高一第三章数列.docx

教案示例等差数列的前 项和公式教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讲授法.教学过程一.新课引入提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见媒体资料）问题就是（板书）“ ”这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二.讲解新课（板书）等差数列前 项和公式1.公式推导（板书）问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得 ，有以下等式 ，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得 于是有： .这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .于是得到了两个公式（投影片）： 和 .2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1） ；（2） （结果用 表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结1.推导等差数列前 项和公式的思路；2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计教案点评：教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的典型例题收割小麦的时间例1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕，如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间分析：这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需的时间，即求数列的首项解：设从每台投入工作起，这 台收割机工作的时间依次为 ， ， ， 小时依题意， 是一个等差数列，且每台收割机每小时的工作效率为 ，则有 由（2），得 ，即 ，亦即 （3）由（1），（3）得 故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时小结：由于 台收割机同时投入工作至收割完毕需用24小时，即每台各工作24小时，所以这 台收割机共工作24小时，把总工作量看作1，则每台每小时收割 ，这就是每台每小时的工作效率选题角度：关于用等差数列解决收割小麦时间的问题利用奇项偶项求和例1.设某个等差数列共有12项，其中奇数项的和为78，偶数项的和为96，求这个数列的后五项的和.分析：数列的后五项是一个等差数列，其首项为原数列的第八项，公差就是原数列的公差，所以应先求原数列的首项与公差.解：设等差数列为 ，其首项为 ，公差为 ，奇数项构成以 为首项， 为公差的等差数列，偶数项构成以 为首项， 为公差的等差数列，于是有 化简得 解得 故 所以 .即这个等差数列后五项的和为125.小结：在运用等差数列前 项和公式时依然要运用基本量的思想，把已知与所求都用基本量来表示，从而使题设与结论之间的关系明朗化.本题也可以从奇数项之和与偶数项之和相差nd（项数为2n）的关系先求出d，再求出首项选题角度：从奇数项之和与偶数项之和相差nd（项数为2n）的关系先求出d，再求出首项的题目求等差数列的项例1、已知等差数列 中， ， ，求 .分析：若求 ，则需确定 和 ，从已知中解方程组即可；还可以，由等差数列的性质可知 ，而 ， ，则解出 和 即可求得 .解：法一 由已知可得 解得 ， 法二 ，则 ，得 . .小结：此类题一般利用等差数列的通项公式与前 项和公式，列方程组解 和 ，但有些问题利用等差数列的性质不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差数列的认识选题角度：考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的题目求数列的前n项和（1）用 表示 ；（2）设 ，且 ，求数列 中的最小项分析：由题设给出的 ，可以得出用数列探究活动有50人参加的一个围棋比赛，每两个人下一盘棋，一共下了多少盘棋？这种问题还能以什么背景给出？参考答案：先考虑两个人 和 ，他们只下一盘棋，第三个人 加入后， 分别与 和 各下一盘棋，此时共下了1+2盘棋.第四个人 分别与前三个人各下一盘棋，则共下了1+2+3盘棋，依此类推，第50个人将与前49人各下一盘棋，此时总共下了1+2+3+491225盘棋.还可以这样出题：有12支球队进行单循环赛，每两队赛一场，一共赛多少场？有40个人，每两个人通话一次，一共打了多少个电话？习题精选一、选择题1数列 是等差数列的一个充要条件是（）AB C （ ）D （ ）2四个数成等差数列， ， ，则公差 等于（）A8 B16 C4 D03已知等差数列 中，前15项之和为 ，则 等于（）A6BC12D 4已知等差数列共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 等于（）A30 B29 C28 D275设 ， ，和 ， ，都是等差数列，其中 ， ， ，则数列 前100项之和 为（）A0 B100 C10000 D505006在等差数列 中，公差 则 等于（ ）.A62 B64 C84 D1007等差数列 中， ，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是（）A B C D 8已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 等于（）A B C D 9 在等差数列 中，公差 ，那么下列各式中与 相等的是（）.A B C D 10把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（）.A114 B134 C132 D112二、填空题1已知 ，则 =_2数列 是项数为1999项的等差数列，则其偶数项之和与奇数项之和的比值_3等差数列 的公差 ，则 _.5 等差数列 的后200项的和等于_.6已知数列 的前 项和 ，则 _，共 个人集中到第 层开会，试问 如何确定才能使 位参加会议的人员上、下楼梯所走的路程总和最少？（假定定相邻两层楼梯的长都相等）8若A处存放电线杆40根，从与A相距1000米的B处起，设AB方向每隔50米架设一根电线杆，一辆车一次能运4根，全部运完返回A处后，这辆车所运行的全部路程是多少千米？9在等差数列13设两个等差数列2，6，10，190，以及2，8，14，200，试问它们之间相同项有多少？并求出这些项之和14已知数列 的前 项和为 （1）求证： 是等差数列； （2）求使 的所有各项的和参考答案：一、1age270.gif v:shapes=_x0000_i2444 3解： ， ， 成等差数列， ， 4解：由 ，前6项为负数 5147 6解： 为： 需要下楼到第 层开会的是第 层到第 层的被指派者，设他们下楼的层数之和为 为： 时， 若 为偶数， 或 时， 8解：由已知运输第一车所行路程为（1000+50+50+50）2=2300米2.3千米而且每次运输路程为等差数列，公差 又 10解：（1） 为整数 （2） 13解：由已知可得新数列仍为等差数列且 ， 背景知识与课外阅读我国数列求和的概念起源很早，古书周髀算经里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；九章算术中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念。到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在张丘建算经里给出了几个等差数列问题。例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式 ，这个公式等式价于现今中学课本里的公式： 。