中考方程与不等式复习.docx

【考点例解】例1 （1）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0. （2）若二元一次方程组的解为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 分析：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法.解答：（1）B； （2）C.例2 已知方程组的解是，则方程组的解是 .分析：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想. 在解答时，既可以直接求方程组的解，也可以利用整体思想，分别把和“看作”和，通过解一元一次方程来解决.解答：.例3 陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还剩余418元.”王老师算了一下说：“你肯定搞错了”.（1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释.（2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了，因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10元的整数. 问：笔记本的单价可能是多少元？分析：本题考查了列一元一次方程解应用题. 列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、设元、列方程、解方程、检验和作答. 在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题.解答：（1）设单价为8元的书买了本，则单价为12元的书买了本.由题意得 .解这个方程，得 .因为书的本数一定是正整数，所以（本）不合题意，因此陈老师错了. （2）设笔记本的单价为元，则由题意得 . 解这个关于的方程，得 . ， ， 解得 . 又 为正整数， 可以取45、46. 当时，（元）； 当时，（元）. 答：笔记本的单价可能是2元或6元.例4 新星学校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为，从第2排开始，每一排都比前一排增加个座位.（1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式：第1排的座位数第2排的座位数第3排的座位数第4排的座位数（2）已知第4排有18个座位，第15排的座位数是第5排的座位数的2倍，则第21排有多少个座位？分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题. 解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻找出一定的规律，再利用规律求出和的值.解答：（1）. （2）根据题意，得 ，解得 . . 答：第21排有52个座位.【考题选粹】1.（2007济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙两人上山的速度比是6:4，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是 .2.（2007北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004年起就鼓励农民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100棵的农户，当年都可得到生活补贴1200元，且每超出一棵，政府还给予每棵元的奖励. 另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有元的果实收入. 下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况：年份新增果树的棵数年总收入2004年130棵1500元2005年150棵4300元 （注：年总收入生活补贴费政府奖励费果实收入）【考点例解】例1 如果关于的分式方程无解，那么的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3.分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程.解答：A.例2 解分式方程：.分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根.解答：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 方程两边同时除以2，得 经检验，是原方程的解.例3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？分析：本题考查了列分式方程解应用题. 解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进而求出各自的总费用.解答：设甲队单独完成工程需要天，则乙队单独完成工程需要天. 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且和都符合题意. 应付甲工程队的费用为：（元），应付乙工程队的费用为：（元）. ， 该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.【考题选粹】1.（2007青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路. 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务. 若设原计划每小时修路米，则根据题意可得方程 .2.（2007怀化）解方程：.【考点例解】例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（ ） A. B.C. D.（2）已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或-1. （3）一元二次方程的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根分析：本题主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程的概念，第（2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式. 在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.解答：（1）D； （2）A； （3）A.例2 解下列方程：（1）； （2）.分析：本题主要考查一元二次方程的解法，其中第（1）小题可选用因式分解法，第（2）小题应该选用公式法. 解答：（1）原方程可化为： 将方程左边因式分解，得 或 由 得 原方程的解是，.（2）这里 ， ，.例3 某商场将进价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能销售600个. 调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10台. 如果该商场想实现每月10000元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？分析：本题考查了列一元二次方程解应用题. 在降价销售问题中，利润（现售价进价）原销量（原售价现售价）/单位涨价变化销量.解答：设这种台灯的售价为元，则现在的销量为（）台. 根据题意，得 整理，得 解得 ，. 答：这种台灯的售价应定为50元或80元. 当售价定为50元时，应进500台；当售价定为80元时，应进200台.【考题选粹】1.（2007巴中）三角形的一边长为10，另两边长是方程的两个实数根，那么这个三角形是 三角形.2.（2007绵阳）已知，是关于的方程的两实根. （1）试求，的值（用含，的代数式表示）； （2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数，满足什么条件时，这个直角三角形的面积最大？并求出其最大值.【考点例解】例1 解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上： （1）； （2）分析：本题主要考查一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示. 一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法；解一元一次不等式组时，应先求出不等式组中每个不等式的解，再利用口诀或数轴来确定不等式组的解集. 口诀为“大大取大，小小取小，大小小大连起写，大大小小题无解”.解答：（1）略解：，其解集在数轴上表示如下图所示. （2）解不等式，得； 解不等式，得. 原不等式的解集是，其在数轴上表示如下图所示. 