物理实验讲义-基础.doc

第一部分 实验数据处理基础知识一 大学物理实验课的地位和作用科学实验是科学理论产生的源泉，是科学理论发展的动力，是工程技术的基础。作为21 世纪的高科技人才，不仅要具备比较深广的理论知识，更应具备把科学理论运用到生产实践中的能力，以便适应科技进步和社会主义建设迅速发展的需要。因此，必须通过科学实验的系统训练，逐步养成把动脑和动手、理论和实际结合起来去分析问题、解决问题的良好习惯。大学物理实验课是为理工类专业学生开设的一门独立的必修基础课，是对学生进行系统实验方法和实验技能训练的开端和入门向导，是以后一切科学实验工作的基础。每一个物理实验项目都是通过一定的实验方法把物理理论和测量任务联系起来，构成测量系统并指导学生 有计划的操作，可以由简入繁地模拟一个科学实验全过程，从而使学生独立地在基本实验知识、基本实验方法和基本实验技能三方面受到全面训练，也加深了对物理学理论的理解，并培养成实事求是的科学态度。二 大学物理实验课的基本程序科学实验大体有以下几个步骤：提出测量任务、设计实验方案、仪器安装调试、取得数据、处理数据、分析结果、写出报告或论文。本课程所开设的实验项目是人为地创造出一种条件，按照预定计划，以确定顺序重现一系列物理现象。因此，本课程对多数实验着重于方法和技能上的严格训练，一般并不看重“结果”。实验课的基本程序为网上选实验项目和时间、课前预习、课上进行实验、课后整理分析数据并写出实验报告。（一） 课前预习为在预定时间内顺利地完成实验，学生要认真阅读实验指导书和有关参考书；明确实验目的；弄懂实验的理论依据和条件、领会实验方法、了解仪器的精度、工作原理和操作规程，掌握如何装配、连接和调整；了解实验步骤、写出预习报告，在报告中画出必要的简图（如电路图、光路图）；设计好数据记录表格，注明所有文字符号的物理量和单位。此预习报告就作为整个实验报告的前半部分，待实验做完后再续写出后半部分。（二） 课上实验操作通过教师对预习的检查后，方可进行实验。1仪器的安装和调整首先由说明书或挂图熟悉各主要仪器，了解其工作原理和使用方法及注意事项。然后进行安装和调试仪器，使其处于正常工作状态（如水平、铅直等）。未把仪器仔细地调到正常状态，而忙于测量是不会得到正确的实验结果的。仪器使用中须按操作规程进行。如果不是测量要求，在不明确操作规程情况下，切勿乱动用仪器。详细地还要注意以下几点： 仪器的量程要符合实验要求，弄清最小分度的读数；注意仪器零点，必要时应调零。 拧动仪器上的旋钮或转动部分时，不要用力过猛，应缓慢匀速进行，受阻碍则立即停止。 灵敏度高的仪器（如分析天平、灵敏检流计等）都有制动器，不测量时应使仪器处于制动状态。 对透镜、光栅等光学元件及砝码等，为了保持其性能和光洁，不许用手直接摸表面，也 不许随便用布或纸去擦。 使用电学仪器时，要注意额定电源电压、连接时的极性和人身安全，并必须经教师允许 后方可接通电源。 实验结束后要整理仪器，并恢复到实验前的状态。2观测与记录观测时要精力集中，不受外界干扰，也不要影响别人。对实验中出现的不同现象要勤于动脑，用所掌握的物理学规律和原理给予解释，能查找出异常现象的原因。记录就是如实地记录所观察到的现象、过程和测量的数据。必须将数据记录在预习报告的数据表内或实验记录本上。数据之间要留有间隙，以便补充。要求记得简单、清楚，标明单位，不得随便涂改，更不允许按标准数据或他人数据修改自己的数据。若发现记录的数据有误应用笔划掉，并将正确数据写在旁边，不要在原数据上涂改。记录内容包括：时间、地点、合作者、室温、气压、仪器及其编号、简图、简单的过程、原始数据、有关现象和随时发现的问题等。总之，观测和记录实验数据时要特别仔细，以保证读数和记录准确无误，它决定着本次实验工作的成败。记录数据须经指导教师检查认定合格后方可结束实验，否则要重新测量。（三） 数据处理与实验报告实验报告是本次实验工作的全面总结，是科学技术交流不可缺少的方式。通过它可以巩固实 验基本知识及物理学原理，以及正确表达实验结果和对结果的评价，为将来进行科学实验、 写好科技论文打下基础。实验报告应包括：实验名称、目的、原理摘要及计算公式、简图、仪器、实际的主要步骤、 记录及数据表格、数据处理（必要时可编程序上微机处理）、不确定度估计、实验结论和讨论、回答思考题。实验报告要求一律使用统一印制的报告用纸，画曲线须用坐标纸。报告在叙述上力求文字通顺，简单明了，用语准确，字迹工整，图表规矩，结果表达正确，把遇到的问题和见解做力所能及的分析、讨论，也可提出改进实验设计及方法的建议。三 测量与误差在物理实验过程中要定量地测出各有关的物理量，而这种用以确定被测对象量值为目的的操作就叫测量。测量可分为两类：（1） 直接测量 为了进行测量，每个物理量都规定有相应的计量单位。直接测量就是用带 有计量单位刻度的量具和仪器与待测量直接比较，其倍数即为测量值。例如，用米尺测量某一单摆的摆线长，它是1m的0.986 5倍则可直接读出摆线长为0.986 5m。（2） 间接测量 大多数物理量不能直接用计量仪器把待测量的大小测出来，而需依据待测 量和某几个直接测量值的函数关系，求出待测量，这种测量叫间接测量。