《概率与数理统计》练习册及答案

1 第一章 概率论的基本概念 一 选择题 1 将一枚硬币连抛两次 则此随机试验的样本空间为 A 正 正 反 反 一正一反 B 反 正 正 反 正 正 反 反 C 一次正面 两次正面 没有正面 D 先得正面 先得反面 2 设 A B 为任意两个事件 则事件 AUB AB 表示 A 必然事件 B A 与 B 恰有一个发生 C 不可能事件 D A 与 B 不同时发生 3 设 A B 为随机事件 则下列各式中正确的是 A P AB P A P B B P A B P A P B C D P A B P A P B P 4 设 A B 为随机事件 则下列各式中不能恒成立的是 A P A B P A P AB B P AB P B P A B 其中 P B 0 C P A B P A P B D P A P 1A 5 若 则下列各式中错误的是 AB A B C P A B P A P B D P A B P A 0 P1 AB 6 若 则 A A B 为对立事件 B C D P A B P A BA 7 若 则下面答案错误的是 BA 2 A B BPA 0A BP C B 未发生 A 可能发生 D B 发生 A 可能不发生 8 下列关于概率的不等式 不正确的是 A B min BPBP 1 P则若 C D 1212 nnAA niini A11 9 为一列随机事件 且 则下列叙述中错误 i 2 0nA 的是 A 若诸 两两互斥 则iA niiniP11 B 若诸 相互独立 则i 11 nni iiAA C 若诸 相互独立 则iA11 nniiiP D 1231211 nnii AAP 10 袋中有 个白球 个黑球 从中任取一个 则取得白球的概率是 ab A B C D 21ba 1ba ba 11 今有十张电影票 其中只有两张座号在第一排 现采取抽签方式发 放给 名同学 则 A 先抽者有更大可能抽到第一排座票 B 后抽者更可能获得第一排座票 C 各人抽签结果与抽签顺序无关 3 D 抽签结果受以抽签顺序的严重制约 12 将 个小球随机放到 个盒子中去 不限定盒子的容量 则每n Nn 个盒子中至多有 个球的概率是 A B C D Nn nNC n 13 设有 个人 并设每个人的生日在一年 365 天中的每一天的r365 可能性为均等的 则此 个人中至少有某两个人生日相同的概率为 r A B C D rP3651 rC365 365 1r r365 1 14 设 100 件产品中有 5 件是不合格品 今从中随机抽取 2 件 设 第一次抽的是不合格品 第二次抽的是不合格品 则下列叙 1A 2A 述 中错误的是 A B 的值不依赖于抽取方式 有放回及不放回 05 1 AP 2AP C D 不依赖于抽取方式 21 15 设 A B C 是三个相互独立的事件 且 则下列给定的四对 1 0 CP 事件中 不独立的是 A B 与 C C D CAUB与 BA A与 AB与 16 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券 现有三人每人购买 张 则恰有 一个中奖的概率为 A B C D 4021407 3 072310 C 17 当事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 也随之发生 则 4 A B 1 BPAC 1 BPAC C P C P AB D 18 设 则 0 BAP且 A A 与 B 不相容 B A 与 B 相容 C A 与 B 不独立 D A 与 B 独立 19 设事件 A B 是互不相容的 且 则下列结论正确 0 P 的 是 A P A B 0 B C D P B A 0 PAB PAB 20 已知 P A P P B 且 则 A 与 B 恰有一个发生的概率为 q A B C D qp p 1qp 1pq2 21 设在一次试验中事件 A 发生的概率为 P 现重复进行 次独立试验n 则事件 A 至多发生一次的概率为 A B C D np 1npnp 1 1 1 nnp 22 一袋中有两个黑球和若干个白球 现有放回地摸球 4 次 若至少摸 到一个白球的概率为 则袋中白球数是 810 A 2 B 4 C 6 D 8 23 同时掷 3 枚均匀硬币 则恰有 2 枚正面朝上的概率为 A 0 5 B 0 25 C 0 125 D 0 375 24 四人独立地破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为 5 则密码最终能被译出的概率为 61 345 A 1 B C D 2532 25 已知 则事件11 0 46PABCPABCPB A B C 全不发生的概率为 A B C D 8138587 26 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 则 目标被击中的概率为 A 0 5 B 0 8 C 0 55 D 0 6 27 接上题 若现已知目标被击中 则它是甲射中的概率为 A B C D 43653216 28 三个箱子 第一箱中有 4 个黑球 1 个白球 第二箱中有 3 个黑球 3 个白球 第三个箱中有 3 个黑球 5 个白球 现随机取一个箱子 再从这 个箱中取出一个球 则取到白球的概率是 A B C D 12053192067190 29 有三类箱子 箱中装有黑 白两种颜色的小球 各类箱子中黑球 白球数目之比为 已知这三类箱子数目之比为 3 4 1 32 现随机取一个箱子 再从中随机取出一个球 则取到白球的概率为 A B C D 135451973019 30 接上题 若已知取到的是一只白球 则此球是来自第二类箱子的概 率为 6 A B C D 2131751 31 今有 100 枚贰分硬币 其中有一枚为 残币 中华人民共和国其两面 都印成了国徽 现从这 100 枚硬币中随机取出一枚后 将它连续抛掷 10 次 结果全是 国徽 面朝上 则这枚硬币恰为那枚 残币 的概率 为 A B C D 10109102 1029 32 玻璃杯成箱出售 每箱 20 只 假设各箱含 0 