例2 “全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装运4吨枇杷和1吨桃子，一辆乙种货车可装运枇杷和桃子各2吨. （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地将全部水果运往销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则王灿应选择哪种运输方案，才能使运费最省？最少运费是多少？分析：本题主要考查根据题中的数量关系列不等式组和不等式组的整数解，解答的关键是确定甲种货车的数量，然后进行分类讨论，最后可利用函数性质求最值. 解答：（1）设王灿安排甲种货车辆，则安排了乙种货车（8）辆，根据题意，得 解这个不等式组，得 . 是整数， 可以取2，3，4. 王灿有以下三种安排货车的方案：甲种货车2辆，乙种货车6辆；甲种货车3辆，乙种货车5辆；甲种货车4辆，乙种货车4辆. （2）设安排辆甲种货车时，需运费元，根据题意，得 即 . 因为是的一次函数，且随着的增大而增大，所以当（辆）时，取到最小值，且（元）.【考题选粹】1.（2007德州）不等式组的整数解是 .2.（2006青岛）“五一”期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元. （1）若学校单独租用这两种车辆，各需要多少租金？ （2）若学校同时租用这两种客车共8辆，且租金比单独租用一种车辆要省，请你帮助设计一种最节省租金的租车方案.【考点例解】例1 某地区原有可退耕还林面积63.68万亩，从2000年开始执行国家退耕还林政策，当年就退耕还林8万亩，此后退耕还林的面积逐年增加，到2002年底共退耕还林29.12万亩. （1）求2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率； （2）该地区从2003年起加大退耕还林的力度. 设2003年退耕还林的面积为万亩，退耕还林面积的增长率为，试写出与的函数关系式，并求出当不小于14.4万亩时的取值范围.分析：本题主要考查列一元二次方程解应用题、根据数量关系写函数关系式及一元一次不等式组的解法. 解答的结果一定要符合问题的实际意义.解答：（1）设平均增长率为，根据题意，得 整理，得 解得 ，（不合题意，舍去） 答：2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率为20%. （2）根据题意，得 ，即 . 当（万亩）时，有， 解这个不等式组，得 . 例2 2007年某县筹备20周年庆典，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个. 已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆. （1）某校九年级（1）班的课外数学兴趣小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计工作，问：符合题意的搭配方案有哪几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明第（1）小题中哪种方案的成本最低？最低成本是多少元？分析：本题综合考查了不等式（组）和一次函数的有关知识. 解题时要先利用不等式组的整数解确定两种造型的数量，再利用一次函数的增减性得出最佳方案.解答：（1）设搭配A种造型个，则搭配了B种造型（50）个，根据题意，得 解这个不等式组，得 . 是整数， 可以取31，32，33. 可设计三种搭配方案：A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个；A种造型33个，B种造型17个. （2）设搭配A种造型个时，需成本元，根据题意，得 即 . 因为是的一次函数，且随着的增大而减小，所以当（个）时，造型的总成本最低，且（元）.【考题选粹】1.（2007福州）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查. 了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员小俐小花月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250 假设月销售件数为件，月总收入为元，销售每件奖励元，营业员月基本工资为元. （1）求，的值； （2）若营业员小俐的月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？2.（2007重庆）某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售. 按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满. 根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获利（百元）121610 （1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？请写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1. 已知，那么下列各式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程组 中，由，得正确的方程是（ ） A. B. C. D.3. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D.4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是( ) A. 2 B. C. 2或 D. 2日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 305. 如图是2008年4月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ） A.27 B.36 C.40 D.54 6. 若方程组的解是，则的解是（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或138. 如果，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D.9. 关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工是*. 设原计划每天铺设管道米，则可得方程.”根据这个情境，题中用“*”表示的缺失条件应补为（ ）A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前20天才完成任务D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前20天才完成任务二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11.如果是关于的方程的解，那么的值等于 .12.若关于的分式方程无解，那么的值等于 .13.一次知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得-1分. 在这次竞赛中，小明获得了优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了 道题.14.对正实数，作定义：，若，则的值是 .15.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为（3，0），则关于的方程的解是 .16.按上面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的值为 .三、解答题（本题有7小题，共80分）17.（10分）解方程：.18.（10分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解.19.（10分）已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为-1，求方程的另一个根及的值.20.（10分）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次降价后调整为每件32.4元.（1）若该商场两次调价的降价率相同，这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，就可多销售10件. 若该商品原来每月可销售500件，那么经两次降价后，每月可销售该商品多少件？21.（14分）某超市在春节期间对顾客衽优惠，规定如下：一次性购物优惠方法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠500元或超过500元其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元；（2）如果顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款 元；当大于或等于500元时，他实际付款 元（用含的代数式表示）；（3）如果王老师两次购物合计820元，实际付款共728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的货款，求王老师两次购物各多少元？