如测重力加速度g，需由测量单摆的长度l和周期T，并根据单摆的周期公式计算出。任何一个物理量都是客观存在的，在一定的条件下，它具有与给定的特定量的定义一致的固定量值，这个客观量值就定义为待测量的真值。但在测量的过程中，由于仪器的灵敏度和分辨率有限、方法不完善、环境不稳定、人员不熟练等诸多因素的影响，被测量的真值是不可能测得的。一般将测量值或经修正的算术平均值作为测量结果。而测量结果和待测量真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量误差。设被测量的真值为a，测量值为x，误差为，则 （3-1）一切测量所得的数据，毫无例外地都包含有一定的误差。由于真值一般是未知的，所以一般误差也不知道，但可分析其产生的主要因素，尽可能地消除或减小某些误差分量对测量结果 的影响，以求出待测量的最近真值，并对结果中未能消除的误差估计出其限值或分布范围。为此必须研究误差的性质、来源，以便采取措施，以期达到最佳测量结果。按误差对测量值影响的性质，误差可分为三类：可定系统误差、随机误差和过失（粗大）误差。 可定系统误差 指在重复性的条件下，对被测量多次测量时，总是使测量结果向一个方向偏离，或按某一确定的规律变化，即符号和绝对值已经确定的误差分量。所谓重复性条件是指：相同的测量程序；相同的观测者；在相同的条件下用相同的测量仪器；相同地点；在短时间内重复测量。研究可定系统误差产生的原因，并确定其大小，以尽量消除此分量对测量结果的影响，使测量结果更趋于正确和可靠，是数据处理中的一个非常重要的内容。不计其它误差时设真值为N0，测量值为，则可定系统误差定义为，N可正可负。由于它的存在，就要对测量结果加以修正，即真值为测量结果加上修正值N ，即N0=+N ，比较两式可知N =-N，即要将可定系统误差取反号，加入中就得到了修正后的结果。可定系统误差的出现一般有较明确的原因，常见的有如下四个方面：1）仪器误差。这是由于所用器具本身缺陷或未按规定条件使用而产生的误差。如仪器的刻度不准，零点的刻 度未调好，砝码的标称质量未校准等。2）方法误差（理论误差）。这是由于实验方法和理论不完善引起的误差，如电学测量中未考虑电表内阻的影响；又如单摆的周期公式是在认为摆角很小时，取sin的条件下导出的，当摆角较大时，由此引入的周期误差，当=10.0时，T /T0.20%；=15.0时，T /T0.40%；=30.0时，T /T1.7%。3）装置误差。这是由于所用装置调整不完善而产生的误差。如天平未调水平，光路不同轴，电磁学测量中存在接触电阻、接触电势等。4）个人误差。这是由于观测者感觉器官和运动器官反应灵敏度引入的误差。如使用停表时 操作不及时，则会造成超前或滞后的时间误差。为了减少可定系统误差对实验结果的影响，应在实验中不断地改进和提高实验者的实验技术，积累经验，找出其产生的原因，并设法将其减小到最低限度。在某些情况下存在一些消除和减小可定系统误差的方法如下：1）对测量结果引入修正量： 检定修正法。将量具或仪器与标准件或精确度更高的仪器相比较，得出修正量或修正曲线。 理论分析法。由理论分析导出修正公式，如精密称衡的空气浮力修正、量热学实验中的热量补正等。2）选择适当的测量方法，使可定系统误差相互抵消而不带入测量值中，常用的方法有： 对换法。如用滑线式电桥测电阻时，把被测电阻与标准电阻交换位置进行测量，使产生可定系统误差的因素在测量中起相互抵消作用。 补偿法。如量热计中，采用加冰降温，使其初温低于室温，而末温高于室温，两者温差相等时，即可补偿升温时的散热损失。 替代法。用一已知量替代被测量以达到消除可定系统误差。 半周期偶数测量法。在某些仪器中，其可定系统误差按正弦规律变化，如度盘仪器（普通物理实验中的分光计、旋光计等）的偏心差，它在任何差半周期的两对应点处的可定系统误差绝对值相等，符号相反。若每次测量都在相差半周期处测两个值，以其平均值为结果，即可消除可定系统误差。 随机误差 在重复性条件下多次测量同一被测量时，测量值总是有稍许差异，而且变化不定，即使在消除可定系统误差之后依然如此。这部分绝对值和符号经常变化的误差称为随机误差。产生随机误差的原因很多，如人的感官分辨力不同，每个人对仪器示值的估读能力不同；实验仪器所在的环境温度的变化；电源电压的波动和气流、噪声、振动等对测量结果的影响。这些影响因素一般是微小的，并且是随机出现的，因而无法从结果中扣除。虽然这种误差的大小和符号不知道，但在同一量的多次测量中，它们的分布常常满足一定的统计规律。设对某量x做n次测量值为x1，x2，xn的误差为1，2，n，真值为a，则（x1-a）+（x2-a）+（xn-a）=1+2+n，很容易得出： （3-2）从上式不难得出：1）在确定的测量条件下，减小测量结果随机误差的办法是增加测量次数，这是因为测量值的误差有正有负，相加后可抵消一部分，且n值越大，相消的机会越多。2）一系列测量值的算数平均值与真值之差，随测量次数的增加而减小，因此，可取多次测量的算术平均值作被测量的最近真值。虽然增加测量次数对提高平均值的可靠性有利，但增加测量次数对保持稳定的测量条件造成困难，长时间的测量会使观测者疲劳，又可能引起较大的观测误差。