小学数学世界名题巧解(35).doc

小学数学世界名题巧解抽屉原理的问题我国明末清初，有一位伟大的数学家叫做梅文鼎公元1633年1721年。他用毕生的精力研究数学和天文学。他在许多预测天文现象的著作里，曾不自觉地应用了近代数学的抽屉原理。如果给你4个苹果，让你把它们分放到3个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里有两个苹果。把5封信，分放到4个信箱中，一定有一个信箱中有2封信。如果6只鸽子飞进5个鸽笼，并且没有空着的鸽笼，那么一定有一个鸽笼飞进2只鸽子。以上这些简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。基本的抽屉原理认为：如果把x1个物体分放到x个抽屉里，那么有一个抽屉里不止有一个这种物体。通俗地说就是：“东西多，抽屉少，至少要有两个东西放在同一个抽屉里。”抽屉原理的用途很广。如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂，觉得无从下手的问题。为了对抽屉原理有个初步地了解，以便最后能解答例5梅文鼎提出的问题，我们先看一下例1至例4。例1、某校有32名学生是在一月份出生的，那么其中至少有两名学生的生日是在同一天。这是为什么？解：1月份有31天，可以看作是31个抽屉。32名学生可以看作是32个物体。把32个物体放进31个抽屉，当然要有一个抽屉里要放2个物体。由此，说明至少有2名学生的生日是在同一天。答：略。例2、班上有49名学生，老师拿多少本书分给大家，才能保证班上至少有一名学生能得到2本书？解：49人49个抽屉； ？本？个物体。把49人看作49个抽屉，多少本书看成多少个物体。要满足题意，根据抽屉原理，物体的个数必须比抽屉的个数多，即书的本数必须多于49，而大于49的最小的整数是50，所以，至少要拿50本书，才能保证至少有一名学生得到2本书。答：略。利用抽屉原理解题的思路和步骤是：构造抽屉；把物体放入抽屉；说明理由，得出结论。合理、正确地构造抽屉是解抽屉原理问题的关键。例3、幼儿园买来不少猪、狗、马的塑料玩具，如果每个小朋友任意选择2件，那么，要保证至少有2人选的玩具相同，就要至少有几名小朋友？解：6种搭配6个抽屉；？名小朋友？个物体。从三种玩具中挑选2件，搭配方式是这样：马马，马猪，马狗，猪猪，猪狗，狗狗。由上面的搭配看得出，所有的搭配一共是六组。如果把每一组的搭配看成一个抽屉，共有6个抽屉。如果把6名小朋友看作6个物体，每个物体可以放进一个抽屉，也就是每名小朋友选择的一组玩具可以不相同。那么要保证至少有2人选相同的一组玩具，就要至少有7名小朋友。答：略。例4、把135块饼干分给16名小朋友，每名小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有2名小朋友得到的饼干数目相同。为什么？解：16名小朋友16个抽屉；135块饼干135个物体。如果16名小朋友所分到的饼干数都不相同，至少要有饼干：12316116162171622722136块这里求饼干的块数，是用高斯快速求和的方法。现在只有135块饼干。我们把16名小朋友看作16个抽屉，把135块饼干看作是135个物体。当我们把135个物体放进16个抽屉里时，如果每个抽屉里物体的个数不相同，一定要有一个抽屉里没有物体；如果要使每个抽屉里都有物体，至少要有2个抽屉里的物体个数相同。这就是说，因为有一个抽屉是空的，一定要从物体多的一个抽屉中拿出1个、或2个、3个放进空的抽屉之中，但要保证每个抽屉中都有物体；要是拿出的是1个，放入空的抽屉中，这个抽屉中的1，就要与原来已有1抽屉中的个数相同了。以此类推所以，如果要使每个抽屉中都有物体，那么，一定至少有2个小朋友所得的饼干数相同。答：略。例5、有一次梅文鼎去参加科举考试，在路上遇到了准备去考试的12名举子。他们最大的是25岁，最小的是15岁。由此他断定，在这些举子之中，至少有2人是同岁。这是为什么？解：人的属相有12个，15岁到25岁的年龄差是：2515111岁我们把11岁当做11个抽屉，把12个人当做12个物品，把12个物品放在11个抽屉之中，自然是有一个抽屉之中至少要放2个，所以，一定至少有2个人的属相是相同的，也就是说，至少有2个人的年龄是相同的。答：略。