《二次函数》知识讲解(基础)

0 二次函数 全章复习与巩固 知识讲解 基础 学习目标 1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式 并体会二次函数的意义 2 会用描点法画出二次函数的图象 能从图象上认识二次函数的性质 3 会根据公式确定图象的顶点 开口方向和对称轴 公式不要求记忆和推导 并能解决简单的实际 问题 4 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 知识网络 要点梳理 要点一 二次函数的定义 一般地 如果 是常数 那么 叫做 的二次函数 要点诠释 如果 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 那么 y 叫做 x 的二次函数 这里 当 a 0 时就不是二次函数了 但 b c 可分别为零 也可以同时都为零 a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 要点二 二次函数的图象与性质 1 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 其中 以上式子 a 0 几种特殊的二次函数的图象特征如下 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当 时 开口向上 轴 0 0 1 轴 0 0 当 时 开口向下 2 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 1 的符号决定抛物线的开口方向 当 时 开口向上 当 时 开口向下 相等 抛物线的 开口大小 形状相同 2 平行于 轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 3 抛物线 20 yaxbc 中 abc的作用 1 决定开口方向及开口大小 这与 中的 完全一样 2 和 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 的对称轴是直线 故 时 对称轴为 轴 即 同号 时 对称轴在 轴左侧 即 异号 时 对称轴在 轴右侧 3 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置 当 时 抛物线 与 轴有且只有一个交点 0 抛物线经过原点 与 轴交于正半轴 与 轴交于负半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在 轴右侧 则 4 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 a 0 已知图象上三点或三对 的值 通常选择一般式 2 顶点式 a 0 已知图象的顶点或对称轴 通常选择顶点式 可以看成 的图象平移后所对应的函数 2 3 交点式 已知图象与 轴的交点坐标 通常选用交点式 a 0 由此得根与系数的关系 要点诠释 求抛物线 2yaxbc a 0 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法 配方法 公式法 代入法 这三 种方法都有各自的优缺点 应根据实际灵活选择和运用 要点三 二次函数与一元二次方程的关系 函数 当 时 得到一元二次方程 那么一元二次 方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标 因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根 的情况 1 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点 这时 则方程有两个不相等实根 2 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 这时 则方程有两个相等实根 3 当二次函数的图象与 x 轴没有交点 这时 则方程没有实根 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定 1 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点 这时 则方程有两个不相等实根 2 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 这时 则方程有两个相等实根 3 当二次函数的图象与 x 轴没有交点 这时 则方程没有实根 要点四 利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题 要建立数学模型 即把实际问题转化为二次函数问题 利用题中存在的公式 内含的规律等相等关系 建立函数关系式 