累加法求通项公式例1 已知数列满足，求通项公式。 解：例2 已知数列满足，求通项公式。（二） 累乘法形如例1 已知数列满足，求通项公式。解：例2 已知数列满足，求通项公式？解： （三） 构造法形如的通项公式，先用待定系数法写成的形式，其中，使新数列成为等比数列。推广一：已知某数列的首项为1，且，求此通项公式？推广二：已知某数列的首项为1，且，求此通项公式？推广三：已知某数列的首项为5，且，求此通项公式？（四） 与的关系 （五） 同除法已知某数列的首项为1，且，求此数列的通项公式。推广一：已知某数列的首项为1，且，求此数列的通项公式。推广二：已知某数列的首项为1，且，求此数列的通项公式。（六） 取对数法 已知某数列的首项为1，且求此数列的通项公式。（七） 观察法三、 等差数列与等比数列 等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）与函数关系一次函数上孤立的点指数函数上孤立的点中项a n-k+a n+k=2an.a n-ka n+k=an2通项公式an=a1+(n-1)d（累加）an=a1q n-1.（累乘）通项公式性质1.2. 在一等差数列中，若m+n=p+q，则3. 数列an、bn都是等差数列，可得an+bn是等差数列4. 仍为等差数列，公差为kd5. 项数相同的连续项的和也是等差数列1. 当时为递增数列，当时为递减数列，当时为常数列，当时为摆动数列。2.3. 与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项的积等于这一项的平方。4. 数列是是等比数列，若，则有为等差数列，反之也成立5. 在等比数列中，每隔k项取出一项，按原顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为6. 当m,n,p成等差数列，成等比数列。7.8. 等比数列中项数相同的连续的项的和仍构成等比数列前n项和SnSnna1d（二次函数） 前n项和性质性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为_(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成_数列(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则.（4）在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值（5）若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)（6）数列can，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列例题：等差数列例一 (1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).例二在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解由得解方程组得或例三在等差数列中，若，则= .【答案】【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记，及其熟练运用等比数列例一已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，则， ，选C. 等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，.例二等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求3，求 解：（）依题意有 ， 由于，故又，从而 （）由已知可得故从而 四、 求前n项和的方法（一） 公式法求和(1)123nn(n1)(2)135(2n1)n2(3)2462nn2n（二） 倒序相加法求和（三） 错位相减法求和（四） 裂项相消法求和（五） 分组，转化为公式法求和
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