所以测量的次数不必太多，一般科学研究中取10到20次，大学物理实验中取4到10次。 过失误差 在测量过程中很可能出现用测量时的客观条件不能解释为合理的那些误差，称为过失误差。这是由于测量者在观测、记录和整理数据的过程中，粗心大意，疲劳等原因造成的。它的出现，会明显歪曲实验结果，应在实验中尽量避免，如果出现了应予剔除。虽然真值是一理想概念，但在若干具体实验中，如果某一物理量有标称值或公认值，测量结果只和标称值比较即可衡量测量质量，为此我们引入绝对误差和相对误差的概念。 绝对误差 设某被测量x的公认值为a，测量结果为x，则=x-a （3-3）就称为绝对误差。 相对误差 绝对误差的绝对值和公认值之比称为相对误差，通常用百分数表示。即E（x）=100% （3-4）在具体实验中，用绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而比较不同量的测量结果的可靠程度可用相对误差。从以上情况看，测量结果不可避免地含有误差，如何估计和表达这种含有误差的实验结果成为研究误差理论首要的一个问题。对于可定系统误差，可以设法消除或从实验结果中扣除（修正），下节仅讨论包含有随机误差的测量结果的科学表达方法。四 测量结果的表达（报告）方法（一）测量结果的科学表达方法和不确定度概念测量结果不可避免地含有误差，为了估计测量结果的可靠程度，我们把测量结果科学表达成如下形式：X=（单位） （4-1）其中，X代表待测量，为该物理量的测量值，它即可以是相同条件下多次直接测量的算术平均值，也可以是单次的直接测量值，还可以是经过公式计算得到的间接测量值。应表达为带有一位整数的小数与10若干次幂之积。是一个恒正的量，称为“不确定度”，是对X的真值所处量值范围的评定，它表示了由于测量误差的存在而对被测量值X的不能肯定的程度，它反映了可能存在的随机误差分量的分布范围。上式表示测量结果以一定的概率落在（-，+）范围内，即误差一般落在此区间外的可能性很小。在一定的条件下，越大，表征测量结果可信赖程度低；越小，测量结果的可信赖程度高。这里值得注意的一点是，误差和不确定度是两个完全不同的概念，误差是指测量值和真值之差，一般情况下，它是未知的确定的量；不确定度是指误差可能存在的范围，这一范围的大小能够用数值表达，两者不应混淆。要完整地表达一个物理量应该有被测量值、不确定度和单位这三个要素。当然，对于实验精度要求不高的测量，或者被测量的结果的不确定度对实验总结果的影响很小时，可以不做不确定度的估计。为了比较两个量测量结果的质量优劣，常用到相对不确定度的概念。相对不确定度E(X)定义为：不确定度与测量结果之比，即E（X）=/100%。E（X）愈大，表征测量结果的质量愈低；E（X）愈小，表征测量结果的质量愈高。（二）直接测量结果的不确定度估计和表达1测量列、平均值与残差 测量列 是指在重复性条件下对某量进行测量后所得的一组测量值。假设只存在随机误差，各测量值间稍有不同。 平均值 一测量列X1，X2，Xn的算术平均值为：=（X1+X2+Xn）/n= （4-2）统计理论指出，为测量列的最佳估计值，又称最近真值。我们就取为测量结果，它的可靠性要高于任何测量值。 残差 残差是指测量值Xi与平均值之差，即vi=Xi- （4-3）2实验标准偏差根据数理统计理论，当实验次数为n时总体标准误差的估计值用贝赛尔公式计算，用S表示，即：S= （4-4）上式亦称为实验标准偏差，它反映了测量列的分散性，即反映了测量列的随机误差的分布特性。标准偏差S大，表示测量值比较分散；相反S小表示测量值比较密集，随机误差小。现在很多袖珍计算器（如SHARP函数型）具有计算实验标准偏差的统计功能，具体步骤如下：开机；按“2nd F”键；按“STAT”键；每输入一个数据xi，按一次“M+”键；数据全部输入后，按“S（）”键得S；按“”键得。以后数据处理中，要计算S时，只需将n个测量值按上述规定的操作步骤输入计算器，即可给出及S。3直接测量结果的不确定度估计 相同条件下多次测量情形1）在直接测量X=中，分为两类分量，一是用统计学方法计算的A类分量A（即随机误差分量部分）；二是用其他方法评定的B类分量B 。应明确两种计算方法得到的分量在本质上没有区别，这两种方法都是基于概率分布，两类分量用方和根法合成，即= 4-5）2）A类分量A的评定A= （4-6）即 A= （4-7）亦称为平均值的实验标准偏差。3）B类分量的评定 不确定度B类分量是指用非统计方法估计出的不确定度。它对应于无法确定的系统误差，主要包含仪器未校准误差。对B类分量估计时需要确定分布规律，同时要参照标准，更需要估计者的实践经验、学识水平，因而不同的估计者可能有不同的结论。在物理实验教学中我们约定B类不确定度是将测量仪器的误差限折合成近似的标准偏差。仪器的误差限一般在仪器的说明书中注明，即给出了一个保证不致被超出的范围，指在正确使用仪器的条件下，测量值和被测量物理量的真值之间可能产生的最大误差。