再利用函数的图象及性质去研究问题 在研究实际问题时要注意自变 量的取值范围应具有实际意义 3 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是 1 建立适当的平面直角坐标系 2 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来 3 用待定系数法求出抛物线的关系式 4 利用二次函数的图象及其性质去分析问题 解决问题 要点诠释 常见的问题 求最大 小 值 如求最大利润 最大面积 最小周长等 涵洞 桥梁 抛物体 抛物线的模 型问题等 解决这些实际问题关键是找等量关系 把实际问题转化为函数问题 列出相关的函数关系式 典型例题 类型一 求二次函数的解析式 1 已知二次函数的图象经过原点及点 1 24 且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1 则该二 次函数的解析式为 答案 213yx 或 2yx 解析 正确找出图象与 x 轴的另一交点坐标是解题关键 由题意知另一交点为 1 0 或 1 0 因此所求抛物线的解析式有两种 设二次函数解析式为 2yabc 则有 0 142cab 或 0 1 42abc 解之 310bc 或 0 abc 因此所求二次函数解析式为 213yx 或 2yx 点评 此题容易出错漏解的错误 举一反三 变式 已知 抛物线 y x2 bx c 的对称轴为 x 1 交 x 轴于点 A B A 在 B 的左侧 且 AB 4 交 y 轴于点 C 求此抛物线的函数解析式及其顶点 M 的坐标 答案 对称轴 x 1 且 AB 4 抛物线与 x 轴的交点为 A 1 0 B 3 0 bb 21 2c3c0 4 y x 2 2x 3 为所求 x 1 时 y 4 M 1 4 对称轴 x 1 且 AB 4 抛物线与 x 轴的交点为 A 1 0 B 3 0 bb 21 2c3c0 y x 2 2x 3 为所求 x 1 时 y 4 M 1 4 类型二 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 2 二次函数 2yaxbc 的图象如图 1 所示 反比例函数 ayx 与正比例函数 y b c x 在同一 坐标系中的大致图象可能是 答案 B 解析 由 2yaxbc 的图象开口向上得 a 0 又 02b b 0 由抛物线与 y 轴负半轴相交得 c 0 a 0 的图象在第一 三象限 b c 0 y b c x 的图象在第二 四象限 同时满足 x 和 bcx 图象的只有 B 点评 由图 1 得到 a b c 的符号及其相互关系 去判断选项的正误 类型三 数形结合 3 如图所示是二次函数 2yaxbc 图象的一部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴一交点为 3 0 则由图象可知 不等式 0 的解集是 5 思路点拨 根据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标可知 抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标 观察图 象可得不等式 的解集 20axbc 答案 x 3 或 x 1 解析 根据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A 3 0 知 抛物线与 x 轴的另一个交点为 1 0 观察 图象可知 不等式 2c 的解集就是 2yaxbc 函数值 y 0 时 x 的取值范围 当 x 3 或 x 1 时 y 0 因此不等式 2c 的解集为 x 3 或 x 1 点评 弄清 2abc 与 2axb 的关系 利用数形结合在图象上找出不等式x 的解集 类型四 函数与方程 4 已知抛物线 cxy 21与 x 轴没有交点 求 c 的取值范围 试确定直线 1 y经过的象限 并说明理由 答案与解析 1 抛物线与 x 轴没有交点 0 即 1 2c 0 解得 c 12 2 c 2 直线 y 12x 1 随 x 的增大而增大 b 1 直线 y x 1 经过第一 二 三象限 点评 抛物线 cy 2与 x 轴没有交点 0 可求 c 的取值范围 举一反三 变式 1 无论 x 为何实数 二次函数 的图象永远在 x 轴的下方的条件是 A B C D 答案 二次函数 的图象与 x 轴无交点 则说明 y 0 时 方程 无解 6 即 又图象永远在 x 轴下方 则 答案 B 变式 2 对于二次函数 我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点 则 二次函数 m 为实数 的零点的个数是 A 1 B 2 C 0 D 不能确定 答案 当 y 0 时 即二次函数 的零点个数是 2 故选 B 类型五 分类讨论 5 已知点 A 1 1 