1 2 只残品的概率分别 是 0 8 0 1 0 1 一顾客欲购一箱玻璃杯 在购买时 售货员随意取一箱 而顾客随机察看 1 只 若无残次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 如果 顾客确实买下该箱 则此箱中确实没有残次品的概率为 A 0 94 B 0 14 C 160 197 D 420189C 二 填空题 1 将一枚均匀的硬币抛三次 观察结果 其样本空间 E 2 某商场出售电器设备 以事件 表示 出售 74 Cm 长虹电视机 A 以事件 表示 出售 74 Cm 康佳电视机 则只出售一种品牌的电视B 机可以表示为 至少出售一种品牌的电视机可以表示 为 两种品牌的电视机都出售可以表示为 3 设 A B C 表示三个随机事件 试通过 A B C 表示随机事 件 A 发生而 B C 都不发生为 随机事件 A B C 不多于一个发生 4 设 P A 0 4 P A B 0 7 若事件 A 与 B 互斥 则 P B 若事件 A 与 B 独立 则 P B 7 5 已知随机事件 A 的概率 P A 0 5 随机事件 B 的概率 P B 0 6 及条件概率 P B A 0 8 则 P AUB 6 设随机事件 A B 及和事件 AUB 的概率分别是 0 4 0 3 和 0 6 则 P 7 设 A B 为随机事件 P A 0 7 P A B 0 3 则 P AB 8 已知 则 全不81 0 41 BCpABpCp C 发生的概率为 9 已知 A B 两事件满足条件 P AB P 且 P A p 则 P B 10 设 A B 是任意两个随机事件 则 ABB 11 设两两相互独立的三事件 和 满足条件 C AC 且已知 则 21 Cpp 169 BAp p 12 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品 任意抽取两次 每次抽一 个 抽出后不再放回 则第二次抽出的是次品的概率为 13 袋中有 50 个乒乓球 其中 20 个是黄球 30 个是白球 今有两 人依次随机地从袋中各取一球 取后不放回 则第二个人取得黄球 的概率是 14 将 C C E E I N S 这 7 个字母随机地排成一行 恰好 排成 SCIENCE 的概率为 15 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1 和 2 现从由 A 和 B 的产品分别占 60 和 40 的一批产品中随机抽取一件 发现 是次品 则该次品属于 A 生产的概率是 16 设 10 件产品有 4 件不合格品 从中任取两件 已知所取两件产 品中有一件是不合格品 则另一件也是不合格品的概率是 17 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 8 0 5 现已知目标被命中 则它是甲射中的概率是 18 假设一批产品中一 二 三等品各占 60 30 10 从中 随意取出一件 结果不是三等品 则取到的是一等品的概率是 19 一种零件的加工由三道工序组成 第一道工序的废品率为 1p 第二道工序的废品率为 第三道工序的废品率为 则该零件的2p 3p 成品率为 20 做一系列独立试验 每次试验成功的概率为 p 则在第 n 次成 功之前恰有 m 次失败的概率是 第二章 随机变量及其分布 一 选择题 1 设 A B 为随机事件 则 0 ABP A B AB 未必是不可能事件 AB C A 与 B 对立 D P A 0 或 P B 0 2 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布 且 则 2 1 XP 的值为 2 P A B C D e251e 241e 2e 3 设 X 服从 上的均匀分布 则 A B 4 abaP 43 63 XP C D 10 21 4 设 则 NX A B 4 21 0 XP C D 1 2 P 9 5 设随机变量 X 的密度函数为 以 Y 表示对 X 的 其 他 012 xxf 三次独立重复观察中事件 出现的次数 则 21 A 由于 X 是连续型随机变量 则其函数 Y 也必是连续型的 B Y 是随机变量 但既不是连续型的 也不是离散型的 C D 649 2 yP 21 3 B 6 设 1 95 1 3 YPXPpBYX则若 A B C D 2719913278 7 设随机变量 X 的概率密度函数为 的密度函数为 3Xfx 则 A B 13 2Xyf 13 2Xyf C D 8 连续型随机变量 X 的密度函数 必满足条件 xf A B 为偶函数1 0 xf C 单调不减 D 1fxd 9 若 记其密度函数为 分布函数为 则 NXf xF A B 0 P xF C D ff 1 10 设 记 则 5 4 22 NYX 5 4 21 YPXP A B C D 大小无法确定21P 21P 21 12 10 11 设 则随着 的增大 将 2 NX XP A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定 12 设随机变量 的概率密度函数为 是 的分布 fxfxF X 函数 则对任意实数 有 a A B adxfF0 1 adxfF0 21 C D 13 设 X 的密度函数为 则 为 3 01 2xf 其 他 1 4PX A B C D 7814xd 1432xd 32 14 设 为 0 569 5 09 XNPX 则 A 0 2417 B 0 3753 C 0 3830 D 0 8664 15 设 X 服从参数为 的指数分布 则 91 93 A B 3 9F 1 93e C D e13 3dx 16 设 X 服从参数 的指数分布 则下列叙述中错误的是 A 0 1 xexF B 对任意的 xeXP 有 C 对任意的 tXPststs 有 D 为任意实数 11 17 设 则下列叙述中错误的是 2 NX A B 102 xF C D abPb 0 12 kkXP 18 设随机变量 X 服从 1 6 上的均匀分布 则方程 有实根 x 的概率是 A 