如给出的误差限仪的范围在-a，+a之内，估计误差概率分布是均匀分布，根据均匀分布理论，其不确定度B类分量B为 （4-8）如果认为误差更可能接近这个范围中心，则可估计误差概率分布是三角分布，其不确定度B类分量为如果认为误差概率分布在这个范围内更接近正态分布，则不确定度B类分量为在教学中为简化起见，我们约定，误差概率分布按均匀分布考虑，B类不确定度用式（4-8）来计算。在教学中我们约定，正确使用仪器时的仪器误差限仪可按如下原则来确定： 对可估读测量数据的仪器 仪=最小刻度的1/2 比如，米尺的最小刻度为1 mm，则米尺的仪=0.5 mm。 对不可估读测量数据的仪器 仪=仪器最小分辨读数 比如，分辨率为0.05 mm的游标卡尺，则其仪=0.05 mm；分辨率为0.02 mm的游标卡尺，则其仪=0.02 mm；分辨率为30和1的分光计，其仪分别为30或1；各类数字式仪表，仪=仪器最小读数。 对有仪器说明书或注明仪器精度等级的仪器 仪按仪器说明书计算 比如，螺旋测微器（050 mm），仪=0.004 mm；电磁仪表（指针式电流表、电压表），仪=AK%（A为量程，K为仪表精度等级）。其它情形，仪由实验室给出。4）两类分量用方和根法合成总不确定度 （4-9）总相对不确定度 （4-10）例1 用一台数字电压表测某一高稳定度恒压源，输出电压V，重复测量次数n=7，电压表分辨率为1 V，测量范围为1 V。生产厂说明书给出表的准确度在量程Vm=1 V时，仪= 15 V，七次测得值为： V1=0.928 570V；V2=0.928 534 V；V3=0.928 606 V；V4=0.928 599 V;； V5=0.928 591V；V6=0.928 585 V；V7=0.928 572 V设测量过程中可定系统误差为0，可以算得=Vi/n=0.928 579 6 V实验标准偏差S=24 V， A类分量A=24=9.1 V B类分量B=8.7 V总不确定度=12.6 V结果表示为V=0.928 580.000 013 V=（9.28580.00013）10-1 V 单次测量结果的不确定度估计 本实验课中通常在以下几种情况下才只进行单次测量： 在有些实验中，由于是在动态中测量的，不容许对被测量做重复测量； 也有些实验的准确程度要求不高，或经实验室事前分析A类分量远远小于仪器的误差限，即A仪；在间接测量中，其中某一物理量相对不确定度对最后的结果影响很小。在这些情况下可以对被测量只测一次。对于单次测量获得的测量值X，一般地说不可避免地含有随机误差以及可能存在的显著的系统误差。但公式中的S只能用贝塞耳公式计算，n=1时的S值发散，因而单次测量不能用统计方法计算A类分量，简单地取总不确定度等于B类分量，这是一种粗略的简化的数据处理方法。例如用米尺测一单摆摆长，主要误差来源是刻度不准和估读能力有限，误差限值是此两项误差的总和，可取为仪=0.5 mm。在电磁学实验中，单次直接测量用得较多，例如用电表测量电流、电压或者其他量，其值都是根据电表指针偏离零位的角度大小来度量的。设对电流进行测量，指针指示为7.20 mA，为 了估计电流值的不确定度，必须知道电表的级别，若电表的级别为1.0级，表示指示值带有不大于满量程1%的系统误差。设此表满量程的电流值为10.0 mA，根据一级表的要求，则电流表的仪器误差限仪=10.00.01=0.10 mA虽然指针的位置可读到0.01mA，但是级别告诉我们电流值只准确到小数点后第一位，因此最后正确的结果应表达成：I=（7.20.1）mA。由于通常计量仪器的最小分度值是按仪器的基本误差限来确定的，因此读数时按最小分度值读取就可以了。对于那些需要作进一步运算的读数，可在最小分度间再估读一位，估读值根据实验者判别的能力来确定，一般可估读到最小分度的1/10、1/4或1/2。当指针处于表盘最小分度值的1/4处时，应读最小分度值的0.2 或0.3，而不应读0.25。这是因为小数点第一位已是估计值，再读第二位毫无意义。同样指针处于最小分度值3/4处，应读最小分度值的0.7或0.8。应当指出，无论使用指针式仪表，还是数字式仪表，在测量时，其读数值应尽可能使之处于满量程的1/2到3/4间，以期减小由仪表的误差限带来的误差。如上例I=（7.20.10）mA 的相对不确定度E=1.4%。但若指针指于1 mA处，则有I=（1.000.10）mA，其相对不确定度E=10%。如果重复测量所得的各测量值均相同，表示仪器精度不够，揭示不出随机误差，其不确定度的估计可参照单次测量时的不确定度的估计。 测量列中异常数据的取舍 在重复性条件下所得一测量列中有时会出现某个值与其余各值的差异特大，但又找不到确切的理由说明它是测错的数据时，可以根据随机误差的分布规律，决定它的取舍。较常用的方法是肖维涅准则。肖维涅准则是：在标准偏差为S的测量列中，对于n次测量，求出残差的极限值ks（k由表4-1查得），凡测量值的残差绝对值超过ks的应舍去，并把剩余的测量值重新求平均值和残差，再用肖维涅准则处理，直至所有剩余的测量值的残差不大于ks为止。