北京四中高中数学高考综合复习专题三函数的概念.doc

北 京 四 中 高中数学高考综合复习专题三 函数的概念 一.知识网络 二.高考考点1.映射中的象与原象的概念;2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.三.知识要点(一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.3、认知:注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为,则此函数不存在.函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.(二).映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：AB2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：ab,则b叫做a的象,a叫做b的原象.3、认知:映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合A到集合B的映射 f：AB是一个整体,具有方向性； f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.认知:函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x1) 对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5() 2（）3，（）即f: 5() -2( )+3,( )1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a1);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x1);f(g(x):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x)=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)1 ) 感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)的解析式fg(x)的表达式我们将上述替换形象地称之为“同位替换”.显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.四.经典例题例1.如右图,在直角梯形OABC中,ABOC,BCOC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中( ) 分析1:立足于f(t)在t0,1上的函数式.直线OA的方程为y=2x,故当0t1时, ，,由此否定A,B,D,应选C.分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.当l在,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即S1, S2, Sn是递增的(Si是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t0,1时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C.例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间.解:(1)当0x2时,上述图形是一等腰Rt,此时, ,即 ;(2)当2x4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰Rt(确定的)和一个矩形,此时 ,即y=2x-2;(3)当4x6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧),此时 ,即 因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为 由此可知,f(x)的定义域为0,2 =0,6.又当0x2时, ,即此时0y2;当2x4时,22x-26,即此时2y6;当4x6时,6 8,即此时62),求f(2x+1)的解析式;(2)已知 ,求f(x1)的解析式.解: (1) f(x)=x2+2x-1 (x2)以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+12)f(2x+1)=4x2+8x+2 (x )(2)由已知得 以x替代上式中的 得f(x)=x2-1 (x1)f(x+1)=(x1)2-1 (x+11)即f(x+1)=x2+2x (x0)点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换: (1)解析式中的替换;(2) 取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.例4. 设y=f(2x+1)的定义域为-1,1,f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)x的解集.分析:为将不等式f(x+1)x具体化,根据“同位替换”法则,先求f(1-x)的表达式.解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1x1 -12x+13,运用“同位替换”的思想在f(x-1)中应有-1x-13又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 由、得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1x-13)f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1(-11-x3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2x2)于是有f(1-x)x x2-4x+4x(-2x2) x2-5x+40(-2x2) (x-1)(x-4)0(-2x2) 1x4(-2x2) 1x2因此,所求不等式f(1-x)f(b)f(c),则映射f的个数为 ;若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为 ;若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为.(2)设A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从A到B的映射f满足f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),则映射f的个数为 .分析:注意到f(a)的意义:在映射f：AB之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)B列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101由此可知符合条件的映射有7个.分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集0满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为-1,0或1,0-1,0:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;1,0:1=0+1,1=1+0 此时符合条件的映射有4个.（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为-1,0,1-1,0,1: 0=1+(-1), 0=(-1)+1此时符合条件的映射f有2个于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.(i)当象集合为单元素集时,象集为6或7或8,故此时满足条件的映射f有3个;(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 3=12个;(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.点评:在认知f()(A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”之间的辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标.解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)又令x=0,y=0得f(0)=-1 令x=-1,y=-1得 f(-2)=2f(-1)+2 f(-2)=-2, f(-1)=-2 将、代入得f(1)=1.