0 7 B 0 8 C 0 6 D 0 5 19 设 0 3 0 42 XPXPNX则 A 0 2 B 0 3 C 0 6 D 0 8 20 设随机变量 服从正态分布 则随 的增大 概率2 N PX 单调增大 单调减少 保持不变 增减不 定 二 填空题 1 随机变量 的分布函数 是事件 的概率 X xF 2 已知随机变量 只能取 1 0 1 2 四个数值 其相应的概率依 次是 则 cc16 84 3 当 的值为 时 才能成为随机变量a 21 3 kakXp 的分布列 X 4 一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个相同的零件 第 个零i 件不合格的概率 以 表示 3 个零件中合格品的个数 3 21 ipi X 12 则 2 Xp 5 已知 的概率分布为 则 的分布函数 4 061X xF 6 随机变量 服从参数为 的泊松分布 则 的分布列为 7 设随机变量 的概率密度为 若 使得X 他 0 6 3 921 0 xf k 32 kXp 则 的取值范围是 k 8 设离散型随机变量 的分布函数为 X 2 13 0 xbaxF 且 则 21 Xp a 9 设 当 时 5 U512 x 21xXp 10 设随机变量 则 的分布密度 若 NX f XY 则 的分布密度 Y yf 11 设 则 4 3 72p 12 若随机变量 且 则 NX30 4 Xp 0 Xp 13 设 若 则 2 3 cp 14 设某 批电子元件的寿命 若 欲使 2 NX160 13 允许最大的 80 210 Xp 15 若随机变量 的分布列为 则 的分布列为 5 0112 XY 16 设随机变量 服从参数为 的二项分布 随机变量 服 从参数为 的二项分布 若 则 17 设随机变量 服从 上的均匀分布 则随机变量 在 内的概率密度为 2X Yfy 18 设随机变量 服从正态分布 且二次方程2 0N 无实根的概率为 则 240y 第三章 多维随机变量及其分布 一 选择题 1 X Y 相互独立 且都服从 上的均匀分布 则服从均匀分布的是 1 0 A X Y B XY C X Y D X Y 2 设 X Y 独立同分布 则11 1 22PXPXY A X Y B C D 0 Y21 Y1 XP 3 设 与 分别是随机变量 X 与 Y 的分布函数 为使 1xF 2 是某个随机变量的分布函数 则 的值可取为 ba ba A B C D 5 3 32 ba23 1 23 1 b 14 4 设随机变量 的分布为 则iX1210 0 42i iX 且 P 12 P A 0 B C D 14121 5 下列叙述中错误的是 A 联合分布决定边缘分布 B 边缘分布不能决定决定联合分布 C 两个随机变量各自的联合分布不同 但边缘分布可能相同 D 边缘分布之积即为联合分布 6 设随机变量 X Y 的联合分布为 则 应满足 ba A B C D 1 13ab 32 ba23 1 ba 7 接上题 若 X Y 相互独立 则 A B C D 9 2ba92 1ba31 ba31 ba 8 同时掷两颗质体均匀的骰子 分别以 X Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子 出现的点数 则 A B 1 2636PXiYjij 36 YXP C D 2 21 9 设 X Y 的联合概率密度函数为 则下 其 他 yxyxf00 6 2 面错误的是 A B C X Y 不独立1 0 XP 0 PX 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 a b X Y 15 D 随机点 X Y 落在 内的概率为 1 01 Dxyy 10 接上题 设 G 为一平面区域 则下列结论中错误的是 A B PXYfxyd 2 6GPXYxyd C D 1206x yxf 11 设 X Y 的联合概率密度为 若 0 hDfxy 其 他 为一平面区域 则下列叙述错误的是 2 Gxy A B GPXYfxyd GdxyfXYP 1 02 C D h 02 Dyxh 12 设 X Y 服从平面区域 G 上的均匀分布 若 D 也是平面上某个区域 并 以 与 分别表示区域 G 和 D 的面积 则下列叙述中错误的是 GSD A B DGSPXY 0 GYXP C D S 1 1 13 设系统 是由两个相互独立的子系统 与 连接而成的 连接方式 1 2 分别为 串联 并联 备用 当系统 损坏时 系1 统 开始工作 令 分别表示 的寿命 令 分别表2 21 X21和 32X 示三种连接方式下总系统的寿命 则错误的是 A B 21XY max 212XY 16 C D 213XY min 211XY 14 设二维随机变量 X Y 在矩形 上服从均 10 yxyG 匀分布 记 则 2 10 10 YVYU VUP A 0 B C D 443 15 设 X Y 服从二维正态分布 则以下错误的是 21 N A B C 若 则 X Y 独立 21 NX 21X0 D 若随机变量 则 不一定服从二维正态 221 NTS ST 分布 16 若 且 X Y 相互独立 则 221 YNX A B 22 Y 2121 NYX C D 4 211 22 17 设 X Y 相互独立 且都服从标准正态分布 令0 则 Z 服从的分布是 2Z A N 0 2 分布 B 单位圆上的均匀分布 C 参数为 1 的瑞利分布 D N 0 1 分布 18 设随机变量 独立同分布 4321 X 0 6 iPX 1 0 4iPX 记 则 1 234 i 34D 0 A 0 1344 B 0 7312 C 0 8656 D 0 3830 19 已知 且 相互独立 记 1 XN 2 1 YXY27 ZXY Z则 17 A B C D 5 0 N 12 0 N 54 0 N 2 1 N 20 已知 则 C 的值为 sin CxyxXYfxy 其 他 A B C D 21212 12 21 设 则 其 他 00 31 yxyxyfYX YXP A B C D 726572721721 22 为使 为二维随机向量 