表4-1nksnksnks41.53S101.96S162.16S51.65112.00172.1861.73122.04182.2071.79132.07192.2281.86142.10202.2491.92152.13例如有如下一组长度测量值（单位：cm）：98.28，98.26，98.24，98.29，98.21，98.26，98.17，98.25，98.23，98.25，其平均值为98.244 cm，S=0.035 cm，n=10。按肖维涅准则，残差的极值ks=0.068 cm，发现98.17 cm的残差的绝对值0.074大于0.068，因此应予舍去。其余9个测量值的平均值为98.252 cm，S=0.024 cm,，ks=0.047 cm，余下的各测量值残差的绝对值均小于0.047 cm，均予保留。（三）间接测量结果的不确定度估计和表达前面已经谈到多数物理量是由间接测量获得最终结果，而间接测量结果是由若干直接测量量按照一定的函数关系求出的。例如，测量圆柱体的体积时，要对其直径d和柱长l进行测量，分别求出他们的算术平均值，然后按V=d2l/4的函数关系求出间接测量结果的V值，即=/4。由于直接测量值都有一定的不确定度，因此求得的间接测量结果也必然有一定的不确定度。 其不确定度的大小取决于各直接测量值不确定度的大小，以及函数关系的具体形式。表达各直接测量值不确定度和间接测量值不确定度之间的关系式，称为不确定度的传递公式。设间接测量值Y和直接测量值x1，x2，xn之间具有的函数关系式为Y=f（x1，x2，xn）。则Y的最佳估计值为x1，x2，xn是互相独立的量，它们的不确定度分别是，由于它们的值很微小，相当于数学中的“增量”，因此它们与数学中微分有相类似性质，可以用类似于求全微分的办法来求间接测量结果的不确定度。由多元函数微分学知，Y的全微分表达式为：dY=dXk （4-11）但须注意到各量的不确定度又具有统计性质，各分量要用方和根法进行合成，故可近似地用下面公式计算Y： （4- 12）特别地，当函数f（Xk）中各量间是积商形式时，用上式计算不太方便，宜改用相对不确定度的合成（传递）公式：E（Y）= （4-13）而总不确定度 间接测量结果的不确定度的计算过程可分为三步：1）先估计各直接测量量Xk的不确定度；2）根据函数关系Y=f（Xk），由Y的全微分式，写出不确定度传递公式；3）计算Y的不确定度Y或者相对不确定度E（Y），并表达结果= （4-14）下面给出几种函数的间接测量不确定度传递公式：1）Y=x1x2= （4-15）2）Y=x1x2其中 lnY=lnx1+lnx2故 E（Y）= （4-16）3）Y= （4-17）4） N= （4-18）五 有效数字及运算法则实验中总是要记录很多数据，并进行计算。但是记录时应取几位?算术平均值取几位?实验标准偏差S取几位?运算后的间接测量结果取几位?不确定度取几位?这些都是实验数据处理中的重要问题。任何一个物理量的测量总是存在误差的，故测量结果的位数总是有限的，有效数字的概念是能正确而有效地表示测量和运算结果的数字称为有效数字。正确地读取和保留有效数字，一则可以保证不致牺牲仪器的精度，二则可避免不适当的取舍带来非测量的附加误差，再则保证不致因留过多的位数而做无用功。（一）原始记录的有效数字有效数字由直接从度量仪器最小分度以上的若干位准确数值与最小分度的下一位（有时是在同一位）估读（或称可疑）数值构成。1）对于10分度的仪器，读数要取到最小分度的1/10。例如，最小分度是毫米的尺，测量时一定要估读到1/10 mm那一位。最小分度是0.1A的安培计，测量时一定要估读到1/100 A那一位。但有的指针式仪表，它的分度较窄，而指针较宽（大于最小分度的1/5），这时要读到最小分度的1/10有困难，可以读到最小分度的1/5或1/2。2）对于其他分度的器具或仪表，应取到最小分格的一位。如0.05 mm卡尺（20分度），只读到1 /100 mm位上的0.05，而其中的5就是可疑数字。3）如仪表本身标明精度等级，则末位应是产生误差限仪的一位。如量限1A的0.5级表，仪=10.5%=0.005 A，有效数字末位应在千分位上。有效数字位数的多少不仅与被测对象本身有关，还与所选用的测量仪器的精度有关。通常情况下，仪器的精度越高，对于同一被测对象，所得结果的有效数字位数越多。有效数字中的“0”不同于其他1、2、9九个数字，需注意下面的两种情况：1）有效数字的位数从第一个不是“0”的数字开始算起，末位为“0”和数字中间出现的“0”都属于有效数字。2）有效数字的位数与小数点位置或单位换算无关。如1.28 m可以写成128 cm，但不能写成1280 mm，因为前面的是三位有效数字，而后面的则是四位有效数字，它们表示测量的精度不相同。它可以写成1.28103 mm，即用科学记数法表示。（二）运算后的有效数字位数1实验后不评定不确定度时结果的位数确定法则 加减运算 以参与运算各量的末位数中最高的那一位为结果的末位，其余各数及和、差均比该位多取一位，运算后结果与该末位取齐，下一位按“四舍六入五凑偶”原则决定舍入。如7.625 75取两位为7.6，取三位为7.62，取四位7.626，取五位7.625 8。即遇5的舍或入由其前一位（结果的末位）决定，如果前一位是奇数，则进位将其变成偶数，如果其前位是偶数，则将5舍去。 