2015年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科).doc

2015年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015成都模拟）设集合，则MN=（）A（1，+）B1，2）C（1，2）D1，22（5分）（2015成都模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x2”是“x23x+20”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”3（5分）（2015成都模拟）方程ln（x+1）=0，（x0）的根存在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，e）D（3，4）4（5分）（2015成都模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A5B7C9D115（5分）（2015余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A若m，mn，n，则B若，m，m，则mC若m，m，则D若，m，n，则mn6（5分）（2015成都模拟）二项式（+）10展开式中的常数项是（）A180B90C45D3607（5分）（2015成都模拟）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A=2BC=D8（5分）（2015成都模拟）已知O是坐标原点，点A（1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的取值范围是（）A1，B2，C1，2D0，9（5分）（2015成都模拟）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x2y+4=0与C交于A、B两点，则sinAFB=（）ABCD10（5分）（2015成都模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意xR都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x20，3，且x1x2时，都有0给出下列四个命题：f（3）=0；直线x=6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在9，6上为增函数；函数y=f（x）在0，2014上有335个零点其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11（5分）（2015南海区校级模拟）若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为12（5分）（2015成都模拟）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为13（5分）（2015岳阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）14（5分）（2013春衡水校级月考）若实数a、b、c成等差数列，点P（1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：15（5分）（2015成都模拟）给出下列命题：函数y=cos（2x）图象的一条对称轴是x=在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（12分）（2015成都模拟）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x+02Asin（x+）000（）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小17（12分）（2015成都模拟）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望18（12分）（2015衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面A1ADD1底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（）求证：A1O平面AB1C；（）求锐二面角AC1D1C的余弦值19（12分）（2015成都模拟）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn（1）求a1（2）求数列an的通项；（3）若bn=（nN*），Tn=b1+b2+bn，求证：Tn20（13分）（2015成都模拟）已知椭圆=1（ab0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q求证：直线PQ恒过一个定点21（14分）（2015成都模拟）已知函数f（x）=lnx+x2（1）若函数g（x）=f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a1，h（x）=e3x3aex，x0，ln2，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）3x2k（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由2015年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015成都模拟）设集合，则MN=（）A（1，+）B1，2）C（1，2）D1，2【考点】指数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意，可先化简两个集合，得，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案【解答】解：由题意，MN=x|1x2x|x1=（1，2），故选C【点评】本题考查求集合的交，解分式不等式，指数不等式，解题的关键是正确化简两个集合及理解交的运算2（5分）（2015成都模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x2”是“x23x+20”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，则A错误B由x23x+20，解得x2或x1，则“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故B错误C命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，故C正确D命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”，故D错误故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有量词的题目的真假判断3（5分）（2015成都模拟）方程ln（x+1）=0，（x0）的根存在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，e）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】令f（x）=ln（x+1），得出f（1）f（2）0，从而得出答案【解答】解：令f（x）=ln（x+1），而f（1）=ln220，f（2）=ln310，方程ln（x+1）=0，（x0）的根存在的大致区间是（1，2），故选：B【点评】他考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题4（5分）（2015成都模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A5B7C9D11【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S20，计算输出k的值【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；第二次运行S=1+2+6=9k=3+2=5；第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；此时不满足条件S20，程序运行终止，输出k=9故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法5（5分）（2015余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A若m，mn，n，则B若，m，m，则mC若m，m，则D若，m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若m，mn，n，则由平面与平面垂直的判定定理得，故A正确；若，m，m，则由直线与平面平行的判定定理得m，故B正确；若m，m，则由平面与平面垂直的判定定理得，故C正确；若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（5分）（2015成都模拟）二项式（+）10展开式中的常数项是（）A180B90C45D360【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：二项式（+）10展开式的通项公式为 Tr+1=2r，令5=0，求得 r=2，可得展开式中的常数项是 