X Y 的联合密度 则 其 他 0 3 yxAeyxf A 必为 A 0 B 6 C 10 D 16 23 若两个随机变量 X Y 相互独立 则它们的连续函数 和 所 Xg Yh 确定的随机变量 A 不一定相互独立 B 一定不独立 C 也是相互独立 D 绝大多数情况下相独立 24 在长为 的线段上随机地选取两点 则被分成的三条短线能够组成a 三角形的概率为 A B C D 21314151 25 设 X 服从 0 1 分布 Y 服从 的泊松分布 且 X Y 独立 6 0 p2 则 Y A 服从泊松分布 B 仍是离散型随机变量 C 为二维随机向量 D 取值为 0 的概率为 0 18 26 设相互独立的随机变量 X Y 均服从 上的均匀分布 令 1 0 则 YXZ A Z 也服从 上的均匀分布 B 10 0 YXP C Z 服从 上的均匀分布 D 2 1 NZ 27 设 X Y 独立 且 X 服从 上的均匀分布 Y 服从 的指数分布 2 0 2 则 YXP A B C D 1 44 e41e 431 e21 28 设 则 X Y 在以 0 0 0 2 其 他 00 223 yxyxfY 2 1 为顶点的三角形内取值的概率为 A 0 4 B 0 5 C 0 6 D 0 8 29 随机变量 X Y 独立 且分别服从参数为 和 的指数分布 则1 2 121 YXP A B C D e2 e1 e21 e 30 设 则 A 为 2 2 5 8 35 xxyyfxyA A B C D 3 3 31 设某经理到达办公室的时间均匀分布在 8 点 12 点 他的秘书到达 办公室的时间均匀分布在 7 点到 9 点 设二人到达的时间相互独立 则他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率为 A B C D 4812112241 32 设 相独立且都服从 则 12 nX 2 N 19 A B 12nX 212 nXNn C D 34 321 N 0 2121 33 设 D 为一平面区域 记 G D 的面 0 gxyGYf 其 它 积为 则 DGS P A B C D GDS Ddxyf Ddxyg 二 填空题 1 是二维连续型随机变量 用 的联合分布函数 表示 YX YX yxF 下列概率 1 cYbap 2 X 3 0 aYp 4 b 2 随机变量 的分布率如下表 则 应满足的条件是 YX XY 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 2 3 设平面区域 D 由曲线 及直线 所围成 二维随机xy1 2 10exy 20 变量 在区域 D 上服从均匀分布 则 的联合分布密度函数为 YX YX 4 设 则 相互独立当且仅当 21 N 5 设相互独立的随机变量 X Y 具有同一分布律 且 X 的分布律为 P X 0 1 2 P X 1 1 2 则随机变量 Z max X Y 的分布律 为 6 设随机变量 相互独立且服从两点分布 则321 X 2 081 服从 分布 31iX 7 设 X 和 Y 是两个随机变量 且 P X 0 Y 0 3 7 P X 0 P Y 0 4 7 则 P max X Y 0 8 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 的泊松分布 每位 乘客在中途下车的概率为 p 0 p 1 且中途下车与否相互独立 以 Y 表示在中途下车的人数 则在发车时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率为 二为随机变量 X Y 的概率分 布为 9 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数为 1 5 的指数分 布 设备定时开机 出现故障时自动关机 而在无故障时工作 2 小 时便关机 则该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 10 设两个随机变量 X 与 Y 独立同分布 且 P X 1 P Y 1 1 2 P X 1 P Y 1 1 2 则 P X Y P X Y 0 P XY 1 21 第四章 随机变量的数字特征 一 选择题 1 X 为随机变量 则 1 3EXD 2 0 EX A 18 B 9 C 30 D 32 2 设二维随机向量 X Y 的概率密度函数为 则 0 xyeyf 其 它 EXY 22 A 0 B 1 2 C 2 D 1 3 X Y 是二维随机向量 与 不等价的是 0 YXCov A B EYX DYX C D X 与 Y 独立D 4 X Y 独立 且方差均存在 则 32 A B C D YX32YX94D94 DYX32 5 若 X Y 独立 则 A B DD X C D 0 EYXE 1 baYP 6 若 则下列结论中正确的是 Cov A X Y 独立 B DXY C D DYX 7 X Y 为两个随机变量 且 则 X Y 0 EYE A 独立 B 不独立 C 相关 D 不相关 8 设 则以下结论正确的是 YXD A X Y 不相关 B X Y 独立 C D 1xy 1xy 9 下式中恒成立的是 A B EYX DYX C D CovabD 1 10 下式中错误的是 A 2 YXCovXYD B CovE 23 C 21 DYXYXCov D 6943CovD 11 下式中错误的是 A B 22 EX DX2 3 C D bY3 0E 12 设 X 服从二项分布 则二项分布的参数为2 4 1 4DX A B 4 0 6 pn 1 0 6 pn C D 38 24 13 设 X 是一随机变量 则对任何常数 c 必有 DXE A B 22 CcE 22 XEc C D DX 14 XBnp则 A n B C D p 1pp 1 15 随机变量 X 的概率分布律为 2 PXknn DX则 A B C D 12 n 1 2 n2 1 2 1 n 16 随机变量 则 0 0 xexfXx XE 24 A B C 21 D 20104 410 17 设 