在二次函数 2yxab 的图象上 1 用含 a 的代数式表示 b 2 如果该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点 求这个二次函数的图象的顶点坐标 思路点拨 1 将 A 1 1 代入函数解析式 2 由 b 2 4ac 0 求出 a 答案与解析 1 因为点 A 1 1 在二次函数 yxab 的图象上 所以 1 1 2a b 所以 b 2a 2 根据题意 方程 20 xab有两个相等的实数根 所以 22480aa 解得 a 0 或 a 2 当 a 0 时 y x 2 这个二次函数的图象的顶点坐标是 0 0 当 a 2 时 24 x 这个二次函数的图象的顶点坐标为 2 0 所以 这个二次函数的图象的顶点坐标为 0 0 或 2 0 点评 二次函数 2yaxbc 0 的图象与 x 轴只有一个交点时 方程 20axbc 有两个相等的实 数根 所以 4 类型六 二次函数与实际问题 6 为了扩大内需 让惠于农民 丰富农民的业余生活 鼓励送彩电下乡 国家决定对购买彩电的农户实 行政府补贴 规定每购买一台彩电 政府补贴若干元 经调查某商场销售彩电台数 y 台 与补贴款额 x 元 之间 大致满足图 1 所示的一次函数关系 随着补贴款额 x 的不断增大 销售量也不断增大 但每台彩电的收益 z 元 会 相应降低且 z 与 x 之间也大致满足图 2 所示的一次函数关系 7 1 在政府出台补贴措施前 该商场销售彩电的总收益额为多少元 2 在政府补贴政策实施后 分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 z 与政府补贴款额 x 之间的 函数关系式 3 要使该商场销售彩电的总收益 元 最大 政府应将每台补贴款额 x 定为多少 并求出总收益 的最 大值 思路点拨 2 依题意设 y k 1x 800 z k 2x 200 分别将 400 1200 和 200 160 代入两式求出 k1 k 2 3 由题意 yz 答案与解析 1 在政府出台补贴措施前 该商场销售家电的总收益为 800 200 160 000 元 2 依题意可设 y k 1x 800 z k 2x 200 则有 400k 1 800 1200 200k 2 200 160 解得 k1 1 25 所以 y x 800 205zx 3 80 0 6yzxx A 政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元 总收益有最大值 其最大值为 162000 元 点评 求最大值问题一般需列出二次函数关系式 二次函数 全章复习与巩固 巩固练习 基础 巩固练习 一 选择题 1 将二次函数 2yx 的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后 所得图象的函数表达式是 A 1 B 2 yx C 1yx D 2 1 yx 2 二次函数 2yaxbc的图象如图所示 则一次函数 24bac 与反比例函数 abcx 在同 一坐标系内的图象大致为 3 抛物线 2yxbc 图象向右平移 2 个单位长度 再向下平移 3 个单位长度 所得图象的解析式为3 则 b c 的值为 A b 2 c 2 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 8 4 抛物线的图象如图所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A 2yx B 21yx C 21yx D 2yx 5 已知二次函数 2 0 abc 的图象如图所示 有下列结论 40bac abc 0 8a c 0 9a 3b c 0 其中 正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 第 4 题 第 5 题 6 已知点 1x y 2 y 两点不重合 均在抛物线 21yx 上 则下列说法正确的是 A 若 2 则 1x B 若 12x 则 2 C 若 10 x 则 2y D 若 0 则 1y 7 在反比例函数 a中 当 0 x时 y 随 x 的增大而减小 则二次函数 2yax 的图象大致是图中的 8 已知二次函数 2yaxbc 其中 0a b 0c 关于这个二次函数的图象有如下说法 图 象的开口一定向上 图象的顶点一定在第四象限 图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧 以上说法正确的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 二 填空题 9 已知抛物线 2 0 yaxbc 的对称轴为直线 1x 且经过点 1 y 2 试比较 1y和 2 的 大小 1 2 填 或 10 抛物线 yxc 的图象如图所示 则此抛物线的解析式为 