22=180，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题7（5分）（2015成都模拟）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A=2BC=D【考点】平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量，共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案【解答】解：由+=，得若=，即有=，则，共线且方向相反，因此当因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立对照各个选项，可得A项中向量、的方向相同，B项中向量，共线，方向相同或相反，C项中向量、的方向相反，D项中向量、的方向互相垂直故选：C【点评】本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题8（5分）（2015成都模拟）已知O是坐标原点，点A（1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的取值范围是（）A1，B2，C1，2D0，【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把|转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案【解答】解：+=（1，0）+（x，y）=（x1，y），则|+|=，设z=|+|=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1z，即|+|的取值范围是1，故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题9（5分）（2015成都模拟）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x2y+4=0与C交于A、B两点，则sinAFB=（）ABCD【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先有抛物线方程求得F的坐标，进而直线方程与抛物线方程联立求得A，B的坐标，利用两点间的距离公式分别求得|AB|，|AF|，|BF|，利用余弦定理求得cosAFB，进而求得sinAFB【解答】解：由抛物线方程可知，2p=4，p=2，焦点F的坐标为（0，1），联立直线与抛物线方程，求得x=2，y=1或x=4，y=4，令A坐标为（2，1），则B坐标为（4，4），|AB|=3，|AF|=2，|BF|=5，在ABF中cosAFB=，sinAFB=，故选：B【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系，余弦定理的应用等知识考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力10（5分）（2015成都模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意xR都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x20，3，且x1x2时，都有0给出下列四个命题：f（3）=0；直线x=6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在9，6上为增函数；函数y=f（x）在0，2014上有335个零点其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=3，可得f（3）=0，f（x）是R上的偶函数，从而可判断；由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，再利用f（x）是R上的偶函数，可得f（6x）=f（6+x），从而可判断；依题意知，函数y=f（x）在0，3上为增函数，利用f（x）的周期为6，且f（x）是R上的偶函数，可判断函数y=f（x）在9，6上为减函数，从而可判断；由题意可知，y=f（x）在0，6上只有一个零点3，而2014=3356+3，从而可判断【解答】解：对于任意xR，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=3，则f（3+6）=f（3）+f （3），即f（3）=0，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即正确；：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（6+x），f（x）=f（x6），所以：f（6x）=f（6+x），所以直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即正确；：当x1，x20，3，且x1x2时，都有0，所以函数y=f（x）在0，3上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在3，0上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在9，6上为减函数，故错误；：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在0，3上为增函数，在3，6上为减函数，所以：y=f（x）在0，6上只有一个零点3，而2014=3356+4，所以，函数y=f（x）在0，2014上有335+1=336个零点，故错误故正确命题的个数为2个，故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11（5分）（2015南海区校级模拟）若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解【解答】解：|4+3i|=由（34i）z=|4+3i|，得（34i）z=5，即z=z的虚部为故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题12（5分）（2015成都模拟）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积【解答】解：由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，若该四棱锥的左视图为直角三角形，则BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，B0=1，PO=BO=1，则它的体积为故答案为：【点评】本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力13（5分）（2015岳阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）【考点】计数原理的应用菁优网版权所有【专题】应用题；排列组合【分析】分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论【解答】解：甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法故答案为：180【点评】本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键14（5分）（2013春衡水校级月考）若实数a、b、c成等差数列，点P（1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4【考点】等差数列的性质；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，2），PMQ=90，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，1），且半径为 求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求【解答】解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，2）由于点P（1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即PMQ=90，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，1），且半径为 =，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为 NCr=4，故答案为：4【点评】本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题15（5分）（2015成都模拟）给出下列命题：函数y=cos（2x）图象的一条对称轴是x=在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】计算题；简易逻辑【分析】由x=时，y=1，可得结论；利用函数图象，求解；根据图象的平移规律可得结论；根据sinx+cosx=sin（x+），可以判断【解答】解：函数y=cos（2x），x=时，y=1，所以函数y=cos（2x）图象的一条对称轴是x=，正确；在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2（x）+，即y=sin（2x）的图象，故不正确；sinx+cosx=sin（x+），故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：【点评】本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（12分）（2015成都模拟）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x+02Asin（x+）000（）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）由表中数据列关于、的二元一次方程组，求得、的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；（）由函数图象平移求得，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得OQP的大小【解答】解：（）由表可知，+=，+=，解得，=，=由x1+=0、x2+=、x3+=2，得，；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，OP=2，PQ=4，【点评】本题考查了由y=Asin（x+）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（x+）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题17（12分）（2015成都模拟）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（1）由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率（2）由题意知某两人可获得优惠金额X的可能取值为400，500，600，700，800，1000分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为：（2）由题意知某两人可获得优惠金额X的可能取值为400，500，600，700，800，1000.