(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2当tZ时,有f(t+1)-f(t)=t+2 根据,运用阶差法得f(t)=f(1)+f(2)-f(1)+f(t)-f(t-1)f(t)=1+(1+2)+(2+2)+(t-1)+2=1+2(t-1)+ 即f(t)= f(t)=t t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1或t=-2于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.五. 高考真题(一)选择题1.(2005湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0x1x21时, 恒成立的函数的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.3分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2I,且x1x2,当f(x)总满足 时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x, 本题应选B2.(2004湖北卷) 已知 ,则f(x)的解析式可取为( )A. B. C. D. 分析:运用直接法令 =t，则x= (t-1), f(t)= (t-1)f()= (x-1) 应选C说明:注意到对于 ,有 =1+ -1,对于 f(x)应有x-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.3. (2004湖南卷) 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ).A.1 B.2 C.3 D.4分析: 从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得 方程f(x)=x 或 或x=2 或x=2, 故本题应选C4.(2004全国卷C) 设函数f(x)= ,则使得f(x)1的自变量x的取值范围为( )A. 0,10 B. 0,1 C. 1,10 D.-2,01,10分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.f(x)1 或 x-2 或 1x10,故应选A运用特取法:取 ,则 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本题应选A(二)填空题1.(2005江苏卷) 已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= .分析: 由f(x)=x2+4x+3得f(ax+b)=(ax+b)24（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24故有 5a-b=22.(2005北京卷) 对于函数定义域中任意的x1,x2(x1x2),有如下结论: f(x1+x2)= f(x1)f(x2) f(x1x2)= f(x1)+f(x2) ; .当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是 .分析:根据对数的运算法则知正确,不正确;借助f(x)=lgx的图象,考察 的几何意义;经过点(x1, f(x1),( x2, f(x2)的直线的斜率,可知正确;注意到f(x)=lgx的图象“上凸”,可知正确.故本题应填、.3.(2004浙江) 已知 ,则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是 .分析: 注意到原不等式中“f”之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.原不等式 或 或 x-2 原不等式的解集为 .(三)解答题1.(2005浙江卷) 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)f(x)-|x-1|.分析: 求“对称曲线”的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,“分类讨论”乃是解题取胜的杀手锏.解: (1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有 点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上y0=x02+2x0 代入得 -y=(-x)2+2(-x)即 y=-x2+2x故有g(x)=-x2+2x(2) g(x)f(x)-|x-1|2x2-|x-1|0当x1时,2x2-x+10, 此不等式无解;当xg(x)时,求函数 的最小值.分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)g(x)的解集，探求所给函数的最小值.解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 所求k=1,b=2.(2) f(x)g(x) x+2x2-x-6 x2-2x-80 -2x4 = = =(x+2)+ -5 (分离整式项) 又由知 0x+21,解关x的不等式 .分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项通分分解因式转化(为整式不等式)求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.解: (1) f(x)-x+12=0 -x+12=0将x1=3,x2=4代入方程得 解得 f(x)= (2)原不等式 f(x)- (2-x) 0 (I) 当1k2时,由()解得1x2;(II)当k=2时,由()得(x-2)2(x-1)0 1x2;(III)当k2时,由()得1xk.于是可知,当12时, 原不等式的解集为(1,2)(k,+).点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用“根轴法”，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.4.(2005上海卷) 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数 (1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于“分段探求,综合结论”的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的“一分为二”的变形入手.解: (1)这里Df=(-,1)(1,+) Dg=R当xDf且xDg,即x(-,1)(1,+) 时， ;当x Df且x Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;又xDf且x Dg的x不存在,故得 (2)当x1时, =(x-1)+ +2若x1, 则x-10, h(x)4,当且仅当x=2时等号成立;若x1, 则 x-13时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用“待定系数法”探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题. 解: (1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k0), 由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= f(x)=x2+ (2)证法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =x2+ 在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= x2+ 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= x2+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)= 与f3(x)= x2+ 的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解. 又f2(2)=4, f3(2)= -4 当a3时, f3(2)f2(2)= -80,当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2)在y=f2(x) 图象的上方.y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.即方程f(x)=f(a)有两个正数解. 于是由、知,当a3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.证法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解. 又方程 x+a- =0可化为ax2+ 8=0 由a3得方程的判别式=a4+32a0由解得x2= ,x3= x20, x1x2 且x2x3 此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a= 这与a3矛盾,故有x1 x3于是由、知,原方程有三个实数解.点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.