11 抛物线 2 6 的顶点为 C 已知 y kx 3 的图象经过点 C 则这个一次函数图象与两坐标轴所 围成的三角形面积为 12 已知二次函数 2yxm 的部分图象如图所示 则关于 x 的一元二次方程 20 xm 的解为 9 第 10 题 第 12 题 第 13 题 13 如图所示的抛物线是二次函数 2231yax 的图象 那么 a 的值是 14 烟花厂为扬州 4 18 烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮 这种礼炮的升空高度 h m 与 飞行时间 t s 的关系式是 250ht 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆 则从点火升空到 引爆需要的时间为 15 已知抛物线 2yaxbc 经过点 A 1 4 B 5 4 C 3 6 则该抛物线上纵坐标为 6 的另一个点 的坐标是 16 若二次函数 26 的图象过 A 1 y 1 B 2 y 2 C 3 y 3 三点 则 y1 y 2 y 3大小关系 是 三 解答题 17 杂技团进行杂技表演 演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处 其身体运动 看成一点 的路线是 抛物线 2315yx 的一部分 如图所示 1 求演员弹跳离地面的最大高度 2 已知人梯高 BC 3 4 米 在一次表演中 人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米 问这次表演是否成功 请 说明理由 18 如图所示 要设计一个等腰梯形的花坛 花坛上底长 120 米 下底长 180 米 上 下底相距 80 米 在两腰 中点连线 虚线 处有一条横向甬道 上 下底之间有两条纵向甬道 各甬道的宽度相等 设甬道的宽为 x 米 1 用含 x 的式子表示横向甬道的面积 2 当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时 求甬道的宽 3 根据设计的要求 甬道的宽不能超过 6 米 如果修建甬道的总费用 万元 与甬道的宽度成正比例关系 比例系数是 5 7 花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0 02 万元 那么当甬道的宽度为多少米时 所 10 建花坛的总费用最少 最少费用是多少万元 19 为迎接第四届世界太阳城大会 德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯 已知太阳能路灯售价为 5000 元 个 目前两个商家有此产品 甲商家用如下方法促销 若购买路灯不超过 100 个 按原价付款 若一次购 买 100 个以上 且购买的个数每增加一个 其价格减少 10 元 但太阳能路灯的售价不得低于 3500 元 个 乙店一律按原价的 80 销售 现购买太阳能路灯 x 个 如果全部在甲商家购买 则所需金额为 y1元 如 果全部在乙商家购买 则所需金额为 y2元 1 分别求出 y1 y 2与 x 之间的函数关系式 2 若市政府投资 140 万元 最多能购买多少个太阳能路灯 20 王亮同学善于改进学习方法 他发现对解题过程进行回顾反思 效果会更好 某一天他利用了 30 分钟时间 进行自主学习 假设他用于解题的时间 x 单位 分钟 与学习收益量 y 的关系如图 1 所示 用于回顾反思 的时间 x 单位 分钟 与学习收益量 y 的关系如图 2 所示 其中 OA 是抛物线的一部分 A 为抛物线的顶点 且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间 1 求王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 求王亮回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 之间的函数关系式 3 王亮如何分配解题和回顾反思的时间 才能使这 30 分钟的学习收益总量最大 注 学习收益总量 解题的学习收益量 回顾反思的学习收益量 答案与解析 一 选择题 1 答案 A 解析 2yx 向右平移 1 个单位后 顶点为 1 0 再向上平移 2 个单位后 顶点为 1 2 开口方向及大小不变 所以 a 即 2 1 yx 2 答案 D 解析 由上图可知 0a c 02b 0abc 240ac 反比例函数图象在第二 四象限内 一次函数图象经过第一 二 四象限 因此选 D 3 答案 B 解析 223 1 4yxx 把抛物线 2 1 4yx 向左平移 2 个单位长度 再向上平移 3 个 单位长度后得抛物线 y 2 1 bcxx b 2 c 0 因此选 B 4 答案 D 解析 由图象知 抛物线与 x 轴两交点是 1 0 2 0 又开口方向向下 所以 0a 