X 与 Y 相互独立 均服从同一正态分布 数学期望为 0 方 差为 1 则 X Y 的概率密度为 A B 2 xyfxye 2 1 xyfxye C D 2 1 xyf 24 xyf 18 X 服从 上的均匀分布 则 DX 0 A B C D 21316112 19 则 EY 0 XYN A 2 B C 0 D n4 n3 20 若 则 12 0 1 2ii A EY 0 B DY 2 C D YN 0 2 YN 21 设 则 2 XbnpY A B 1D EXnp C D 22 E 2 1DY 22 将 只球放入到 M 只盒子中去 设每只球落在各个盒中是等可能n 的 设 X 表示有球的盒子数 则 EX 值为 A B B D 1 n n 1 nM n 23 已知 X 服从参数为 的泊松分布 且 则 为 21EX A 1 B 2 C D 214 25 24 设 相互独立 其中 服从 上的均匀分布 服1X231X 60 2X 从正态分布 服从参数为 3 的泊松分布 记 则 0 N 13Y DY A 14 B 46 C 20 D 9 25 设 X 服从参数为 1 的指数分布 则 2 XEe A 1 B 0 C D 1343 26 设 X 为随机变量 满足 2 PDXE则 A B C D 9 31 91 27 设 X Y 独立同分布 记 则 U 与 V 满足 YVU A 不独立 B 独立 C 相关系数不为 0 D 相关系数为 0 28 设随机变量 相互独立 且 1210 X 1 2 1 0 iiEXD 则下列不等式正确的是 A B 2101 iiP 2101 iiP C D 2100 iiX 2100 iiX 29 利用正态分布有关结论 dxex2 24 A 1 B 0 C 2 D 1 30 设 X Y 服从区域 上的均匀分布 则 0 ayxD YXE 的值为 A 0 B C D a2131a41 26 31 下列叙述中正确的是 A B 1 DXE 0 1 XEND C D 22 22X 32 某班有 名同学 班长将领来的学生证随机地发给每个人 设 Xn 表示恰好领到自己学生证的人数 则 EX 为 A 1 B C D 22 1 nn1 33 设 X 服从区间 上的均匀分布 1 0 1 XDYY 则 A B C D 132398 34 某种产品表面上的疵点数服从泊松分布 平均每件上有 1 个疵点 若 规定疵点数不超过 1 的为一等品 价值 10 元 疵点数大于 1 不多于 3 的为二等品 价值 8 元 3 个以上者为废品 则产品的废品率为 A B C D e38e31 e251 e25 35 接上题 任取一件产品 设其价值为 X 则 EX 为 A B C 9 D 6e76e6 36 设 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察 其 他 012 xxfX 中 出现的次数 则 DY 21 A B C D 699164334 27 37 设 X Y 为连续型随机向量 其联合密度为 两个边缘概 yxf 率密度分别为 与 则下式中错误的是 Xfx Yfy A B Ed dxyfEX C D xyfyY 22 XYYf 二 填空题 1 随机变量 服从参数为 的泊松分布 且 则 X 2 D 1p 2 已知离散型随机变量 可能取到的值为 1 0 1 且 则 的概率密度是 2 0 9E X 3 设随机变量 则 的概率密度 2 N fx 若 则 的概率密度 X D YY fy EYY 4 随机变量 且 则 的概率密度函数 4 N 5 2XE 为 24 0 3pX 5 若随机变量 服从均值为 3 方差为 的正态分布 且2 则 P 2 PX 6 已知随机变量 的分布律为 0 1 2 3 4 p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4 则 EX DX 1 EX 7 设 4 9 0 5 23 YY 则 8 抛掷 颗骰子 骰子的每一面出现是等可能的 则出现的点数之n 和的方差为 28 9 设随机变量 和 独立 并分别服从正态分布 和 XY 2 5 N 3 49 求随机变量 的概率密度函数为 435Z 10 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 每次击中目标的 概率为 0 4 则 的数学期望 E 2 2X 11 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布 则随机变量 Z 3X 2 的数学期望 E Z 29 第五章 大数定理及中心极限定理 一 选择题 1 已知的 密度为 且它们相互独立 则对任何实数 概率iX 1 20 ifx x 的值为 10 iiP A 无法计算 B 10 1010 i iixfxd C 可以用中心极限定理计算出近似值 D 不可以用中心极限定理计算出近似值 2 设 X 为随机变量 满足 3 2 XPDE则 A B C D 91 31 9131 3 设随机变量 相互独立 且 则 1210X 2 0 iiED A B 2 01 iiP 2101 iiXP C D 2 0101 iiX 2100 ii 4 设对目标独立地发射 400 发炮弹 已知每发炮弹的命中率为 0 2 由中心极限定理 则命中 60 发 100 发的概率可近似为 A B C D 2 5 2 1 5 2 5 1 2 5 5 设 独立同分布 当 时 下列结1Xn iiEXDn 30 论中错误的是 A 近似服从 分布 nii12 N B 近似服从 分布1 niiX 0 1 30 C 服从 分布21X 2 N D 不近似服从 分布 nii10 1 6 设 为相互独立具有相同分布的随机变量序列 且 服从参数为2 1 2iX 2 的指数分布 则下面的哪一正确 A 1lim niinXPx B 1 2li niinx C 1 2lim niinXPx D 1 2li niinx 其中 是标准正态分布的分布函数 x 二 填空题 1 设 是 次独立重复试验中事件 出现的次数 则对n ApqAP 1 任意区间 有 ba bnpqaPn lim 