乘除运算 以参与运算的有效位数最少的数为准，其余各数及积、商均比该数多取一位。最后结果位数一般以该数为准，如果存在进位且结果的第一位数是1，2，3时，则可多留一位。如：9.8116.24=159.3，按前数结果应取159，但结果首位是1，故结果应取159.3。因计算器已经普及使用，运算过程中的数和中间结果也可不做取舍，或适当多取几位。计算公式中常数、e、等的有效数字位数可认为是无限的，需要取几位就取几位。2评定不确定度时结果的位数确定此时总原则是由不确定度来决定结果的位数。 总不确定度的有效位数 对于直接测量，平均值先多取几位，继之计算的实验标准偏差取12位，合成总不确定度后规定取12位， 当的首位数字小于4时取两位，第三位非零即进； 当的首位数字大于或等于4时取1位，第二位非零即进。相对总不确定度取两位，下一位非零即进。直接测量结果的末位应与总不确定度的首位取对齐，下一位按“四舍六入五凑偶”原则舍入。绝对误差位数取法与总不确定度位数取法相同。 对于间接测量的平均值可先多取几位，经不确定度传递公式合成后，仍按上述规定只取12位。最后确定测量结果的有效数字位数 原则上要保留的最后一位应与总不确定度的首位对齐，下一位按“四舍六入五凑偶”原则决定舍入。最后要以Y=表达测量结果，如：g=975.4 cm/s2，=8.1cm/s2=9 cm/s2 则g=（9759）cm /s2。六 实验曲线的描绘Ib/mA0.220.180.140.100.060.0200.1 0.2 0.3 -Ube/V图6-1 锗晶体管输入特性曲线Uce=0VUce=1V实验结果的表示，可采用表格、经验公式和曲线。其中用曲线表示实验结果具有简明直观，便于比较，易于显示变化规律。还能校正个别观测点或计算的错误，在曲线的应用范围内，可以找到必要的数据，以及对曲线内插外推。根据图线的形状可确定 物理量间的函数关系，并可对已定系统误差进行初步分析和校正。但曲线法一般只限于单变量的函数关系，其精度较差，测量值不超过四位有效数字。如图6-1为锗晶体管的输入特性曲线。绘制曲线时应注意下列问题： 选择合适种类的坐标纸 常用的坐标纸有直角（方格）坐标纸，对数或半对数坐标纸，极坐标纸等，最常用的是直角坐标纸。 选定坐标 以横轴为自变量，纵轴为因变量。一般以被测量为变量，但为了获得曲线为一直线，而将被测量作某种变换后的数值作变量。这不仅由于直线容易描绘，更重要的是直线的斜率和截距所包涵的物理内容是我们所需要的。如，单摆的摆长l和周期T，若以l为自变量，T为因变量作图时，将得到一曲线，如图6-2a所示。而以T2作因变量时，将得一直线，如图6-2b所示。这就很容易从该直线的斜率求得重力加速度g值。 坐标原点 要根据实验数据（变量）的分布范围确定坐标轴的起始值（坐标原点）和终了值。坐标的原点不一定要和变量的零点一致。一般坐标原点选在变量的绝对值最小值附近，且要取比较整齐的数值。 坐标的分度和曲线的变化范围 坐标轴的分度要和测量的有效数字对应，若坐标纸足够大，坐标纸的一小格要表示被测量的最后一位的一个、二个或五个单位，忌用一小格表示三、七、九个单位，使标点读数困难，容易出错。曲线在纵横坐标的变化范围要相差不大，最多不超过一倍。若按上述坐标轴分度要求，出现曲线过分扁平或竖直，是由于纵横轴测量量所用仪器的精度配合不当所致。可重新分度，最好使直线与水平轴成45角左右。 实验点和曲线的标绘 在坐标比例选定后，要画上坐标轴，注明纵横轴所代表的物理量和单位。按测量数据标出坐标点（描出曲线后也不要擦掉），对于多条曲线，坐标点可用“”、“+”、“”标记不同的图线。曲线的描绘要用曲线板，依照坐标点逐段描成光滑的曲线，切忌把坐标点简单联成折线。有些坐标点不在曲线上，这是由于测量中有误差存在，属于正常现象，但要使坐标点尽可能接近曲线，且均匀地分布其两侧。对于那些偏离曲线较远的坐标点，是否舍去，要按肖维涅准则进行判断。要得到最佳实验曲线，可用最小二乘法拟合曲线。40 60 80 100 l /cm 40 60 80 100 l /cm a b图6-2 单摆摆长和周期关系曲线T2/s22.001.501.20T2/s24.003.002.00七 最小二乘法和实验曲线的拟合简介最小二乘法在误差理论中占据很重要的地位，因此我们安排一些实验，通过这些实验的数据处理，掌握最小二乘法的基本原理，为今后处理较复杂的实验数据奠定初步基础。最小二乘法和用平均法、逐差法和作图法处理实验数据一样，都是拟合直线或曲线，求解经验公式的方法。常用的回归分析方法（最常用的就是最小二乘法）是基于数理统计的运算已不是耗时和困难的工作，况且有越来越多的现成的软件和程序可供我们直接使用，回归分析方法将是处理实验数据最基本的方法。（一）最小二乘法最小二乘法的原理是：由重复性条件下获得的许多测量值x1，x2，xn，这些测量值的最可靠值x0乃是当各测量值的偏差的平方和为最小时所取得的值。即（x1-x0）2+（x2-x0）2+（xn-x0）2min （7-1）很容易证明直接测量值的最佳值是算术平均值。