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三角函数复习教案第1课 三角函数的概念1角的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成 【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P（ ，m），且sin= m，求cos与tan的值 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程 解 由题意知r= ，则sin= = 又sin= m， = m m=0，m= 当m=0时，cos= 1 ， tan=0 ；当m= 时，cos= ， tan= ；当m= 时，cos= ，tan= 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决 例2 已知集合E=cossin，02，F=tansin，求集合EF 分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之 解 E= ， F = ，或2， EF= 【训练反馈】 1 已知是钝角，那么 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第一与第二象限角 D不小于直角的正角 7已知tanx=tanx，则角x的集合为 9已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ( ) A B C D 【讲练平台】 例1 化简 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式= = = =1 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法 例2 若sincos= ，( ，)，求cossin的值 分析 已知式为sin、cos的二次式，欲求式为sin、cos的一次式，为了运用条件，须将cossin进行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ，)， cossin cossin= 变式1 条件同例， 求cos+sin的值 变式2 已知cossin= ， 求sincos，sin+cos的值 点评 sincos，cos+sin，cossin三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二 例3 已知tan=3求cos2+sincos的值 分析 因为cos2+sincos是关于sin、cos的二次齐次式，所以可转化成tan的式子 解 原式=cos2+sincos= = = 点评 1关于cos、sin的齐次式可转化成tan的式子 2注意1的作用:1=sin 2+cos2等 【训练反馈】 3已知sinx+cosx=，x0，则tanx的值是 （ ）A B C D或 6证明 = 7已知=5，求3cos2+4sin2的值 第3课 两角和与两角差的三角函数（一） 1cos105的值为 （ ） A B C D 2对于任何、（0，），sin(+)与sin+sin的大小关系是 （ ） Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具体值而定【讲练平台】 例1 已知sinsin= ，coscos=，求cos()的值 分析 由于cos()=coscos+sinsin的右边是关于sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件是关于sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin=， coscos= ， 2 2 ，得22cos()= cos()= 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异 例2 求 的值 分析 式中含有两个角，故需先化简注意到10=3020，由于30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10=3020， 原式= = = = 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 【训练反馈】 3 ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为 （ ） A B C 或 D 或5coscoscos = 8 已知sin(+)= ，且sin(+)= ，求 第4课 两角和与两角差的三角函数（二） 【知识在线】 求下列各式的值 3化简1+2cos2cos2= 5 = 【讲练平台】 例1 求下列各式的值 （1）tan10tan50+ tan10tan50； (2) (1)解 原式=tan(10+50)（1tan10tan50）+tan10tan50= （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 解 原式= = 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法 例2 求证= 分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式 由欲证的等式可知，可先证等式=，此式的右边等于tan2，而此式的左边出现了“1cos4”和“1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角2，sin4用倍角公式可出现角2，从而等式可望得证 证略 点评 注意倍角公式cos2=2cos21，cos2=12sin2的变形公式：升幂公式1+cos2=2cos 2，1cos2=2sin2，降幂公式sin2= ，cos2= 的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等 在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)1tanAtanB； asinx+bcosx=sin(x+)及升幂、降幂公式的运用 8 已知sin(+)=1，求证：sin(2+)+sin(2+3)=0 第5课 三角函数的图象与性质（一） 3下列函数中，周期为的偶函数是 （ ） Ay=sin4x B y=cos22xsin22x C y=tan2x D y=cos2x4判断下列函数的奇偶性 （1）y=xsinx+x2cos2x是 函数； （3）y=sin(+3x)是 函数 【讲练平台】 例1 （1）函数y=的定义域为 (2)若、为锐角，sincos，则、满足 （C） A B C+ D + 分析 （1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期为，y=sinx的最小正周期为2， 所以原函数的周期为2，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为x2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 分析（2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos转化成sin( )，运用y=sinx在0，的单调性，便知答案为C 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小 例2 判断下列函数的奇偶性：(1)y= ； (2)y= 分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(x)是否等于f(x)或f(x) 解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2 ，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数 （2）定义域不关于原点对称（如x=，但x），故不是奇函数，也不是偶函数 点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性 例3 求下列函数的最小正周期： （1）y=sin(2x)sin(2x+ ) ； 分析 对形如y=Asin(x+)、y=Acos(x+)和y=Atan(x+)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简 解 （1）y=sin(2x)sin(2x+ )= sin(4x)， 所以最小正周期为 = 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(x+)k或y=Acos(x+) k或y=Atan(x+) k的形式（其中A、k 为常数，0） 【训练反馈】 5函数y=sin+cos在（2，2）内的递增区间是 6y=sin6x+cos6x的周期为 第6课 三角函数的图象与性质（二）1将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ） Ay=cosx+1 By=cosx1 Cy=cosx+1 Dy=cosx12函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A (k，0)， kZ B（k，0）， kZC（k，0）， kZ D（k，0），kZ3函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为 （ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 例1 函数y=Asin（x+)(A0，0，)的最小值为2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式 分析 求函数的解析式，即求A、的值A与最大、最小值有关，易知A=2，与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3，即=3得 T=6，所以=所以y=2sin(+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将求出，易得解析式为y=2sin( ） 点评 y=Asin(x+)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定，的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例） xy33O 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin（x+)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式 解：（1）T= =4 = = 又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的 解析式为 y=3sin (x) (2)设（x，y)为y=3sin( x ）关于直线x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2的对称点应为（4x，y)，故与y=3sin( x）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin（4x) =3sin( x） 点评 y=sin(x+)(0)的图象由y=sinx的图象向左平移（0）或向右平移（0）个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 【训练反馈】4y=tan(x)在一个周期内的图象是 （ ）OxxxxyyyyDCABOOO 8已知函数y=sinx+cosx，xR (1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合； （2）该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 第7课 三角函数的最值2当xR时，函数y=2sin(2x+)的最大值为 ，最小值为 ，当x， 时函数y的最大值为 ，最小值为 . 【讲练平台】 例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 当2x+=2k+， 即x=k+ (kZ)时，ymax= +2 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+） 例2 若, ，求函数y=cos(+）+sin2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 y=cos(+)cos2(+)=cos(+)2cos2(+)1 =2cos2(+)+cos(+)+1 =2cos2(+)cos(+)+1 =2cos(+)2+ , ， ， cos(+)， y最小值 = 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值的求法，应先求出t=x+的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(x+)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx= 【训练反馈】6若f(x)=2sinx(01），在区间0，上的最大值为，则= 9已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+a，若x0，且f(x)2，求a的取值范围 三角函数答案第1课 三角函数的概念【知识在线】 1|=k+ ，kZ 2 A 3. ， 45 C 【训练反馈】 1 A 2 B 3 B 4 D 5 6一、二 72k+ x2k+或2k+x2k+2 ，kZ 8负 9 2cm2第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 【知识在线】 1 A 2 D 3 4sin2cos2 5 A 【训练反馈】 1 D 2 B 3 B 4 5 1 6 略 7 8 第3课 两角和与两角差的三角函数（一） 【知识在线】 1 C 2 B 3 B 4 5【训练反馈】 1 C 2 C 3 A 4 5 6略 7 cos2=，cos2=1 8 第4课 两角和与两角差的三角函数（二） 【知识在线】 1 2 3 2 4 5tan2【训练反馈】 1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 6 sin2（AB）7. 1 8 .略第5课 三角函数的图象与性质（一） 【知识在线】 1 2kx 2k ，kZ 2 B 3 B 4（1）偶 （2）偶 （3）偶 5 k ，kZ 【训练反馈】 1 C 2 C 3 B 4 D 5 , ) 6 7（1）sin4 sin3 sin2 （2）cos2sin2tan28（1）M=1，m=1，T= = （k0） （2）k=32第6课 三角函数的图象与性质（二）【知识在线】1 D 2 B 3 B 4 B 5 D 【训练反馈】1 B 2 D 3 D 4 A 5 4 6左， 7 y= sin(3x+) 8（1）xx=+2k，kZ； （2）将y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+）的图象9（1）最大温差20； （2）y=10sin(x+）20，x6，14第7课 三角函数的最值【知识在线】1 C 2 2 ， 2 ， ， 3 2，2 4 0, 【训练反馈】1 B 2 D 3 A 4 A 5 1m 6 7+ 8a=2, b=2 92a1
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