2 设 是 次独立重复试验中事件 出现的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 n ApA 则对于任意的 均有 0 lipnP 3 一颗骰子连续掷 4 次 点数总和记为 估计 X 180 X 31 4 已知生男孩的概率为 0 515 求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 第六章 样本及抽样分布 一 选择题 1 设 是来自总体 的简单随机样本 则 必然满足 12 nX X12 nX A 独立但分布不同 B 分布相同但不相互独立 C 独立同分布 D 不能确定 2 下列关于 统计量 的描述中 不正确的是 A 统计量为随机变量 B 统计量是样本的函数 C 统计量表达式中不含有参数 D 估计量是统计量 3 设总体均值为 方差为 为样本容量 下式中错误的是 2 n A B C D 0 XE2 DX 1 2 SE 0 1 XNn 4 下列叙述中 仅在正态总体之下才成立的是 A B 相互独立22211 nni ii i 2SX与 C D 22 EDE 21 niiEn 5 下列关于统计学 四大分布 的判断中 错误的是 A 若 则12 Fn21 Fn B 若 Tt则 C 若 0 2xXN则 D 在正态总体下 21 1 nii n 6 设 表示来自总体 的容量为 的样本均值和样本方差 且2 iXS2 iNi 2 1 i 两总体相互独立 则下列不正确的是 32 A B 2112 SFn 1212 0 1 XNn C D 11tnSX 22 Sx 7 设总体服从参数为 的指数分布 若 X 为样本均值 为样本容量 则下式中错误的是 n A B C D XE2Dn 22 1 En 21 XE 8 设 是来自总体的样本 则 是 12 n 21 iiX A 样本矩 B 二阶原点矩 C 二阶中心矩 D 统计量 9 是来自正态总体 的样本 分别为样本均值与样本方差 则12 nX 0 N2S A B C D 0 N 1 X21 niiXx 1 XtnS 10 在总体 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 则 4 12 54321 为 max 531 P A B C D 5 5 1 5 11 上题样本均值与总体均值差的绝对值小于 的概率为 A B C D 1 02 25 4 21 2 12 给定一组样本观测值 且得 则样本方差19 X 9121 85 5iiiiX 的观测值为 2S A 7 5 B 60 C D 32026 13 设 X 服从 分布 则 为 nt aP P A B C D a21a2 21a1 33 14 设 是来自总体 的简单随机样本 则 服从分12 nX 1 0 N niiX12 布为 A B C D 2x 2 x 0 2n 0 nN 15 设 是来自正态总体 的简单随机样本 若12 n 20 N 服从 分布 则29876543 XXcXbXaY x 的值分别为 cb A B C D 16 2816 2031 41 32 16 在天平上重复称量一重为 的物品 假设各次称量结果相互独立且同服从a 分布 以 表示 次称量结果的算术平均 则为了使2 0 NanX 值最小应取作 Pn95 0 1 A 20 B 17 C 15 D 16 17 设随机变量 X 和 Y 相互独立 且都服从正态分布 设 和2 03 N921 X 分别是来自两总体的简单随机样本 则统计量 服从分布是 921 Y 921iiiUY A B C D t 8 t 81 0 N 9 0 N 二 填空题 1 在数理统计中 称为样本 2 我们通常所说的样本称为简单随机样本 它具有的两个特点是 3 设随机变量 相互独立且服从相同的分布 令nX 21 2 DXE 则 niX1E D 4 设 是来自总体的一个样本 样本均值 则样本标n 2 X 准差 样本方差 样本的 阶原点矩为 S 2 Sk 样本的 阶中心矩为 k 34 5 是来自总体 的一个样本 则 1021X 3 0 2NX 1024 iiXP 6 设 是来自 0 1 分布 的简单随机样本 n 1 ppP 是样本均值 则 X XE XD 7 设 是来自总体的一个样本 是顺序统计量 则经 21n 2 1nX 验分布函数为 xFn 8 设 是来自总体的一个样本 称 21nX 为统计量 9 已知样本 取自正态分布总体 为样本均值 已知1621 1 2 NX 则 5 0 XP 10 设总体 是样本均值 是样本方差 为样本容量 则常用的随 2 NX2nSn 机变量 服从 分布 2 1 nS 11 设 为来自正态总体 的一个简单随机样本 则样本均值X 2 N 服从 又若 为常数 则 服从 ni1 ia 1 0 nii iiXa1 12 设 时 样本的一组观测值为 则样本均值为 0 7 485 36 4 样本方差为 35 第七章 参数估计 一 选择题 1 设总体 X 在 上服从均匀分布 则参数 的矩估计量为 A B C D 1 niiX1 niiX12 2 设总体 为抽取样本 则 是 2 NXn 1 niiX12 的无偏估计 的无偏估计 的矩估计 的矩估计 AB2 C 2 3 设 在 0 a 上服从均匀分布 是未知参数 对于容量为 的样本 0 annX 1 a 的最大似然估计为 A B mx 21nX nii1 C D mi a2121 nnX niiX1 4 设总体 在 a b 上服从均匀分布 是来自 的一个样本 则 a 的最大似Xn 21 然估计为 A B max 21n X C D in 1n 5 设总体分布为 为未知参数 则 的最大似然估计量为 2 N2 2 A B niiX12 niiX12 36 C D niiX12 niiX12 6 设总体分布为 已知 则 的最大似然估计量为 2 N2 A B 2S 2Sn C D niiX12 iiX12 7 设总体 X 的密度函数是 是取自总体 其 他 0 xaxf 120 nax 的一组样本值 则 的最大似然估计为 a A B C D niix1l1lniix 1ln ix niix1l 8 设总体 