2010年江苏高考数学试题详析.doc

2010年江苏高考数学试题1、 填空题1、 设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数a=_简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a2+4=3，a=1或a2=1(舍) a=12、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_简析：由题意z=2i|z|=23、 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_简析：4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm。简析：观察频率分布直方图，知有0.065100=30根长度小于20mm5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),(xR)是偶函数，则实数a=_简析：由偶函数f(x)=f(x) x(ex+ae-x)=x(e-x+aex) x(ex+e-x)(1+a)=0 a=16、 在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_简析：法一直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明； 法二基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,)MF=47、 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_简析：读图知这是计算S=1+21+22+2n的一个算法，由S=2n133且n为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+25=63开始S1n1SS+2nS33nn+1否输出S结束是8、 函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_简析：对原函数求导得y=2x (x0)，据题意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=219、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4四个点到直线12x5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，即f(2x)的x的范围是_简析：设t=1x2，当x1时，t0，2x1时，t2，f(1x2)=1，f(2x)=(2x)2+15，显然不满足f(1x2)f(2x)当1x0时，t0，2xf(2x) (x1)；当0x1时，t0，2x0，所以f(1x2)=(1x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1x2)f(2x) (1x2)2+1(2x)2+1x46x2+100x1 综上，x(1,1)12、 设实数x,y满足3xy28，49，则的最大值是_简析：由题意知x,y均为非0的正实数。 由3xy28 ，又49 3，即3 493 2713、 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=_简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c2=2a2+2b2 ，边化角得=6cosC 因为+= tanC( + )=tanC = 至此，式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。 据式，式= ，又据式，式=4 14、 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_简析：如图，ABC是边长为1的正，EFBC，四边形BCFE为梯形； 设AE=x (0x1)，则梯形BCFE周长=3x，梯形BCFE面积=(1x2)，所以据题意知： S= (0x1) 对S(x)求导，令S(x)=0，联系0x1得x=，又0x，S(x)0，x0 所以x=时S(x)有最小值S()=2、 解答题15、 （14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2) 设实数t满足(t)=0=0，求t的值简析：据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量与和、差的模；两对角线长为2,4因为=(3,5), =(2,1)，所以由(t)=0知t= 16、 （14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900(1) 求证：PCBC(2) 求点A到平面PBC的距离 简析：证：因PD底面ABCD，BC在底面上，所以PDBC； 又因BCD=900，所以BCDC；又PD、DC相交于D，所以BC平面PDC 又PC在平面PDC上，所以BCPC，即PCBC在底面ABCD上作AEBC交CD延长线于E，则E在平面PDC上；在平面PDC上作EFPC交PC于F，结合推知EF平面PBC，所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。在PEC中，利用面积的等积性有 ECPDPCEF所以EF=，所以点A到平面PBC之距为此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥APBC与三棱锥PABC实为同一个锥，而三棱锥PABC的底面积=ABBC=1，高=PD=1；三棱锥APBC的底面积=PCBC=，所以可求得三棱锥APBC的高为，亦即点A到平面PBC的距离为17、 （14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=，ADE=(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，最大解析：18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m0,y10,y2cSk都成立。求证：c的最大值为20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+)上的函数，其导函数为f (x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,+)都有h(x)0，使得f (x)=h(x)(x2ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).设函数f(x)=h(x)+ (x1)，其中b为实数求证：函数f(x)具有性质P(b) 求函数f(x)的单调区间已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2(1,+)，x11，b1，若|g(a)g(b)|g(x1)g(x2)|,求m的取值范围 【理科附加题】21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）几何证明选讲AB是O的直径，D为O上一点，过点D作O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求实数k的值参数方程与极坐标在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值不等式证明选讲已知实数a,b0，求证：a3+b3(a2+b2) 22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、（10分）已知ABC的三边长为有理数求证cosA是有理数对任意正整数n，求证cosnA也是有理数