，综上可得X的分布列为：X4005006007008001000PX的数学期望【点评】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力18（12分）（2015衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面A1ADD1底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（）求证：A1O平面AB1C；（）求锐二面角AC1D1C的余弦值【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（）欲证A1O平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1OB1C，又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C，满足定理所需条件；（）根据面面垂直的性质可知D1O底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角AC1D1C的余弦值【解答】解：（）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1OB1C，又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C所以A1O平面AB1C（6分）（）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1OAD又侧面A1ADD1底面ABCD，所以D1O底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，1，0）（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=1，x1=1，（11分）则，故所求锐二面角AC1D1C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题19（12分）（2015成都模拟）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn（1）求a1（2）求数列an的通项；（3）若bn=（nN*），Tn=b1+b2+bn，求证：Tn【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）a2n+an=2Sn中令n=1求a1（2）又a2n+an=2Sn有a2n+1+an+1=2Sn+1，两式相减得并整理得（an+1+an）（an+1an1）=0，数列an是以a1=1，公差为1的等差数列，以此求数列an的通项；（3）由（2）得出an=n，利用放缩法求证：Tn【解答】解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，a10，a1=1，（2）又a2n+an=2Sn，有a2n+1+an+1=2Sn+1，两式相减得并整理得（an+1+an）（an+1an1）=0，an0，an+1an=1，数列an是以a1=1，公差为1的等差数列，通项公式为an=1+（n1）1=n；（3）n=1时b1=1符合（9分）n2时，因为=2（）所以Tn=b1+b2+bn1+2（+）=1=Tn【点评】本题考查等差数列的判定与通项公式求解，不等式的证明，是数列与不等式的结合20（13分）（2015成都模拟）已知椭圆=1（ab0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q求证：直线PQ恒过一个定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程（2）当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则 BD：y=0直线PQ恒过一个定点；当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x1）（k0），BD：联立方程组，得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线PQ恒过一个定点【解答】（1）解：由，得，即a2=4c2=4（a2b2），即3a2=4b2 （1分）由椭圆过点知， （2分）联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3 （3分）故椭圆的方程是（4分）（2）证明：直线PQ恒过一个定点（5分）椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况1当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则 BD：y=0由椭圆的通径得P（1，0），又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点（6分）2当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x1）（k0），则 BD：又设点A（x1，y1），C（x2，y2）联立方程组，消去y并化简得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，（8分）所以（10分）由题知，直线BD的斜率为，同理可得点（11分），（12分）即4yk2+（7x4）k4y=0令4y=0，7x4=0，4y=0，解得故直线PQ恒过一个定点；（13分）综上可知，直线PQ恒过一个定点（14分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过一个定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（14分）（2015成都模拟）已知函数f（x）=lnx+x2（1）若函数g（x）=f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a1，h（x）=e3x3aex，x0，ln2，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）3x2k（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）ax在定义域内为增函数即为g（x）0，x0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令ex=t，则t1，2，则h（x）=H（t）=t33at，求出H（t），由H（t）=0，得t=，讨论若1t，若t2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F（x0）=0，因为x0时y=F（x）单调递减，且F（1）=0，所以即证是否存在使x0=1即证是否存在m，n使m=2n求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）F（2x），其中0x1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证【解答】解：（1）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，g（x）=+2xa由题意，知g（x）0，x0恒成立，即a（2x+）min又x0，2x+，当且仅当x=时等号成立故（2x+）min=2，所以a（2）由（）知，1a，令ex=t，则t1，2，则h（x）=H（t）=t33atH（t）=3t23a=3（t）（t），由H（t）=0，得t=，由于1a，则1，若1t，则H（t）0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln也单调递减；若t2，则H（t）0，H（t）单调递增h（x）在ln，ln2也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=2a（3）即证是否存在，使F（x0）=0，因为x0时y=F（x）单调递减，且F（1）=0，所以即证是否存在使x0=1即证是否存在m，n使m=2n证明：F（x）=2lnxx2k.x、F（x）、F（x）的变化如下：x（0，1）1（1，+）F（x）+0F（x）即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减又F（m）=F（n）=0且0mn所以0m1n 构造函数G（x）=F（x）F（2x），其中0x1，即G（x）=（2lnxx2）2ln（2x）（2x）2=2lnx2ln（2x）4x+4，=，当且仅当x=1时G（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）G（1）=0 所以0x1时，F（x）F（2x）又0m1n，所以F（m）F（2m），所以F（n）=F（m）F（2m） 因为n、2m（1，+），所以根据y=F（x）的单调性知n2m，即又在（0，+）单调递减，所以即函数F（x）在（x0，F（x0）处的切线不能平行于x轴【点评】本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；maths；1619495736；清风慕竹；zlzhan；caoqz；双曲线；wsj1012；wfy814；sxs123；刘长柏；minqi5；zwx097（排名不分先后）菁优网2016年2月2日