X 的概率密度为 是来自 X 的简 其 他 0 6 3 xxf nX 21 单随机样本 则 的矩估计量为 A B C D 2 max 21nX nii1 9 设总体 的数学期望为 方差为 是 的一个样本 X 21 则在下述的 个估计量中 是最优的 A B 2154 21248 X C D 3 43 10 设为来自总体 的样本 下列关于 的无偏估计中 最有效的为 321 XX E A B 21 3132X C D 43X11 11 设 为总体 已知 的一个样本 为样本均值 则在总 21n 2 N 体方差 的下列估计量中 为无偏估计量的是 37 A B 221 niiX 221 niiX C D 2231 nii 2241 nii 12 设 是来自总体 的样本 且 则下列是 的无偏估计的是 nX EX A 1nii B nii1 C nii2 D 1niiX 13 设 是正态分布 的一个样本 若统计量 21 Xn 2 N 为 的无偏估计 则 的值应该为 12 niiiXK K A B C D 1 n21 n1 n 14 下列叙述中正确的是 A 若 是 的无偏估计 则 也是 的无偏估计 2 B 都是 的估计 且 则 比 更有效 21 21D 1 2 C 若 都是 的估计 且 则 优于 E12 D 由于 故0 XE 15 设 个随机变量 独立同分布 nnX 21 2 XD niiX1 则 iiXS122 A S 是 的无偏估计量 B 不是 的最大似然估计量 2S2 C D 与 独立nXD2 2X 16 设 是总体 X 中的参数 称 为 的置信度 的置信区间 即 a 1 A 以概率 包含 B 以概率 落入 a 1 C 以概率 落在 之外 D 以 估计 的范围 不正确的概率是 a 1 38 17 设 为总体 X 的未知参数 是统计量 为 的置信度为 21 21 的置信区间 则下式中不能恒成的是 10 a A B aP 1 2 aP 12 C D 2 18 设 且 未知 若样本容量为 且分位数均指定为 上侧分位数 时 2 NXn 则 的 95 的置信区间为 A B 025 un 1 05 ntSX C D 025 tSX 025 t 19 设 均未知 当样本容量为 时 的 95 的置信区间为 2 Nn A B 1 1205 2975 0 nxSxn 1 12975 0205 nxSx C D 2975 0205 tt 025 tSX 20 和 分别是总体 与 的样本 且相互独nX 21 nY 21 21 N 2 立 其中 已知 则 的 置信区间为 a A B 2 211nSntYza 212nZYXa C D 21212tXa 212a 21 双正态总体方差比 的 的置信区间为 21 a A 1 2221212 SnFSnFaa B 211221212aa 39 C 1 1 222212 SnFSnFaa D 21212212aa 二 填空题 1 点估计常用的两种方法是 和 2 若 X 是离散型随机变量 分布律是 是待估计参数 则似然函 PXx 数是 X 是连续型随机变量 概率密度是 则似然函数是 f 3 设 的分布律为 1 2 3 P2 2 1 已知一个样本值 则参数的 的矩估计值为 极大似然 1 321 x 估计值为 4 设总体 的概率分布列为 X 0 1 2 3X p2 2 p 1 p p2 1 2pP 其中 是未知参数 利用总体 的如下样本值 p2 10 1 3 0 2 3 3 1 3 则 p 的矩估计值为 极大似然估计值为 5 设总体 的一个样本如下 X 1 70 1 75 1 70 1 65 1 75 则该样本的数学期望 和方差 的矩估计值分别 E XD 6 设总体 的密度函数为 设 是 的样本 01 xxf他1 nX 1 则 的矩估计量为 最大似然估计量为 7 已知随机变量 的密度函数为 X 5 6 0 xxfx 其 他 其中 均为未知参数 则 的矩估计量为 极大似然估计量 8 设总体 的概率密度为 且 是来自总体 他 0 6 3xxf nX 21 40 的简单随机样本 则 的矩法估计量是 估计量 的方差为 X 9 设总体 服从几何分布 分布律 其中 为未知参Y 21 1 ypyYpp 数 且 设 为 的一个样本 则 的极大似然估计量为 10 pn 2 10 设总体 X 服从 0 1 分布 且 P X 1 p 是 的一个样本 则 p 的极大似1 nX 然估计值为 11 设总体 其中 是未知参数 是 的一个样本 则 的矩估 0 1 n 计量为 极大似然估计为 12 设 在 服从均匀分布 是从总体 中抽取的样本 则 的矩估计量X 1 anX 1 a 为 13 设总体 在 服从均匀分布 未知 则参数 a b 的矩法估计量分别为 bba 14 已知某随机变量 服从参数为 的指数分布 设 是子样观察值 则X nX 21 的矩估计为 极大似然估计为 15 设 而 1 70 1 75 1 70 1 65 1 75 是从总体 中抽取的样本 则 2 N 的矩估计值为 16 若未知参数 的估计量是 若 称 是 的无偏估计量 设 是未 12 知参数 的两个无偏估计量 若 则称 较 有效 12 17 对任意分布的总体 样本均值 是 的无偏估计量 X 18 设 为总体 的一个样本 则 的一个无偏估计mX 21 npB2 量为 19 设总体 的概率密度为 为总体 的一个样 0 1 xxf nX 21 本 则 是未知参数 的 估计量 X2 20 假设总体 且 为总体 的一个样本 2 N niiX1n 21 则 是 的无偏估计 X 21 设 为总体 的一个样本 则常数 C 时 n 21 2 41 是 的无偏估计 12 niiiXC 22 设总体 为总体 的一个样本 则常数 k 2 NnX 21 使 为 的无偏估计量 niik1 23 从一大批电子管中随机抽取100只 抽取的电子管的平均寿命为1000小时 样本均方差 为 设电子管寿命分布未知 以置信度为 则整批电子管平均寿命 的置信区40S 95 0 间为 给定 6 1 645 1025 5 ZZ 24 设总体 为未知参数 则 的置信度为 的置信区间为 NX 1 25 某车间生产滚珠 