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20102011学年度（上）学期初质量监测高三数学（供理科考生使用）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）题第（24）题为选考题，其它题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（1）已知是虚数单位，复数的共轭复数是，若，则（A）（B）（C）（D）（2）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（A）7（B）-28（C）-7（D）28（3）已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1 人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有 （A）120种 （B）81种 （C）72种 （D）27种（4）设函数（A） （B）（C）（D） 2（5）某校现有男、女学生党员共8人，学校党委从这8人中选男生2人、女生1人分别担任学生党支部的支部书记、组织委员、宣传委员，共有90种不同方案，那么这8人中男、女学生的人数分别是（A）男生2人，女生6人 （B）男生6人，女生2人（C）男生3人，女生5人 （D）男生5人，女生3人（6）在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为（A） （B） （C） （D）（7）已知函数的点所形成区域的面积为（A）4（B）2（C） （D）（8）对任意的实数，记 若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示 则下列关于函数的说法中，正确的是 （A）为奇函数（B）有极大值且有极小值（C）的最小值为且最大值为（D）在上不是单调函数（9）已知都是定义在上的函数，并满足以下条件： ；且，则（A） （B） （C） （D）或（10）设，则函数在区间上有零点的概率是 （A） （B） （C） （D）（11）已知、都是定义在R上的函数， ，在有穷数列( =1,2,10)中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是 （A） （B） （C） （D） （12）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为（A）（B）（C）（D）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置（13）函数的单调递减区间是 ； （14）某公司计划在北京、丹东、沈阳、大连四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是 ；（用数字作答）（15）向区域内任投一点，则点落在单位圆内的概率为 ； （16）符号表示不超过的最大整数，如，定义函数设函数，若在区间上零点的个数记为， 与图象交点的个数记为，则的值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤AB（17）（本小题满分12分）某超市为促销商品,特举办“购物有奖100中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中,落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（I）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；(II)某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；(III)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.（18）（本小题满分12分）已知函数（aR）。 （I）我们称使=0成立的x为函数的零点。证明：当a=1时，函数只有一个零点； （II）若函数在区间（1，+）上是减函数，求实数a的取值范围.（19）（本小题满分1 2分）数列中，（I）若，设，求证数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（II）若，用数学归纳法证明：（20）（本小题满分12分）第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园。在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75， （I）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为，求的分布列及其数学期望； （II）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率.（21）（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多答，则按答题位置最前的题计分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲CMNABED如图：是内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，弦BD/MN，AC与BD相交于点E。（I）求证：；（II）若AB=6，BC=4，求AE。（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线. 以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.（I）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（II）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值.（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（I）已知都是正实数，求证：；（II）已知都是正实数，求证：.20102011学年度（上）学期初质量监测高三理科数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 （1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）B （7）D （8）D （9）B （10）C （11）A （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（13）和 （14）60 （15） （16）三、解答题：本大题共6小题，共70分 （17）（本小题满分12分）解：记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故， 2分(I) 获得两次一等奖的概率为 . 4分（II）X可以取2,3,4P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= 8分分布列为：234所以E=2+3+4=2.5. 10分()参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖. 12分（18）（本小题满分12分）解：（I）当a=1时，其定义域为（0，+），令，解得或，又x0，故x=1，当0x1时， ，函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，当x=1时，函数取得最大值，即，所以函数只有一个零点；（5分） （II）因为，其定义域为（0，+），所以，（1）当a=0时，所以在区间（0，+）上为增函数，不合题意。（7分） （2）当a0时，等价于，即x，此时，的单调减区间为（，+），依题意，得，解之得。（9分） （3）当a0时，等价于，即0x，此时的单调减区间为（0，），不合题意。综上所述，实数a的取值范围是。（12分）（19）（本小题满分12分）（I）证明：， （2分），数列是首项为2，公比为2的等比数列， （4分），即，得，所以 （6分）（II）证明：（i）当时， ，不等式成立； （8分）（ii）假设当时，成立，那么，当时，去证明，；，；， 所以不等式也成立， 由（i）（ii）可知，不等式成立 （12分）（20）（本小题满分12分）解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为依题意，且 1分 的分布列为0123 5分 6分（2）用表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；表示事件“冰块是由乙工作队采出的”；表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用表示事件“采出的冰块能被利用” 8分则， ，, 10分 答：采出的冰块能被利用的概率是. 12分（21）（本小题满分12分）解：（I）， （2分）在上不具有单调性，在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点 （4分）是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 （6分）（II）由（I），方法1：，（8分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值从而，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则， ，即 （12分）方法2： 、是曲线上任意两相异点， （8分）设，令，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，所以即 （12分）（22）（本小题满分10分）解：（I）在和中， AB=AC ABE=ACD （2分）又BAE=EDCBD/MNEDC=DCN直线是圆的切线DCN=CADBAE=CAD（SAS） （5分）（II）EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACBBC=BE=4 （7分）设AE=。易证又AEEC=BEED EC=64 = （10分）（23）（本小题满分10分）解：（I）由题意知，直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：，曲线的参数方程为： （5分） （II） 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：，当sin(300)=1时，点，此时 （10分）（24）（本小题满分10分）证明：()，又，. （5分）法二：，又，展开得，移项，整理得. （5分） （II） ，由（I）知：；将上述三式相加得：， （10分）
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