式（7-1）对x0求导并使之为零有（x1-x0）+（x2-x0）+（xn-x0）=0所以 x0=所以式（7-1）又可表示为残差形式（x1-）2+（x2-）2+（xn-）2= =min （7-2）在拟合实验曲线中，最小二乘法原理又可表达为：最佳拟合曲线是这条拟合曲线与各测量值的偏差的平方和在所有拟合曲线中应是最小的。1 2 xi x图7-1 实验值与回归直线的偏差y21Ui（xi，yi）（二）用最小二乘法进行一元线性回归一元线性方程最简单，而且许多曲线可通过变量变换化为直线方程。测得一组具有线性关系的数据xi，yi（i=1，2，n）。怎样由这组数据找出直线回归方程y=b+ax （7-3）即确定其系数a和b。为此假定，各数据的测量是同等条件的，且在xi，yi中只有yi有测量误差。在实验处理中，可将相对误差较小的变量作x。由于存在误差，测得的xi，yi总是不可能完全落在（7-3）式所表示的直线上，某个xi所对应的yi，它与由回归求得的直线式（7-3）在y方向的偏差为：vi=yi-y=yi-b-axi （7-4）见图7-1。根据最小二乘法原理min （7-5）这里xi，yi为已知测得量，则a，b为变量，求最小值，即上式对a，b求偏微商。令其一次偏微商为零，二次偏微商大于零，有 （7-6）整理得 （7-7）其中 （7-8）其解为 （7-9） （7-10）（7-9）式中 （7-11） （7-12）同样有 （7-13）用最小二乘法解出了回归一元线性方程（7-3）两个参量，即斜率a和截距b的最佳估计值。又注意到，从力学角度看，是xi，yi（i=1，2，n）重心位置，回归直线必过重心，有直线方程的斜率、截距和必通过的重心点，画出该回归直线是很方便的。记住直线过重心点这个结论，对普通作图法也是有帮助的。（三）相关检验实验中测量值yi，xi是否满足一元线性方程，即它们是否线性相关，需要作相关检验。定义一元线性回归的相关系数 （7-14）当0时，由式（7-9）可知a0，即回归直线的斜率为正，称正相关；反之0，则a0，回归直线的斜率为负，称负相关；=0时x与y完全不相关；=1时，则xi，yi将全部落在回归直线上。表7-1 a n-20.050.0110.997120.9500.99030.8780.95940.8110.91750.7540.87460.7070.83470.6660.79880.6320.76590.6020.735100.5760.708150.4970.623200.4230.537250.3810.487300.3490.449500.2730.3541000.1950.254只有的绝对值大到一定水平时，x和y具有线性关系，用最小二乘法拟合回归直线，近似表示x和y的关系才有意义，如果的绝对值很小，即x和y线性无关，也就没有必要去拟合回归直线了。仅表示x和y的线性关系的密切程度，但它并不说明x和y是否有其他关系存在。x和y是否具有明显的线性关系，要有一个标准。在这个标准之上，可认为x和y具有明显线性关系。这个标准与测量值xi，yi的组数n有关，还与严格程度（用显著性水平表示）有关。表7-1给出了x和y显著相关的最小相关系数，即值大于表中给出值，拟合回归直线有意义。习 题a b c5 10 151试读出并记录右图所示的毫米刻度尺上a、b和c三个位置上的量值，并指出这些读数的有效数字位数。如要求用测量结果的形式表示，则测量结果的有效数字又各为多少位数?2指出下列各量为几位有效数字，再将各量改取成三位有效数字，并写成标准式。 1.085 0cm； 2 575.0g； 3.141 592 654s； 0.862 49m； 0.030 1kg； 979.436cm/s23按照误差基础知识和有效数字运算法则，改正以下错误： 0.30m等于30cm，等于300mm。 有人说0.123 0g是五位有效数字，有人却说是三位有效数字，请改正并说明原因。 某组测量结果三次初表示为：d1=（10.8000.02）cm；d2=（10.8000.123）cm；d3=（10.80.013）cm试按规定正确表示上述测量结果，计算各次测量值的相对不确定度，并进行比较，说明哪一次的相对不确定度最大?哪一次的最小?4有甲、乙、丙三人用螺旋测微计测一钢球的直径，各人测得的结果是：甲为0.486 2cm； 乙为0.486cm；丙为0.48cm。问其中谁的表达是正确的?谁是错误的?错在哪里?5以毫米为单位表示下列各值：1.58m，0.01m，2cm，3.0m6指出下列记录中，按有效数字的要求哪些有错误： 用以毫米分度的米尺测物体的长度：3.2cm，50cm，78.86cm，60.00cm 用最小分度为0.05A的安培计测电流强度：2.0A，1.45A，1.785A，0.601A7按有效数字运算规则，计算下列各数。其结果应取几位有效数字? 87.82+0.011 87.82+0.13 +1008用米尺测得正方形的边长为2.01cm、2.00cm、2.04cm、1.98cm、1.97cm,求正方形面积和 周长的平均值、不确定度并报告结果（B取0.5mm）。