从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布 且直径的方差为 从某天生产的产品中随机抽取 9 个 测得直径平均值为 15 毫米 给定04 2 则滚珠的平均直径的区间估计为 5 96 1 645 1 025 05 ZZ 26 某车间生产滚珠 从某天生产的产品中抽取 6 个 测得直径为 14 6 15 1 14 9 14 8 15 2 15 1 已知原来直径服从 则该天生产的滚珠直径的置信区间为 06 N 05 4510 Z9125 Z 27 某矿地矿石含少量元素服从正态分布 现在抽样进行调查 共抽取 个子样算得12 则 的置信区间为 2 S 68 9 2 74 21 28 设某种清漆干燥时间 单位 小时 取 的样本 得样本均值和 NX9 n 方差分别为 则 的置信度为 95 的单侧置信区间上限为 3 0 62 S 42 第八章 假设检验 一 选择题 1 关于原假设 的选取 下列叙述错误的是 0H A 尽量使后果严重的错误成为第一类错误 B 可以根据检验结果随时改换 以达到希望得到的结论0 C 若拟从样本数据得到对某一结论强有力的支持 则将此结论的对立面设为 0H D 将不容易否定的论断选作原假设 2 关于检验水平 的设定 下列叙述错误的是 A 的选取本质上是个实际问题 而非数学问题 B 在检验实施之前 应是事先给定的 不可擅自改动 C 即为检验结果犯第一类错误的最大概率 D 为了得到所希望的结论 可随时对 的值进行修正 3 下列关于 拒绝域 的评述中 不正确的是 A 拒绝域是样本空间 即全体样本点的集合 的子集 B 拒绝域的结构形式是先定的 与具体抽样结果无关 C 拒绝域往往是通过某检验统计量诱导出来的 D 拒绝域中涉及的临界值要通过抽样来确定 4 关于检验的拒绝域 W 置信水平 及所谓的 小概率事件 下列叙述错误的是 A 的值即是对究竟多大概率才算 小 概率的量化描述 B 事件 为真 即为一个小概率事件021 HWXn C 设 W 是样本空间的某个子集 指的是事件 120 nXH 为 真 D 确定恰当的 W 是任何检验的本质问题 5 设总体 未知 通过样本 检验假设 要采用2 NXn 21 00 43 检验估计量 A B C D nX 0 nSX 0 nSX nX 6 样本 来自总体 检验 采用统计量 n 21 12 N10 0 H A B C D 0 nSnS 7 设总体 未知 通过样本 检验假设 此问题2 XX 21 00 拒绝域形式为 A B C D 10 CS 0 CnSX 0 CS 8 设 为来自总体 的样本 对于 检验的拒绝域可以nX 21 3 2 N1 H 形 如 A B C D C 10 XC 0 XCSn 10 XC 9 样本来自正态总体 未知 要检验 则采用统计量为 2 N 1 20 H A B C D 2 1 Sn10 2nnX 102S 10 设总体分布为 若 已知 则要检验 应采用统计量 2 20 A B C D nSX 2 1 Sn 1 niiX 10 2 niiX 11 设 为来自总体 的样本 若 未知 21 2 N 20 H 关于此检验问题 下列不正确的是 0H 5a A 检验统计量为 10 2 niiX B 在 成立时 0H 1 2nxSn 44 C 拒绝域不是双边的 D 拒绝域可以形如 12 niikX 12 设 是来自总体 的样本 针对 nX 21 02 N10 20 H2 10 关于此检验问题 下列不正确的是 0 5a A 若设 W 为拒绝域 则 恒成立212 5nPXW B 检验统计量取作 0 Sn C 拒绝域可取为 的形状 21 niiXC D 在 成立时 服从 分布0H10 2 niiX 2nx 二 填空题 1 为了校正试用的普通天平 把在该天平上称量为 100 克的 10 个试样在计量标准天平上进 行称量 得如下结果 99 3 98 7 100 5 101 2 98 3 99 7 99 5 102 1 100 5 99 2 假设在天平上称量的结果服从正态分布 为检验普通天平与标准天平有无显著差异 为 0H 2 设样本 来自总体 未知 对于检验 251 X 9 N00 0 H 取拒绝域形如 若取 则 值为 k 05 ak 45 参考答案 第一章 概率论的基本概念 一 选择题 1 答案 B 2 答案 B 解 AUB 表示 A 与 B 至少有一个发生 AB 表示 A 与 B 不能 同时发生 因此 AUB AB 表示 A 与 B 恰有一个发生 3 答案 C 4 答案 C 注 C 成立的条件 A 与 B 互不相容 5 答案 C 注 C 成立的条件 A 与 B 互不相容 即 AB 6 答案 D 注 由 C 得出 A B 7 答案 C 8 答案 B 46 9 答案 D 注 选项 B 由于11111 nnnnni i i i ii iPAPAPPA 10 答案 C 注 古典概型中事件 A 发生的概率为 N 11 答案 C 12 答案 C 解 用 A 来表示事件 每个盒子中至多有 个球 此为古典概型 由 于不限定盒子的容量 所以每个小球都有 N 种放法 故样本空间中 样本点总数为 每个盒子中至多有 个球 则 个小球总共要放nNn n 个盒子 先在 N 个盒子中选出 n 个盒子 再将 n 个球进行全排列 故事件 A 中所包含的样本点个数为 因此 NC NnCPA 13 答案 A 解 用 A 来表示事件 此 个人中至少有某两个人生日相同 考虑 Ar 的对立事件 此 个人的生日各不相同 利用上一题的结论可知 故 365365 rrCPP 365 1rPA 14 答案 D 解 当抽取方式有放回时 15 0 A 25 0 1PA 当抽取方式不放回时 47 2212121212 5495 0 510PAPAPAPA 15 答案 C 16 答案 A 解 这里可以理解为三个人依次购买奖券 用 表示事件 第 i 个人iA 中奖 用 表示事件 恰有一个中奖 则 123123123A 故 1231231237676 0980984PAPA 17 答案 B 解 事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 也随之发生 说明