11 抛物线与 y 轴交点纵坐标大于 1 显然 A B C 不合题意 故选 D 5 答案 D 解析 抛物线与 x 轴交于两点 则 0b 由图象可知 a 0 c 0 则 b 0 故 abc 0 当 x 2 时 y 4a 2b c 0 12 b 2a 4a 2a 2 c 0 即 8a c 0 当 x 3 时 y 9a 3b c 0 故 4 个结论都正确 6 答案 D 解析 画出 21x 的图象 对称轴为 x 若 12y 则 12x 若 12x 则 12y 若120 则 y 若 120 则 7 答案 A 解析 因为 ax 当 0时 y 随 x 增大而减小 所以 a 0 因此抛物线 2 1 yaxx 开 口向上 且与 x 轴相交于 0 0 和 1 0 8 答案 C 解析 a b 抛物线开口向上 2bxa 因此抛物线顶点在 y 轴的左侧 不可能在第四象限 又 0c 120cx 抛物线与 x 轴交于原点的两侧 因此 是正确的 二 填空题 9 答案 解析 根据题意画出抛物线大致图象 找出 x 1 x 2 时的函数值 比较其大小 易如 12y 10 答案 23yx 解析 由题意和图象知抛物线与 x 轴两交点为 3 0 1 0 抛物线解析式为 1y 即 23yx 11 答案 1 解析 92k 3x 与坐标轴交点为 0 3 0 12 答案 x 1 3 或 x2 1 解析 由二次函数 ym 部分图象知 与 x 轴的一个交点为 3 0 代入方程得 m 3 解方 程得 x1 3 或 x2 1 13 答案 1 解析 因为抛物线过原点 所以 210a 即 1a 又抛物线开口向下 所以 a 1 14 答案 4s 12 解析 204 s 5t 15 答案 1 6 解析 常规解法是先求出关系式 然后再求点的坐标 但此方法繁琐耗时易出错 仔细分析就会注意到 A B 两点纵坐标相同 它们关于抛物线对称轴对称 由 A 1 4 B 5 4 得 对称轴152x 而抛物线上纵坐标为 6 的一点是 3 6 所以它关于 x 2 的对称点是 1 6 故抛物线上纵坐标为 6 的另一点的坐标是 1 6 16 答案 y 1 y 3 y 2 解析 因为抛物线的对称轴为 632x 而 A B 在对称轴左侧 且 y 随 x 的增大而减小 1 2 y 1 y 2 又 C 在对称轴右侧 且 A B C 三点到对称轴的距离分别 为 2 1 由对称性可知 y 1 y 3 y 2 三 解答题 17 答案与解析 1 2233519154yxx 0 函数的最大值是 演员弹跳离地面的最大高度是 94米 2 当 x 4 时 2313 5yBC 这次表演成功 18 答案与解析 1 横向甬道的面积为 12085x m2 2 依题意 2108x 整理得 21570 解得 x1 5 x 2 150 不合题意 舍去 甬道的宽为 5 米 3 设建花坛的总费用为 y 万元 则 2018 601 7xx y 0 04x 2 0 5x 240 当 0 56 4bxa 时 y 的值最小 根据设计的要求 甬道的宽不能超过 6 m 当 x 6m 时 总费用最少 为 0 04 62 0 5 6 240 238 44 万元 19 答案与解析 13 1 由题意可知 当 x 100 时 因为购买个数每增加一个 其价格减少 10 元 但售价不得低于 3500 元 个 所以 5031025x 即 100 x 250 时 购买一个需 5000 10 x 100 元 故 y1 6000 x 10 x 2 当 x 250 时 购买一个需 3500 元 故 y1 3500 x 所以 21 50 01 6253 xx y2 5000 80 x 4000 x 2 当 0 x 100 时 y 1 5000 x 500000 1400000 当 100 x 250 时 y 1 6000 x 10 x 2 10 x 300 2 900000 1400000 所以 由 3500 x 1400000 得 x 400 由 4000 x 1400000 得 x 350 故选择甲商家 最多能购买 400 个路灯 20 答案与解析 1 设 y kx 把 2 4 代入 得 k 2 所以 y 2x 自变量 x 的取值范围是 0 x 30 2 当 0 x 5 时 设 y a x 5 2 25 把 0 0 代入 得 25a 25 0 a 1 所以 2 1xx 当 5 x 15 时 y 25 即 210 5 5 x 3 设王亮用于回顾反思的时间为 x 0 x 5 分钟 学习收益总量为 Z 则他用于解题的时间为 30 x 分 钟 当 0 x 5 时 22210 3 860 4 76Zxxx 所以当 x 4 时 76最 大 当 5 x 15 时 Z 25 2 30 x 2x 85 因为 Z 随 x 的增大而减小 所以当 x 5 时 5 最 大 综合所述 当 x 4 时 76最 大 此时 30 x 26 即王亮用于解题的时间为 26 分钟 用于回顾反思的时间为 4 分钟时 学习收益总量最大