9将毛细管中注入一段水银，测得水银柱的长度l和水银的质量m值如下：m=（72.50.6）mg；l=（1.7650.002）cm； =（13.560.01）g/cm3为水银的密度，由公式求毛细管半径r及其合成相对不确定度。10用流体静力称衡法测一固体的密度，测量结果及其不确定度为 m1（物体在空气中的质量）=（26.770.02）g；m2（物体在水中的视质量）=（16.030.02）g。根据求物体的密度及其相对不确定度，t为水在测量时的密度，其值为0.998 67g/m3，的相对不确定度公式为：11一长方形物体，测得长l、高h、质量m的值如下：l=6.430、6.432、6.429、6.433、6.432（cm）;（B=0.05mm） h=10.513、10.510、10.515、10.514、10.513（mm）；（B=0.004mm）m=9.701、9.703、9.705、9.702、8.704（g）;（B=0.05g）求该物体的密度 及其合成总不确定度（用有效数字表示）。12用精密天平称得一物体的质量为：3.612 7g、3.612 2g、3.613 1g、3.612 0g、3.612 5g（仪=0.002g），试求其算术平均值、总不确定度，并表达结果。13在一定的温度下测定导线的电阻R的数据如下表所示，试作图。t/1.91 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0R/76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.95 85.1014测得某一凸透镜的物距a和像距b的数据为：a/cm100.0 80.0 60.0 55.0 45.0 40.0 35.0 32.0b/cm33.3 36.2 42.9 45.8 56.2 66.7 87.5 113.5试作b-a图线，并从图线上求出透镜的焦距f。15用伏安法测电阻，得到一组数据如下：i123456Ui/V02.004.006.008.0010.00Ii/mA03.858.1512.0515.8019.90试用作图法求电阻值R。第二部分 实验内容实验一 长度的测量长度测量是最基本的物理测量之一。这不仅因为长度是一个基本物理量，无论在生产过程或科学实验中都广泛地使用各种长度测量仪器，而且许多其他物理量的测量仪器（如温度计、压力表、各种电表等）的刻度，最终均转化为长度的测量。【实验目的】1了解游标卡尺、螺旋测微计的原理和构造。2掌握游标卡尺和螺旋测微计的使用和读数方法。3根据仪器的精度和有效数字的定义，正确记录原始数据。4掌握直接测量和间接测量的数据处理方法，并用不确定度报告测量结果。【实验原理】一、游标卡尺1游标原理米尺的分度值为1mm，即一个最小分格的长是1mm。用米尺测量物体长度时，可测准到毫米，毫米以下的读数要凭目测估计。为了提高估读的精度，可在米尺上再附加一把可以滑动的副尺，称为游标。设游标上每个分格的长度为x，主尺上的分度值为X，差值x=X-x为该游标卡尺的分度值，它是游标卡尺能读出的最小数值。常用的游标卡尺分度值为0.1mm、0.05mm、0.02mm，与它们相应的游标分别为10分度、20分度和50分度游标。 主尺游标0.105100510图1-1 10分度游标原理图图1-1中所示游标为10分度游标，游标上的10个分格和主尺上的9个分格等长。设该游标的最小分度长为x，由于主尺的分度值X=1mm，则有10x=19mmx=0.9mm故该游标的分度值为x=X-x=1-0.9=0.1mm它是10分度游标卡尺所能读出的最小数值。 主尺游标副尺0 1 2 30 25 50 75 1图1-2 20分度游标原理图图1-2中所示的游标为20分度游标，游标的20个分格和主尺上的19个分格等长。设该游标的最小分量是x，由于主尺的分度值X=1，则有20x=119mmx=0.95mm故该游标的分度值为x=X-x=1-0.95=0.05mm它是20分度游标卡尺所能读出的最小读数。图1-3 50分度游标原理图图1-3所示的游标为50分度游标，游标上的50分格和主尺的49个分格等长。设该游标的最小分度长为x，由于主尺的分度值X=1，则有50 x=149mmx=mmx=X-x=1-=0.02mm它是50分度游标卡尺所能读出的最小数值。综上所述，游标卡尺所能读出的最小值是由主尺与游标尺刻度的差值决定的，即由游标分度数目决定的。2游标卡尺的构造和使用方法游标卡尺的构造如图1-4所示，游标卡尺主要由主尺D和游标E两部分构成，主尺D按米尺刻度，游标E紧贴着主尺D滑动，外量爪A、B用来测量物体的外径和高度，内量爪A、B测量内径，深度尺C用来测量槽的深度。不测量时，将量爪闭合，游标E的零刻线和主尺D的零刻线应当对齐；测量时，一手拿物体，一手持尺，轻轻把物体卡住，旋紧紧固螺钉F，然后再读取数据。图1-4 游标卡尺3测量时游标卡尺的读数方法 从游标零线的位置读出主尺上的整格数， 根据游标上与主尺对齐的刻线读出不足一分格的小数，二者相加就是测量值。图1-5 游标卡尺的读数用游标卡尺测量长度L的普遍表达式为L=l+L=l+kx如图1-5所示，游标卡尺的分度值x=0.02mm,l=21mm,k=27。故物体长